微分方程数值方法
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第四章 抛物型方程的有限差分法
三类偏微分方程（在《数学物理方程》中已经学习过）： 1．椭圆：两点边值问题（1维）、
),(,')''(b a x f ru qu pu ∈=++-+边值条件
Laplace 方程2
),(,0R ⊂∈=∆-G y x u +边值条件(三类边值条件)f=0
poisson 方程（2维）
2
),(,R ⊂∈=∆-G y x f u +边值条件,0≠f 2．抛物：1，2维混合初边值问题、Cauchy 问题 3．双曲：
椭圆问题为定常问题，与时间t 无关u=u(x)或u=u(x,y) 抛物问题、双曲问题都是非定常的，与时间t 有关解u=u(t,x) （发展方程） 模型问题
（1）常系数线性抛物型方程初边值问题（混合问题）
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<+∂∂=∂∂（第一边值条件）2
12
2(1.3) ,0,0),(),0((1.3) ,0),()0,((1.1) ,0),,(T t t l u t u l x x x u T t t x f x u a t
u φ
书中，)(:),(x f t x f =即与t 无关。
（2）常系数线性抛物型方程初值问题（Cauchy 问题）
(1.2)
,),()0,(∞<<-∞=x x x u φ）
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧=≤<+∞<<-∞+∂∂=∂∂ ),()0,( ,0,),,(2
2
x x u T t x t x f x u
a t
u φ 下面讨论初边值问题的数值求解问题。 设问题相容（)(0)0(l φφ==
）、解适定且满足一定的光滑性。
离散格式的建立 利用差分方法步骤
1． 求解区域的离散化
做网格剖分，对(x,t)形成2维时空域，在求解域
T t l x ≤≤≤≤0 ,0
（长方形）
做均匀剖分：（对x:[0,l]作N 等分剖分，对t ：[0,T]作M 等分剖分）
T
t t t l x x x M N =<<<==<<<= 00100 ,0
其中，
ih
x i
=，τ
k t k
=
i=0,1,…,N,k=0,1,…,M 空间步长，时间步长
N l
h =
，M
T
=τ
矩
k
j u 表示定义在网格节点),(k j t x 处数值解。 k j
u 表示精确解),(k j t x u 的近似值
2． 在内节点),(k j t x (j=1,2,…,N-1,k=1,2,3,..M)
处，对微分方程
离散化。常见方法
（1） 直接方法：数值微商（差商）近似代替导函数
差商：向前、向后、中心对称 （2） 待定系数法 二层格式(与单步法比较)
例 1 向前差分格式
网格
),(k j t x 处
t
t x u t x u t x u k j k j k j ∂∂≈
-+)
,()
,(),(1τ
)()
,()
,(),(1ττ
O t t x u t x u t x u k j k j k j +∂∂=
-+
2
2
2
11)
,(),(),(2),(x
t x u h
t x u t x u t x u k j k j k j k j ∂∂≈
+--+
)
()
,()
,(),(2),(2
2
2
2
11h O x
t x u h
t x u t x u t x u k j k j k j k j +∂∂=
+--+用Taylor 展开可以求出具体截断误差
涉及图中点：
记),(),,(k j k
j k j k
j t x f f t x u u =≈，有（f(x,t)已知）
或
1,,1,1,,1,0-=-=N j M k
),(,0),0(),()0,(00
======k k
N k k
j j j t l u u t u u x x u u φ
两层显格式：无需求解线性代数方程组。 例 2 向后差分格式
网格节点 ),(1+k j t x 处
t t x u u u k j k
j
k j
∂∂≈
-++)
,(11
τ
2
12
2
1
1
11
1)
,(2x
t x u h
u u u k j k j k j
k j ∂∂≈
+-++-+++
⇒
1
21
1
1111
2++-++++++-=-k j k j k j
k j k
j
k j
f h
u u u a u u τ
2
12
1
1
11
11,2h
a
r f
h
u u u a
u
u
k j
k j k j
k j k j
k j
τττ=
++-=-++-++++
⇔
1
,...,2,1)21(1
11
1
11
-=+=-++-++-+++N j f u ru
u r ru
k j
k j k j k j
k j τ