【高考数学热点问题】第97炼 不等式选讲
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式选讲》基础测试题及解析
【最新】数学高考《不等式选讲》专题解析一、141．若，则不等式的解集为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值三角不等式的性质得出，由，得出，借助正弦函数图象可得出答案。
【详解】 因为成立，所以，又，所以，，故选：D 。
【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。
2．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。
【详解】根据绝对值三角不等式，得1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+∴()1f x x x a =++-的最小值为1a +()2f x ≥Q 恒成立，∴等价于()f x 的最小值大于等于2，即12a +≥ ∴12a +≥或12a +≤-，1a ≥或3a ≤-，故选B 。
【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a 的取值范围。
3．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选：B . 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数以及当0x „时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-.由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，∴2|2|4|2|5x x +-+>，所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.5．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.6．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.7．在平面内，已知向量(1,0)a =v ，(0,1)b =v ，(1,1)c =v，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v，则（ ）A ．p vB ．p v的最大值为C ．p vD ．p v的最大值为【答案】A 【解析】 【分析】求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c =v，所以23p xa yb zc =++v v v v=()3,23x z y z ++，又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，所以p v ==≥==≥= 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41,,055x y z ===时，等号成立．所以p v， 故选A. 【点睛】本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．8．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】 【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．9．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值不等式的性质可知，()22329ax ax -⇔-＜＜，从而可得到()229ax -=的两个解为2151,33x x -==，即可求出a 的值. 【详解】由题意可知0a ≠，()22329ax ax -⇔-＜＜，即22450a x ax --<， 故一元二次方程22450a x ax --=的解为2151,33x x -==， 则1212224455,39a x x x x a a +==-=-=-，解得3a =-. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．10．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。
高中数学讲义微专题97 不等式选讲
微专题97 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,n n a b a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++② 几何平均数：12nn n G a a a = ③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④ 平方平均数：22212nn a a a Q n+++=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.设函数(m＞0)(1)证明：f(x)≥4；(2)若f(2)＞5，求m的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)(0，1)∪(，＋∞)【解析】(1)利用绝对值基本性质：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|及基本不等式可得；(2)分类写出f(2)关于m的解析式，解相关分式不等式即可试题解析：(Ⅰ)由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． 4分(Ⅱ)f(2)＝|2－|＋|2＋m|．当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． 10分考点:绝对值不等式2.设，且满足：，，求证：.【答案】详见解析【解析】根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：，由此可推出：，即可得出三者的关系：，问题即可求解．，，，又，，. 10分【考点】不等式的证明3.已知关于x的不等式（其中），若不等式有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵设故，即的最小值为，所以有解，则解得，即的取值范围是，选C.4.对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[－2，＋∞)B．(－∞，－2)C．[－2,2]D．[0，＋∞)【答案】A【解析】由题意a|x|≥－x2－1，∴a≥＝(x≠0)．∵≤－2，∴a≥－2.当x＝0时，a∈R，综上，a≥－2，选A5.设函数,其中。
（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求a的值。
【答案】（1）或（2）【解析】（1）当时，可化为。
由此可得或。
故不等式的解集为或。
（2）由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故6.不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【答案】C【解析】不等式x2﹣4x+a＜0可化为：x2﹣4x＜﹣a，设y=x2﹣4x，y=﹣a，分别画出这两个函数的图象，如图，由图可知，不等式x2﹣4x+a＜0存在小于1的实数解，则有：﹣a＞﹣3．故a＜3．故选C．7.已知，，，．求证．【答案】详见解析【解析】利用分析法或作差法证明不等式. 即，而显然成立，【证明】因为，，所以，所以要证，即证．即证， 5分即证，而显然成立，故． 10分【考点】不等式相关知识8.若不等式的解集为，则的取值范围为________;【答案】【解析】令，则；若不等式的解集为，则的取值范围为.【考点】绝对值不等式的解法、恒成立问题.9.已知，且，求的最小值．【答案】1.【解析】观察已知条件与所求式子，考虑到柯西不等式，可先将条件化为，此时，由柯西不等式得，即，当且仅当，即，或时，等号成立，从而可得的最小值为1.试题解析：, ,,，当且仅当，或时的最小值是1.【考点】柯西不等式.10.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是(填上正确的序号).①<;②a2>b2;③>;④a|c|>b|c|.【答案】③【解析】①,当a是正数,b是负数时,不等式<不成立,②当a=-1,b=-2时,a>b成立,a2>b2不成立;当a=1,b=-2时,a>b成立,a2>b2也不成立,当a,b是负数时,不等式a2>b2不成立.③在a>b两边同时除以c2+1,不等号的方向不变,故③正确,④当c=0时,不等式a|c|>b|c|不成立.综上可知③正确.11.已知-1<a+b<3,且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.【答案】-<2a+3b<【解析】设2a+3b=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b.则解得所以2a+3b=(a+b)-(a-b).因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以--2<2a+3b<-1,即-<2a+3b<.12.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18【答案】D【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.13.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=,Q=,则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P<QC．P=Q D．无法确定【答案】A【解析】选A.由等比知识,得Q==,而P=,且a3>0,a9>0,q≠1,a 3≠a9,所以>,即P>Q.14.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.15.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.16.当0≤x≤时,函数y=x2(1-5x)的最大值为()A．B．C．D．无最大值【答案】C【解析】选C.y=x2(1-5x)=x2=x·x·.因为0≤x≤,所以-2x≥0,所以y≤=,=.当且仅当x=-2x,即x=时,ymax17.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A．|a+b|+|a-b|>2B．|a+b|+|a-b|<2C．|a+b|+|a-b|=2D．不能比较大小【答案】B【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.18.若关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,则实数a的取值范围为()A．(-∞,1]B．(-∞,1)C．(-∞,5]D．(-∞,5)【答案】C【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5,又关于x的不等式|x-2|+|x+3|<a的解集为,所以a≤5.19.已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1.求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).【答案】见解析【解析】证明：|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).20.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，求实数a的取值范围．【答案】(－∞，8]【解析】因为不等式|x－5|＋|x＋3|的最小值为8，所以要使不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则a≤8，即实数a的取值范围是(－∞，8]．21.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.22.若关于x的不等式的解集为(-1,4)，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由已知得，，，当时，不等式解集为，故，无解；当时，不等式解集为，故，解得．【考点】绝对值不等式解法．23.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.24.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:++≥5.(2)求+的最小值.【答案】(1)见解析 (2) 18【解析】(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,当且仅当==,即x=,y=,z=时取等号.因为5x+4y+3z=10,所以++≥=5.(2)根据平均值不等式,得+≥2=2·,当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即x2+y2+z2≥2,当且仅当==时,等号成立.综上,+≥2·32=18.当且仅当x=1,y=,z=时,等号成立.所以+的最小值为18.25.设n∈N*,求证:++…+<.【答案】见解析【解析】证明：由=<=(-)可知<(1-),<(-),…,<(-),从而得++…+<(1-)<.26.设0< a,b,c <1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于.【答案】见解析【解析】证明：假设(1-a)b >,(1-b)c >,(1-c)a>,则三式相乘:(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>①.又∵0< a,b,c <1,∴0<(1-a)a≤[]2=.同理:(1-b)b≤,(1-c)c≤,以上三式相乘:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤,与①矛盾,∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于.27.设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪(3，＋∞)，则a的值为________．【答案】a＝2【解析】由题意知，f(－2)＝f(3)＝5，即1＋|2＋a|＝4＋|3－a|＝5，解得a＝2.28.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.29.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥30.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【答案】2【解析】由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥＝mn(a＋b)2＝2.31.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝5.∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y) ＝13＋≥13＋2＝25.因此3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时等号成立．∴当x＝1，y＝时，3x＋4y的最小值为5.32.（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线与圆相交的弦长为．（Ⅱ）（不等式选讲）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围【答案】（Ⅱ）【解析】解：将直线2ρcosθ=1化为普通方程为：2x=1．∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1．∴直线与圆相交的弦长=解：∵函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，∵f（x）的最小值为3，∴|a-4|=3，∴a=1或7，∵a＞1，∴a=7，∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；综上3≤x≤8，故答案为：3≤x≤8．【考点】坐标系与参数方程，不等式选讲点评：主要是考查了不等式选讲以及坐标系与参数方程的运用，属于基础题。
高考高中数学第97炼 不等式选讲
第97炼 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a bn n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++②几何平均数：n G =③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=④ 平方平均数：2nn a Q ++=（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++等号成立条件当且仅当1212nna a ab b b ===或120n b b b ====（1）二元柯西不等式：()()()22222a bc d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：()()()222222121122n n n b b b a b a b a b ++++≥±+±++±② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++()()222212121212nn n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭②式体现的是当各项22212,,,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.2.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此【考点】不等式恒成立4.设,则的最小值为。
【答案】9【解析】由柯西不等式可知。
5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.6.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.7.满足不等式的的取值范围是________.【答案】{或}【解析】不等式等价于，即，故的取值范围是．【考点】解不等式．8.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．∪（1，+∞）【答案】D【解析】原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D9.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形面积，解得，故选D.【考点】1.一元二次不等式的求解.10.下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32【答案】B【解析】选B.因为log32<log33=1,log23>log22=1,所以log32<log23,又因为log23<log25,所以log32<log23<log25.11.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0.所以不论b正或b负均有a+b>0.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小.【答案】z≥y>x【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.14.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.15.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.16.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.17.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.【答案】a+(b*c)=(a+b)*(a+c)【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).18.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.【答案】见解析【解析】【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.19.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-∞,-3]【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].20.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2（2）{m|m≤5}【解析】(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(2－x)＋(x＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x＋3)≥0即当－3≤x≤2时等号成立．所以实数m的取值范围是{m|m≤5}．21.设a、b∈R＋，试比较与的大小．【答案】≥【解析】∵()2－＝≥0，∴≥22.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【答案】【解析】(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为23.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．【答案】M>N【解析】∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.24.已知a>0，求证：－≥a＋－2.【答案】见解析【解析】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．25.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】（1）m＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.26.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.27.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.28.已知a,b,c∈(1,2),求证:++≥6.【答案】见解析【解析】证明：∵≥=,≥=,≥=.∴y=++≥++.又由柯西不等式可得[(a-b+1)+(b-c+1)+(c-a+1)](++)≥18,即++≥=6.∴y=6,当且仅当a=b=c=时取到最小值,min原不等式得证.29.“a<4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为|2x－1|＋|2x＋3|≥a，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点x到点和－的距离之和≥2，所以当a<4时，有<2，所以不等式成立，此时为充分条件要使|2x－1|＋|2x＋3|≥a恒成立，即恒成立，则有≤2，即a≤4综上，“a<4”是“|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的充分不必要条件，故选B.30.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.31.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【答案】2.【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)( bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．∴所求最小值为2.32.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)( a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）≤x≤【解析】(1)f(x)＝图象如图．(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)得≥f(x)．又因为≥＝2.则有2≥f(x)．解不等式2≥|x－1|＋|x－2|得≤x≤. 即x的取值范围为≤x≤33. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．34.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥35.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】，设A为关于的不等式的解集，当A为时，则即；当即时，，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.【考点】新定义、含参数不等式的解法.36.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.37.[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【答案】．【解析】，，又． 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的证明，绝对值不等式的性质。
高考数学专题：不等式选讲
不等式选讲1．(优质试题·江苏卷)已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy .证明 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .2．(优质试题·江苏卷)解不等式x ＋|2x －1|<3.解 原不等式可化为⎩⎨⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎨⎧ 2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.∴原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2<x <43. 3．(优质试题·江苏卷)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .4．(优质试题·江苏卷)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明 因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518. 5．(优质试题·盐城模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6．(优质试题·苏北四市调研)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 证明 法一 因为x ，y ，z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥2z ， 同理，可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .法二 由于x >0，y >0，z >0， 要证x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z ，只要证x 2＋y 2＋z 2xyz ≥yz ＋zx ＋xy xyz， 所以只要证x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy .由于x 2＋y 2＋z 2－(yz ＋zx ＋xy )＝12[(x －y )2＋(y －z )2＋(z －x )2]≥0，故x 2＋y 2＋z 2≥yz ＋zx ＋xy 恒成立， 所以x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .7．(优质试题·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <13或1<x <3或x >5. 8．(优质试题·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)已知函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝m －2|x －11|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，实数m 的最大值为t .(1)求实数m 的最大值t ；(2)已知实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值为t 20，求a 的值．解 (1)由题意可得g (x ＋4)＝m －2|x ＋4－11|＝m －2|x －7|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，则2|x ＋3|≥m －2|x －7|，即m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|)．而由绝对值三角不等式可得2(|x ＋3|＋|x －7|)≥2|(x ＋3)－(x －7)|＝20，所以m ≤20，故m 的最大值t ＝20.(2)实数x ，y ，z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，由柯西不等式可得[(2x )2＋(3y )2＋(6z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2x ·12＋3y ·13＋6z ·162， 即a ×1≥(x ＋y ＋z )2，所以x ＋y ＋z ≤a .又因为x ＋y ＋z 的最大值是t 20＝1，所以a ＝1，所以a ＝1.。
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。
【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。
6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。
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第97炼 不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >⇔<（2）,a b b c a c >>⇒>（不等式的传递性）注：,a b b c a c ≥≥⇒≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >⇒+>+（4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>⇒>><⇒< （5）()02,nna b a b n n N >>⇒>≥∈（6）)02,a b n n N >>⇒>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤（3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式（1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12111n nnH a a a =+++L②几何平均数：n G =③ 代数平均数：12nn a a a A n+++=L④平方平均数：n Q =（2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L（3）三项均值不等式：①a b c ++≥ 2223a b c abc ++≥② 33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭③a b c ++≤4、柯西不等式：()()()222222212121122n n n n a a a bb b a b a b a b ++++++≥+++L L L等号成立条件当且仅当1212n na a ab b b ===L 或120n b b b ====L （1）二元柯西不等式：()()()22222a bcd ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc =（2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式：+≥② ()222212121212n nn na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++L L L ()()222212121212n n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫⇔++++++≥+++ ⎪⎝⎭L L L②式体现的是当各项22212,,,n a a a L 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。
③ ()21212121122n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++L L L5、排序不等式：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L 为两组实数，12,,,n c c c L 是12,,,n b b b L 的任一排列，则有：121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++L L L即“反序和≤乱序和≤顺序和” （二）不等式选讲的考察内容：1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节） 二、典型例题：例1：若不等式131x x m +++≥-恒成立，则m 的取值范围为________． 思路：本题为恒成立问题，可知()min113m x x -≤+++，所以只需求出13x x +++的最小值即可，一种思路可以构造函数()13f x x x =+++，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：()24,12,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪=-≤<-⎨⎪--<-⎩，进而得到()min 2f x =，另一种思路可以想到绝对值不等式：()()13132x x x x +++≥+-+=，进而直接得到最小值，所以12m -≤，从而13m -≤≤ 答案：13m -≤≤例2：若存在实数x 使得24210x x a a ++-+-=成立，求实数a 的取值范围 思路：本题可从方程有根出发，得到关于a 的不等式，从而解出a 的范围 解：依题意可知二次方程24210x x a a ++-+-=有解()164210a a ∴∆=--+-≥即214a a -+-≤当2a ≥时，72342a a -≤⇒≤72,2a ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦当12a ≤<时，21414a a -+-≤⇒≤恒成立 [)1,2a ∴∈ 当1a <时，12142a a a -+-≤⇒≥-1,12a ⎡⎫∴∈-⎪⎢⎣⎭综上所述，可得17,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例3：已知函数()()20f x x x a a =+-> （1）当1a =时，解不等式()4f x ≤（2）若不等式()4f x ≥对一切x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围（1）思路：所解不等式为214x x +-≤，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解：（1）当1x ≥时， ()2142x x x +-≤⇒≤ []1,2x ∴∈ 当01x ≤<时，()2142x x x +-≤⇒≥- [)0,1x ∴∈ 当0x <时，()22143x x x -+-≤⇒≥- 2,03x ⎡⎫∴∈-⎪⎢⎣⎭综上所述：不等式的解集为2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）思路：若不等式()4f x ≥恒成立，可知只需()min 4f x ≥即可，()f x 含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数()[)[)()32,,2,0,23,,0x a x a f x a x x a a x x -∈+∞⎧⎪=-∈⎨⎪-∈-∞⎩，通过分析函数性质即可得到()()min f x f a a ==，所以4a ≥ 解：()4f x ≥Q 恒成立()min 4f x ∴≥考虑()[)[)()32,,22,0,23,,0x a x a f x x x a a x x a a x x -∈+∞⎧⎪=+-=-∈⎨⎪-∈-∞⎩()f x ∴在(),a -∞单调递减，在(),a +∞单调递增 ()()min f x f a a ∴== 4a ∴≥例4：已知,,a b c 都是正数,且236a b c ++=,+思路一：已知23a b c ++为常数，从所求入手，发现被开方数的和为()233a b c +++也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数≤平方平均数”，进而求得最大值解：3+≤=+≤=等号成立当且仅当212131123623aa b cba b cc⎧⎪=+=+=+⎧⎪⇒=⎨⎨++=⎩⎪⎪=⎩思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：(22=111+++⋅，从而可得：(()2222222111111⎡⎤+≤++++⎢⎥⎣⎦即(()2111323327a b c++≤+++=，所以可知++≤小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数≤平方平均数”。
证明的过程如下：()()222222212121111111n nna a a a a a⎛⎫+++⋅+++≥⋅+⋅++⋅⎪⎝⎭L L L1442443个()()22221212n na a an a a a∴+++≤+++L L12na aa∴+++≤L12na a a⇔+++≤L12na a an+++⇔≤L例5：已知,,a b c是实数，且2221a b c++=，则22a b c++的最大值是__________思路：考虑将22a b c++向222a b c++进行靠拢，由柯西不等式可知()()()2222222ax by cz a b c x y z ++≤++++，对照条件可知令2,1,2x b z ===即可，所以()()()2222222222129a b c a b c++≤++++=，则223a b c ++≤答案：3小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。
首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。
例6：已知实数,,,a b c d 满足22223,2365a b c d a b c d +++=+++=，则a 的取值范围是____________思路：本题的核心元素为a ，若要求a 的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于,,b c d 的不等关系，考虑到22223,2365b c d a b c d a ++=-++=-，联想到柯西不等式()()222212121212n n n n a a a b b b a a a b b b ⎛⎫++++++≥+++ ⎪⎝⎭L L L ，则有()()2222111236235bc d b c d ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭，代入可得：()2253a a -≥-解得：[]1,2a ∈==在1,2a a ==时均有解。
答案：[]1,2a ∈例7：已知,,a b c均为正数，求证：2222111a b c a b c ⎛⎫+++++≥ ⎪⎝⎭,,a b c 为何值时，等号成立思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中,a b互为倒数时，a b +≥，右侧为一个常数。
222a b c ++≥111a b c ++≥abc 相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值，即不等式得证解：由均值不等式可得：222a b c ++≥111a b c ++≥2111a b c ⎛⎫∴++≥ ⎪⎝⎭2222111a b c a b c ⎛⎫∴+++++≥+ ⎪⎝⎭2≥=等号成立条件：a b c == 例8：已知0,0a b >> （1）若2a b +=，求1411a b+++的最小值 （2）求证：()22221a b a b ab a b ++≥++（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与2a b +=找到联系，从而想到柯西不等式的变式：()222212121212n n n n a a a a a a b b b b b b ++++++≥+++L L L ，从而()212143111a b a b++≥=++++解：2214121111a b a b+=+++++ 由柯西不等式可得：()22212141211111a b a b a b++=+≥++++++ 2a b +=Q 14311a b∴+≥++ （2）所证不等式等价于：222222a b a b a b ab ab ++≥++，观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即：2222222222222a b a a b a b b ab a b ab ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩，三式相加即完成证明证明：由均值不等式可得：2222222222222a b a a b a b b ab a b ab ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩∴三式相加：()()22222222a b a b a b ab ab ++≥++即()2222221a b a b a b ab ab ab a b ++≥++=++小炼有话说：对于求倒数和（即12,,,n a a a L 为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供使用：()222212121212n nn n a a a a a a b b b b b b ++++++≥+++L L L 和()21212121122n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。