高等流体力学第3讲

第三讲 流体静力学

一、 静止流体中的应力特性

静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。即

n p =-p n （3-1）

式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。上式也可以写成张量形式

P ==0

00000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

=p 00000011⎡⎤

⎢⎥1⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

= p I （3-2） 式中I 为单位张量。

静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。 二、 欧拉平衡方程

惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即

0∑=F （4-3）

在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为

d ρττ

⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为

d d A

A

p A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）

根据第一个平衡条件（3-3）可得

d d =0A

ρτp A τ

-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有

d =d A

p A p ττ

∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）

将（d）式代入（c）式则可得

d 0ρp ττ

-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有

=0ρp -∇f

或

1

=p ρ

∇f （3-4）

这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为

111x y

z

p f ρx p

f ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩

（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。 三、 静压流场的质量力条件（自学）

对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得

1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（）f

上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之

p ∇⨯∇（）=p p p x

y z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k

=

x y z p p p x

y z

∂

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂i

j k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-

⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭

i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有

()1=

p p ρ

ρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦

f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得

()=0∇⨯f f （3-6）

由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯f

f 。

（此式自然成立啊，为什么还要证明呢？）

对于不可压缩流体，由于密度为常数，则平衡方程（3-4）式可写成

=p ρ⎛⎫

∇ ⎪⎝⎭

f （3-7） 对上式两端取旋度则有

=p ρ⎛⎫

∇⨯∇⨯∇ ⎪⎝⎭

f =0 （3-8）

这是不可压缩流体静止时对质量力所附加的限制条件，即质量力必须无旋。（矢量场的四等价定理：无旋必有势；有势必无旋；环量为零；线积分与路径无关。） 四、 等压面

等压面是指由静压力相等的点组成的面，等压面的性质包括以下几点： 1. 等压面与质量力相垂直； 2. 等压面是质量力的等势面；

【证明】设质量力f =X i +Y j +Z k 所代表的质量力场中，若存在标量函数U 满足

U Xdx Ydy Zdz =-++⎰或()d d d d U X x Y y Z z =-++

则称之为质量的势函数，其中的负号表示质量力做正功时质量力的是函数减小。

在静止流场中任取一个微元矢量力d r =d x i +d y j +d z k ，

()d d =d U U U U dx dy dz U Xdx Ydy Zdz x

y z ⎛⎫

∂∂∂∇=++==-++- ⎪∂∂∂⎝⎭r f r

由于d r 是任意的微元矢量，所以有

U =-∇f

将其代入（3-4）式可得

1

∇=-∇

p U ρ

上式表明等压面方程p ∇=0与等势面U ∇=0等价。【证毕】

3. 等压面是不相容流体间的分界面；

4. 等压面是等密度面。

五、 静力学基本公式——静压力分布规律

21p p ρgh =±

它表明：○

1重力作用下的均质流体内部的静压力，与深度h 呈线性关系，因此，水坝都设计成上窄下宽的形状；○

2静止流体内部任意点的静压力由液面上的静压力p 0与液柱所形成的静压力ρgh 两部分组成，深度h 相同的点静压力相等；○3静止流体边界上压力的变化将均匀地传递到流体中的每一点，这就是著名的帕斯卡定律。 六、 压力标准

1. 流体静压力的计量标准

流体力学中，静压力的计量有两个标准，一个是以物理真空为零点的标准，称为绝对标准，按照绝对标准计量的压力称为绝对压力；另一个是以当地大气压力为零点的标准，称为相对标准，按照相对标准计量的压力称为相对压力。

2. 流体静压力的表示方法 绝对压力用ab

p 表示，对敞口容器中液面以下深度为h 的点来讲，其绝对压力可

表示为

=ab a p p +ρgh （3-9） 绝对压力不能小于零。

工程中绝对压力的数值可以大于当地大气压力，也可以小于当地大气压力。因此，相对压力便有了正负之分。当绝对压力大于当地大气压力时，相对压力大于零，称为表压，用pM 来表示，即

==M ab a p p p ρgh -。 （3-10）

之所以称之为表压是因为压力表所显示的压力就是这个压力。当绝对压力小于当地大气压力时，相对压力小于零，称为真空压力或真空度，用pv 来表示，即

=v a ab

p p p - （3-11