椭圆综合专题

椭圆综合专题
椭圆综合专题

椭圆专题总结

、直线与椭圆问题的常规解题方法:

1.设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不 -存在;②设为y=kx+b与

x=my+ n 的区别)

2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)

3.联立方程组;

4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)

5.根据条件重转化;常有以下类型:

①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在)

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

“直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于0问题”

x i X2 y i y2 0>0 ;

③“等角、角平分、角互补问题”斜率关系(K i K2 0或K i K2);

④“共线问题”

uur uuu

(如: AQ QB 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);

(如:A、0、B三点共线直线OA与OB斜率相等);

⑤“点、线对称问题”坐标与斜率关系;

⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的「合理选择);

6.化简与计算;

7.细节问题不忽略;

二、基本解题思想:

1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;

2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;

3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无

关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求

出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,

5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)

三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;

6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,

关键是积累“转化”的经验;

椭圆中的定值、定点问题

一、常见基本题型:

在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过

取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。

(1)直线恒过定点问题

1、已知点P(x o, y o)是椭圆

2

E:£

2

y21上任意一点,直线丨的方

程为y0y 1,直线l0过P点与直线丨垂直,点 M (-1, 0)2

关于直线l0的对称点为N ,直线PN恒过一定点G,求点G的坐标。

2、已知椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上,短轴长为2 2,离心率为-2 , P 是椭圆在第一象

ULUT UUU

限弧上一点,且 PF i PF 2 1,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线 PA 、PB 分别交椭圆

2

x

3、已知动直线y k(x 1)与椭圆C :y

于A 、B 两点。求:(1 )求P 点坐标;(2)

求证直线AB 的斜率为定值;

uuur uur

求证:MA MB 为定值.

在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆

2

c :x_ 3

y 2 1.如图所

示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线I 交椭圆C 于A , B 两点, 线段AB 的中点为E ,射线0E 交椭圆C 于点G ,交直线x 3 2 2

于点D( 3,m) . (1)求m k 的最小值;(n)

若 OG 定点; 椭圆中的取值范围问题

、常见基本题型:

OD ?OE 求证:直线

对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不

等式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来

(1)从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范

围。

2

2

5、已知直线I 与y 轴交于点P(0, m),与椭圆C : 2x y

1交于相异两点 A 、B,且

uuu LUU

AP 3PB ,求m 的取值范围. (2)利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式 ,确定参数的取值范围.

unu uur UUU 6、已知点 M (4, 0) , N(1, 0),若动点 P 满足 MN MP 6| PN |.

2

y 5 3

1

相交于A

、B

两点,已知点M( 3,0)

椭圆 专题

椭圆 专题 例1.如图:直线L :与椭圆C :交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形 OAPB 。 求证:椭圆C :与直线L :总有 两个交点。 当时,求点P 的轨迹方程。 (3)是否存在直线L ,使OAPB 为矩形?若存在,求出此时直线L 的方程;若不存在,说明理由。 解:(1)由 得 椭圆C :与直线L :总有两个 交点。 (2)设,,,与交于点,则有 即 ,又由(1)得 , (2) 得 (3) 1y mx =+2 22(0) ax y a +=>222(0) ax y a +=>1y mx =+2a =22 1 2 y mx ax y =+??+=?22()210 a m x mx ++-=22044()0a m a m >∴=++>∴ 2 22(0) ax y a +=>1y mx =+(,)P x y 1 1 (,)A x y 2 2 (,)B x y AB OP M 1212,2222 x x y y x y ++==1212 ,x x x y y y =+=+122 22m x x m +=- +122 1x x a m ?=- +12122 22 224 (1) (1)(1)()2()2222m m x y mx mx m x x m m m m ∴=- =+++=++=- +=+++(1)(2) ÷22x m x m y y =-?=-

将(3)代入(2)得 点P 的轨迹方程为 当时,这样的直线不存在;当时,存在 这样的直线,此时直线为 例 2. 设椭圆 的两个焦点是与 ,且椭圆上存在一点,使得直线与垂直. (1)求实数的取值范围; (2)设是相应于焦点的准线,直线与相 交于点 ,若 ,求直线的方程. 解:(Ⅰ)由题设有 设点P 的坐标为 由PF1⊥PF2,得 化简得 ① 将①与联立,解得 222 2 4 22042y x y y x y = ?+-=+(0,0)x y ≠≠∴ 2 2220x y y +-=(0,0) x y ≠≠121212122121200(1)(1)0(1)()10 OA OB x x y y x x mx mx m x x m x x ?=?+=?+++=?++++=222 222212(1)()()1012021 m m m a m a m m m a m m a -∴+- ++=++?---++=?=-∴ 01a <<1a >l 1y =+11 22 =++y m x )0,(1 c F -) 0(),0,(2>c c F P 1 PF 2 PF m L 2 F 2 PF L Q 322 2 -=PF QF 2 PF . ,0m c m = >), ,(00y x ,10000-=+?-c x y c x y . 2020m y x =+11 2 02 0=++y m x . 1 ,12022 m y m m x =-=

圆与椭圆综合题

1.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为 2 3 ,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12,圆k C :021422 2 =--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A . (1)求椭圆G 的方程;(2)求21F F A k ?的面积; (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G 请说明理由. 2.已知椭圆2 2 21(01)y x b b +=<<的左焦点为F ,左右顶点分别为A,C 上顶点为B ,过F,B,C 三点作 P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n . (1) 若FC 是P 的直径,求椭圆的离心率; (2)若P 的圆心在直线 0x y +=上,求椭圆的方程. 3.在平面直角坐标系xOy 巾,已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于 坐标原点O .椭圆22 219 x y a + =与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. " (1)求圆C 的方程; (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图,已知圆C :2 2 2x y +=与x 轴交于A 1、 A 2两点,椭圆E 以线段A 1A 2为长轴,离心 率2 e = . (Ⅰ)求椭圆E 的标准方程; (Ⅱ)设椭圆E 的左焦点为F ,点P 为圆C 上异于A 1、A 2O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ,判断直线PQ 与圆C 并给出证明.

5.已知平面直角坐标系中,A 1(—2,0),A 2(2,0)、A 3(1,3),△A 1A 2A 3的外接圆为C ;椭圆 C 1以线段A 1A 2为长轴,离心率.2 2= e (I )求圆C 及椭圆C 1的方程; (II )设椭圆C 1的右焦点为F ,点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点,过原点O 作直线PF 的 垂线交直线22=x 于点Q ,判断直线PQ 与圆C 的位置关系,并给出证明。 6.离心率为4 5 的椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>:上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10. 以椭圆C 的右焦点)0,(c F 为圆心,短轴长为直径的圆有切线PT (T 为切点),且点P 满足||||PB PT =(B 为椭圆C 的上顶点)。 (I)求椭圆的方程; (II )求点P 所在的直线方程l . 。 7.已知椭圆22 2210x y C a b a b +=>>:()的左焦点F 及点0 A b (,),原点O 到直线FA 的距离为 . (1)求椭圆C 的离心率e ; (2)若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上,求椭圆C 的方程及点P 的坐标. 8.. 如图,已知椭圆2 22:1(1)+=>x C y a a 的上顶点为A :M 226270+--+=x y x y 相切. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点,且0,?=AP AQ 求证:直线l 过定点,并求出该定点N : 第21题图

高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版

圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离 2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10<>b a ); (2)焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y (0>>b a ).

注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10<

椭圆的几何性质及综合问题汇总

椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”; 2.椭圆的通经: 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式: 4.椭圆的焦半径的概念及公式:主要用来求离心率的取值范围,对于此问题也可以用下列性质求解:c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系: 6.椭圆的中点弦问题: 【注】:椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度: (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围; (2)由性质写椭圆的标准方程; (3)求离心率的值或范围. 题型一:根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点)2,0(),0,3(--Q P ;(2)长轴长等于20,离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ,P ,Q 为椭圆C :)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点,若直线PQ 过原点, 且直线AP ,AQ 的斜率之积为2 1 -,则椭圆C 的离心率为( ) A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长 为8,则椭圆的左顶点为( ) A .(-3,0) B .(-4,0) C .(-10,0) D .(-5,0) (2)椭圆x 29+y 24+k =1的离心率为4 5 ,则k 的值为( ) A .-21 B .21 C .-1925或21 D .19 25 或21 (3)设椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A , B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆 C 的离心率等于________. 【典例4】已知F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点,且 215PF PF =,则该椭圆的离心率的取值范围是 练习:如图,把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则721PF PF PF +++Λ=

椭圆综合专题整理(供参考)

椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不-存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K 是否存在) ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0; ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题” (如:AQ QB λ= ?数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式 的 合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略;

①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性, 关键是积累“转化”的经验; 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型: 在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。 (1)直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012 x x y y +=,直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M (-1,0)关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒过一定点G ,求点G 的坐标。

最新椭圆标准方程及其性质知识点大全

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程: ?椭圆定义:平面内一个动点P 到两个定点F 1、 F 2的距离之和等于常数 (二)椭圆的简单几何性: ?标准方程是指中心在原点,坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 2 2 x 2 y 2 =1 (a b O) a b (PF 1 + PF 2 =2a ■ F1F 2),这个动点P 的轨迹叫椭圆?这两个定点叫椭圆的 焦 点,两焦点的距离叫作椭圆的 焦距. 注意:①若(PF 1 + |PF 2 |=F I F 2),则动点P 的轨迹为线段F 1F 2 ; ②若(PF 1 + PF ^<|F 1F 2 ),则动点P 的轨迹无图形 2 2 y 2 X 2 =1 (a ■ b ■ O) a b 图形 性质 焦占 八焦距 范围 F i (-c,O),F 2(C ,0) F I (O,-C ),F 2(0,C ) F 1F 2 =2C F 1 F 2 = 2c x^b, | y| 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 标准方程 (_a,0) , (0,-b) (0,-a), (_b,0) 顶点

?椭圆标准方程为 =1 (a b - 0),椭圆焦点三角形: 设P 为椭圆上任意一点, F i ,F 2为焦点且/ F 1PF 2 ?,则△ F i PF 2为焦点三角形,其面积为 轴长 长轴长 AA 2, AAj =2a ,短轴长 BB 2, EB 2 =2b 离心率 ① e = C (0cec1),② e =』1—(b )2 ③ c 2 = a 2_b 2 a V a (离心率越大,椭圆越扁) 【说明】: 1?方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件,焦点 F i ,F 2的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型,常数 a ,b ,c 都大于零,其中 a 最大且 a 2 = b 2+ c 2. 2 2 2.方程Ax By 二C 表示椭圆的充要条件是:ABC 工0,且A ,B ,C 同号,A 2 2 S PF I F 2 = b 2 tan 。 2 (四)通径:如图:通径长 2 2 ?椭圆标准方程:笃? — =1 a 2 b 2 (五)点与椭圆的位置关系: C 1) 点 P(x o ,y o )在椭圆外= a b a b x =1;

椭圆综合题

椭圆习题课 1 已知以F 1(2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为_____________ 2 如图直线y =kx +b 与椭圆 2 2 14 x y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S . (I)求在k =0,0<b <1的条件下,S 的最大值;(Ⅱ)当|AB |=2,S =1时,求直线AB 的方程.

3 设椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的左、右焦点分别为12F F A ,,是椭圆上的一点, 212AF F F ⊥,原点O 到直线1A F 的距离为 113 O F . (Ⅰ)证明a =; (Ⅱ)求(0)t b ∈,使得下述命题成立:设圆222x y t +=上任意点00()M x y ,处的切线交椭圆于1Q ,2Q 两点,则12OQ OQ ⊥.

4 求F 1、F 2分别是椭圆 2 2 14 x y +=的左、右焦点. (Ⅰ)若P 是第一象限内该数轴上的一点,2 2 1254 P F P F +=- ,求点P 的作标; (Ⅱ)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ,且∠ADB 为锐角(其中O 为作标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.

15 我们把由半椭圆 12 22 2=+ b y a x (0)x ≥与半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤合成 的曲线称作“果圆”,其中222c b a +=,0>a ,0>>c b . 如图,设点0F ,1F ,2F 是相应椭圆的焦点,1A ,2A 和1B ,2B 是“果圆” 与x , y 轴的交点,M 是线段21A A 的中点. (1)若012F F F △是边长为1的等边三角形,求该 “果圆”的方程; (2)设P 是“果圆”的半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤上任意一点.求证:当PM 取得最小值时, P 在点12B B ,或1A 处; (3)若P 是“果圆”上任意一点,求PM 取得最小值时点P 的横坐标.

6925椭圆的综合问题

班级 学号 姓名 一、课堂目标:会解决与椭圆有关的最值、定值以及综合问题 二、目标训练: 1、已知椭圆 19 162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为 ( ) (A ) 5 9 (B )3 (C ) 7 79 (D ) 4 9 2、P 是长轴在x 轴上的椭圆22 221x y a b +=上的点,1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半 焦距为c ,则12PF PF ?的最大值与最小值之差一定是 ( ) (A )1 (B )2 a (C )2 b (D )2 c 3、椭圆22 221x y a b +=内接矩形的最大面积为 。 4、定点)0,1(),1,1(B A -,点P 在椭圆13 42 2=+y x 上运动,则|PA|+2|PB|的最小值为 ,此时点P 的坐标为 。 5、如图,已知椭圆中心O 是坐标原点,F 是 它的左焦点,A 是它的左顶点,1l 、2l 分别为 左、右准线,1l 交x 轴于点B ,P 、Q 两点在 椭圆上,且1PM l ⊥于M ,2PN l ⊥于N , QF AO ⊥,下列5个比值中:① PM PF ,② PF PN ,③ AO BO ,④ AF BA ,⑤ QF BF ,其中等于 该椭圆离心率的编号有___________. 6、已知点),(y x P 是椭圆14 2 2=+y x 上的动点,)20)(0,(≤

7、在椭圆 14 92 2=+y x 上求一点P ,使它到直线0102=+-y x 的距离最小,并求出最小值。 8、设椭圆中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为2 3 ,已知)23,0(P 到椭圆上点的最远距离是7, 求这个椭圆的方程。 9、AB 是椭圆22 a x +22 b y =1(a>b>0)中不平行对称轴的一条弦,M 是AB 的中点,O 是椭圆 的中心,求证:k AB ·k OM =-22 a b 。 10、已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,直线 1+=x y 与该椭圆相交于 P 、Q 两点,且 2 10 ||,= ⊥PQ OQ OP ,求椭圆方程。 11、椭圆的中心是原点O ,它的短轴长为22,相应于焦点F (c ,0)(0>c )的准线l 与x 轴相交于点A , |OF|=2|FA|,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

椭圆专题复习资料讲解

椭圆专题复习 1.(课本P33.7)已知圆221:(1)1,F x y ++=圆22 2:(1)9,F x y -+=动圆P 与圆1F 外切,与圆 2F 内切,则动圆圆心P 的轨迹方程是 . 2.(课本P3 3.8).设动点P 到点(1,0)F 的距离是到直线9x =的距离之比为1 3 ,则点P 的轨迹方程是 3.(课本P32.3)改编)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P (3,0),则椭圆的方程为_______________________________ 4.(课本P33.3).经过两点2A(2,,3B(2,两点的椭圆标准方程是 . 5.(2015江苏改编) 已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的椭圆的离心率是22 ,且右焦点F 到左 准线l 的距离为3,则椭圆的标准方程为________. 6.(2015南通)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的一个顶点为(0,b)B ,右焦点为F ,直线BF 与 椭圆的另一个交点为M ,且2BF FM =,则椭圆的离心率为 7.已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,离心率为e ,若椭圆上存在点 P ,使得PF 1 PF 2 =e ,则该离心率e 的取值范围是________. 8.( 浙江2015高考第15题·)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)关于直线y =b c x 的对称 点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是________. 9.(重庆2015高考第21题)如图,椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左, 右焦点分别为F 1,F 2,过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点,且PQ ⊥PF 1. (1)若PF 1=2+2,PF 2=2-2,求椭圆的标准方程; (2)若PF 1=PQ ,求椭圆的离心率e .

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案-

一、选择题(每小题只有一个正确答案,每题6分共36分) 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 ( ) A . 5 B. 3 C. 4 D 8 2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为 ( ) A . 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3.双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 ( ) A . 67 B. 37 C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3,则P 到y 轴的距离为 ( ) A . 1 B. 2 C. 3 D 4 5.双曲线的渐进线方程为230x y ±=,(0,5)F -为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为。 ( ) A . 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6.设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 ( ) A . 52 B. 102 C. 15 2 D 5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 =ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A .y 2 =±4 B .y 2 =±8x C .y 2 =4x D .y 2 =8x 8.已知直线l 1:4x -3y +6=0和直线l 2:x =-1,抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A .2 B .3 C.11 5 D.3716

椭圆综合测试题(含答案)

椭圆测试题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、离心率为 32 ,长轴长为6的椭圆的标准方程是( ) (A )22195x y += (B )22195x y +=或22 159x y += (C ) 2213620x y += (D )2213620x y +=或22 12036 x y += 2、动点P 到两个定点1F (- 4,0)、2F (4,0)的距离之和为8,则P 点的轨迹为( ) A.椭圆 B.线段12F F C.直线12F F D.不能确定 3、已知椭圆的标准方程2 2 110 y x +=,则椭圆的焦点坐标为( ) A.( B.(0, C.(0,3)± D.(3,0)± 4、已知椭圆22 159 x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3,则P 到另一焦点的距离是( ) ( A.3 5、如果22 212 x y a a + =+表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围为( ) A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R 6、关于曲线的对称性的论述正确的是( ) A.方程22 0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3 3 0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2 2 10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3 3 8x y -=的曲线关于原点对称 7、方程 22221x y ka kb +=(a >b >0,k >0且k ≠1)与方程22 221x y a b +=(a >b >0)表示的椭圆( ). A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴.长轴 D.有相同的顶点. 8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于 A B 、两点.若3AF FB =,则k =( ) (A )1 (B (C (D )2 9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A. 54 B.53 C. 52 D. 5 1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP 的最大值为( ) A .2 B .3 C .6 D .8 11、椭圆()22 2210x y a a b +=>b >的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段

(-)三年高考真题精编解析一专题17 椭圆及其综合应用

1.【2017浙江,2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A .133 B .53 C .23 D .5 9 【答案】B 【解析】 试题分析:945 33 e -= = ,选B . 2.【2017课标3,理10】已知椭圆C :22 221x y a b +=,(a >b >0)的左、右 顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为 A 6 B 3 C 2 D .1 3 【答案】A 【解析】 试题分析:以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0,半径为r a =,圆的方程为222x y a +=, 直线20bx ay ab -+=与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即: 2 2 d a a b = =+,

整理可得223a b =,即()222223,23a a c a c =-=, 从而22 223 c e a ==,椭圆的离心率26 33c e a === , 故选A . 【考点】椭圆的离心率的求解;直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法: ①求出a ,c ,代入公式e =c a ; ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1:2 2x m +y 2=1(m >1)与双曲线 C 2: 22x n –y 2 =1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则() A .m >n 且e 1e 2>1 B .m >n 且e 1e 2<1 C .m 1 D .m

椭圆专题复习讲义

题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点A 的小球(小球的半径不计),从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是 A .4a B .2(a -c) C .2(a+c) D .以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a -c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5,离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1,F 2,过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为 ( ) A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3,△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点,,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点,则PM PN +的最小值为( ) A . 5 B . 7 C .13 D . 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点,10||||=+∴PD PC ,PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为24-4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x , 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b , 解之得:24=a ,b =c =4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征,正确转化出参数c b a ,,的数量关系.

椭圆综合专题

椭圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不-存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别) 2.设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”) 3.联立方程组; 4.消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5.根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K 是否存在) ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0; ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题” (如:AQ QB λ= ?数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式 的 合理选择); 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略;

①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想: 1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明, 5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决; 6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性, 关键是积累“转化”的经验; 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型: 在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。 (1)直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点,直线l 的方程为 0012 x x y y +=,直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M (-1,0)关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒过一定点G ,求点G 的坐标。

专题3.2 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题(解析版)

专题三 压轴解答题 第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,且椭圆考查的最多,,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知识的密切联系. 类型一 中点问题 典例1 【山东省济南市2018届高三上学期期末考试】已知点()2,1P -在椭圆()22 2:102 x y C a a +=>上,动点,A B 都在椭圆上,且直线AB 不经过原点O ,直线OP 经过弦AB 的中点. (1)求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率; (2)求PAB ?面积的最大值. 【解析】1)将()2,1P -代入22 212 x y a +=,得, 22 22112 a +=, 28a =, 椭圆方程为22 182 x y += 设直线:AB y kx m =+, ()11,A x y , ()22,B x y , ,A B 的中点为()00,M x y 由22 { 182 y kx m x y =++=得()222148480k x kmx m +++-= ()012214214km x x x k =+=-+, 002 14m y kx m k =+=+, 直线OP 经过弦AB 的中点,则OM OP k k =, 0012y x =-, 142m km =--, 12 k =

椭圆专题训练卷(含解析)

椭圆专题训练卷 一、单选题 1.(2019·宁波市第四中学高二期中)设p 是椭圆22 12516 x y + =上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于( ) A .4 B .5 C .8 D .10 2.(2020·全国高三课时练习(理))设x 、y ∈R ,则“|x |≤4且|y |≤3”是“2 16 x + 29y ≤1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 3.(2019·浙江省春晖中学高二月考)已知椭圆22 1102 x y m m +=--的焦点在y 轴上,且焦距为4,则m 等于 ( ) A .4 B .5 C .7 D .8 4.(2020·雅安市教育科学研究所高三一模(理))已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左顶点为A ,上顶点 为B ,且OA (O 为坐标原点),则该椭圆的离心率为( ) A B C D 5.(2020·四川资阳 高三其他(理))已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>经过点),且C 的离心 率为 1 2 ,则C 的方程是( ) A .22 143x y += B .22 186 x y + C .22 142 x y += D .22 184 x y += 6.(2020·全国高三课时练习(理))已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,A ,

B 分别为 C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ) A .13 B . 12 C . 23 D . 34 7.(2020·河北枣强中学高三月考(文))已知椭圆C 的方程为()22 2210x y a b a b +=>>,焦距为2c ,直线 :4 l y x = 与椭圆C 相交于A ,B 两点,若2AB c =,则椭圆C 的离心率为( ) A . 2 B . 34 C . 12 D . 14 8.(2020·甘肃城关 兰大附中高三月考(理))已知1F ,2F 分别为椭圆22 1168 x y +=的左、右焦点,M 是椭 圆上的一点,且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线,垂足为N ,若2ON =(O 为坐标原点)则21MF MF -等于( ) A .4 B .2 C D 9.(2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他(文))已知1F 、2F 是椭圆22 143 x y +=的左、右焦点,点P 是 椭圆上任意一点,以1PF 为直径作圆N ,直线ON 与圆N 交于点Q (点Q 不在椭圆内部),则 12QF QF ?=( ) A . B .4 C .3 D .1 10.(2019·宁波市第四中学高二期中)设椭圆22 221 x y a b +=0)a b >>(的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -,,点(,)2a N c 在椭圆的外部,点M 是椭圆上的动点,满足11232 MF MN F F +<恒成 立,则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A .(0 B .1) C .5)6 , D .5(,1)6 二、多选题

新高考数学考点27 椭圆的综合问题考点分类讲义练习题附解析2

考点27 椭圆的综合问题 1、掌握直线与椭圆的关系,能够解决椭圆问题中的直线的方程和斜率问题· 2、掌握圆锥曲线中最值问题的解题策略 3、掌握圆锥曲线中定点、定值等问题 解答题中考查直线与椭圆的知识 .涉及重点是考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等 . 在解决这类问题时,要充分利用方程的思想、数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外,这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力 解析几何题的解题思路一般很容易觅得,实际操作时,往往不是因为难于实施,就是因为实施起来运算繁琐而被卡住,最终放弃此解法,因此方法的选择特别重要.从思想方法层面讲,解析几何主要有两种方法:一是设线法;二是设点法.此题的两种解法分属于设点法和设线法.一般地,设线法是比较顺应题意的一种解法,它的参变量较少,目标集中,思路明确;而设点法要用好点在曲线上的条件,技巧性较强,但运用得好,解题过程往往会显得很简捷.解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任,所以必要的计算量是少不了的,不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃,坚持到底才是胜利 1、【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C :22 220)1(x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段 A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为

A . 3 B . 3 C .3 D . 13 2、【2018年高考浙江卷】已知点P (0,1),椭圆24 x +y 2 =m (m >1)上两点A ,B 满足AP =2PB ,则当 m =___________时,点B 横坐标的绝对值最大. 3、【2019年高考天津卷理数】设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的短 轴长为4 (1)求椭圆的方程; (2)设点P 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M 为直线PB 与x 轴的交点,点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =(O 为原点),且OP MN ⊥,求直线PB 的斜率. 4、【2020年北京卷】.已知椭圆22 22:1x y C a b +=过点(2,1)A --,且2a b =. (Ⅰ)求椭圆C 的方程: (Ⅱ)过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q .求|| || PB BQ 的值. 5、【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22 :143 x y E +=的左、右焦点分别为F 1,F 2,点 A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点 B .

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