关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
关于圆锥曲线弦长的“万能公式”及其应用
众所周知,我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线（即二次曲线）。
一般直接用公式解决弦长问题时,计算量大,容易出错,这正是高考命题需要考查学生计算能力的一个重要方面。
我们通常用“设而不求”的方法，可得到其弦长公式。
这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。
本文将给同学们介绍“圆锥曲线弦长万能公式”，用它来解题可以简化运算过程。
假设设直线l的方程为：y=kx m（特殊情况要讨论k的存在性），圆锥曲线为f（x，y）=0(可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线)，把直线l的方程代入二次曲线方程，可化为ax2 bx c=0，（或ay2 by c=0），不妨设直线和二次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2），那么：x1，x2是方程ax2 bx c=0的两个实数解，于是有。
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式的各类表达形式及应用
圆锥曲线弦长公式是指一种求解圆锥曲线弦长长度的数学公式。
圆锥曲线是常见的椭圆锥这类参数方程曲线，表示一条从圆柱面出发在四个方向上均呈轻微弯曲，伸展出不同长度的弦曲线，它具有如下表达形式：
X^2 + Y^2 + z^2 / a^2 + 2z / c = 1
其中a为曲线的椭圆截面半径，c为曲线的焦点到原点的距离。
此外，圆锥曲线的弦长公式又有两种表达形式：积分形式和解析形式。
即：
积分形式：l= ∫ a,b √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2+ (dz/dt)^2] dz
解析形式：l= 2a ∫ 0,π/2 [1+ (z/c)^2] ^1/2 d θ
这两种形式分别由圆锥曲线弦长公式参数方程求得，分别通过积分、解析解轴，分别求得弦长长度。
应用上，圆锥曲线弦长公式有各种广泛的应用。
它被冶金、机械、建筑等工程学科广泛使用，主要处理伸缩性有限的形状问题，满足测量要求及计算曲线的长度的需要。
同时，它还被广泛应用于地球物理学领域，一种可以变成圆锥曲线的小球轨迹，可以用来研究宇宙物质的运动规律。
总而言之，圆锥曲线弦长公式具有可探索性广泛的应用，对于求解圆锥曲线弦长长度具有重要意义。
巧用弦长公式 妙解圆锥曲线
客观题方面有不错的效果．当然，需要强调的是，几何并不能完全代替代数，这也是解析几何发展的重要依据与出发点．仅以上海高考一例说明此点并结束本文．在该题的解答中，代数工具的优势发挥得甚是明显，而几何上的观察则不易（如图20）．例10 （2017年高考上海卷·理16）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x yC +=和22:C x + 219y =．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值．记{()|Ω=P Q P ，在1C 上，Q 为2C 上，且}OP OQ w ⋅= ，则Ω中元素的个数为（ ）． A ．元素个数为2 B ．元素个数为4C ．元素个数为8D ．含有无穷个元素 解析 不妨设(6cos 2sin )P θθ，，(cos 3sin )Q ϕϕ，，则(6cos 2sin )(cos 3sin )6(cos cos θθϕϕθϕ⋅==+ OP OQ ，，sin sin )6cos()θϕθϕ=−，故OP OQ ⋅的最大值6w =，当且仅当θϕ=时等号成立，即有无穷多组()P Q ，满足题意，选D ．参考文献[1]钱珮玲．数学思想方法与中学数学（第二版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2008[2]刘绍学．普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）[M]．北京：人民教育出版社，2004[3]兰琦．高中数学进阶教程（每日一题好题精选）[M]．杭州：浙江大学出版社，2016[4]杜志建．金考卷·2020浙江新高考优秀模拟试卷汇编45套[M]．乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2019（本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《高三数学微专题教学的设计与实践研究》（课题编号：FJJKXB18-652）的研究成果）巧用弦长公式 妙解圆锥曲线黄书虹 福建省泉州市培元中学（362000）在解决圆锥曲线有关线段的距离问题，经常要涉及弦长公式，如果用传统的弦长公式，计算量非常大．因此本文引出广义的弦长公式，适用于直线上任意两点的距离，极大地简化计算，有助于快速解决圆锥曲线问题． 直线与圆锥曲线相交弦长公式为： ||AB =12||x x =−，其中11()A x y ，，22()B x y ，是直线与圆锥曲线的交点．其实，这个公式也适用于直线上任意两点的距离公式，设11()A x y ，，22()B x y ，为直线:l y kx m =+上的任意两点，则||AB=12||x x −或12||||AB y y =−．利用这个距离公式，可以将线段的关系转化为点坐标关系，进而利用韦达定理解决．引例1 （2017年福建质检卷·文20）以抛物线ΓΓ于A B ，两点，且||2AB =． （I ）建立适当的坐标系，求Γ的方程； （II ）若过点A 且与Γ只有一个公共点的直线l 交Γ的对称轴于点C ，点D 在线段AB 上，直线CD 与Γ交于P Q ，两点，求证：||||||||PC QD PD QC ⋅=⋅．解析 （I ）设Γ的顶点为O ，则圆O 的半径r =||2AB =，所以O 到直线AB 的距离为d = 1=，如图1，以O 为原点，过O 且垂直于Γ对称轴的直线为x 轴，Γ对称轴所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，由对称性，不妨设点A 在y 轴左侧，则(11)A −，，(11)B ，．设抛物线Γ的方程为22(0)x py p =>．因为A 在Γ上，所以2(1)−= 2p ，解得12p =．故抛物线Γ的标准方程为2x y =．（这里建系方法不唯一，抛物线也可以是开口向右）（II ）由（I ）知，Γ的方程为2y x =，所以2y x ′=，因为直线l 与Γ只有一个公共点，且与y 轴交于C ，所以直线l 为Γ的切线，所以直线l 的斜率为1|2x y =−′=−， 所以直线l 的方程为12(1)y x −=−+， 令0x =，得1y =−，故(01)C −，． 设直线CD 的方程为1(0)y kx k =−≠， 11()P x y ，，22()Q x y ，， 由21y kx y x =−= ，，得210x kx −+=，所以240k ∆=−>，即2k <−或2k >． 又12x x k +=，121x x ⋅=， 所以2212121y y x x ⋅=⋅=， 将1y =代入1y kx =−，得2x k =，即2(1)D k ，． 不妨设C P D Q ，，，自上而下顺序排列，依题意得，20x ≠，220x k−≠．图1法1 利用几何性质，应用三角形的相似关系，将线段关系转化为坐标关系．由三角形的相似比可得1122||||||||x x PC QC x x ==， 112222||||22||||x x PD k k QD x x k k −−+==−−， 因为122122()()x x x x k k −−−+1212222()20x x x x k k k=−+=−⋅=，所以112222x x k x x k−+=−，即||||||||PC PD QC QD =， 所以||||||||PC QD PD QC ⋅=⋅成立．法2 向量法 因为||||PC QD ⋅ ||||cos 0PC QD =⋅⋅ PC QD =⋅ 11222(1)(1)x y x y k=+⋅−−，，12122()(1)(1)x x y y k=−++−，||||||||cos 0PD QC PD QC PD QC ⋅=⋅⋅=⋅11222(1)(1)x y x y k =−−⋅−−−，，12122()()(1)(1)x x y y k=−−+−−−， 所以||||||||PC QD PD QC ⋅−⋅12121222()(1)(1)()()x x y y x x k k =−++−−−−12(1)(1)y y +−−−112112221x x x y y y y k ⋅−+−+− 212211221x x x y y y y k +⋅−++−−1212122()2220x x x x y y k=+−−+=，所以||||||||PC QD PD QC ⋅=⋅成立．法3 利用直线上两点的距离公式，将线段关系转化为坐标关系因为C P D Q ，，，都在直线l 上，所以11||0|PC x x =−=，22||0|QC x x =−=，1122||||+PDx x k k =−=-），2222|||()QD x x k k=−=−．因为122122()()x x x x k k −−−+1212222()20x x x x k k k=−+=−⋅=，所以112222x x k x x k−+=−，= 即||||||||PC PD QC QD =， 所以||||||||PC QD PD QC ⋅=⋅成立．注 本题主要考查坐标法、直线与圆的位置关系、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．引例2 （2018年福建质检卷·文20）在平面直角坐标系xOy 中，点F 的坐标为1(0)2，，以MF 为直径的圆与x 轴相切．（I ）求点M 的轨迹E 的方程；（II ）设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交E 于A B ，两点，交E 在T 处的切线于点N ．求证：25||||||2NT NA NB =⋅． 解析 （I ）点M 的轨迹E 的方程为22x y =．（略）（II ）由（I ）得(22)T ，，所以直线OT 得斜率为1．因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为+(0)y x m m ≠， 由212y x =，得y x ′=， 则E 在T 处的切线斜率为2|2x y =′=，所以切线方程为22y x =−． 由22y x m y x =+=− ，，得222x m y m =+ =+，， 所以(222)N m m ++，， 由2y x m x y =+=，，消y 得2220x x m −−=，由480m ∆=+>，得12m >−． 设11()A x y ，，22()B x y ，， 则122x x +=，122x x m ⋅=−．又2222||[(2)2][(22)2]5NT m m m +−++−．图2法1 向量法 11((2)(22))NA x m y m =−+−+，， 22((2)(22))NB x m y m =++-，-，因为N A B ，，在直线l 上，11+y x m =，22+y x m =，所以||||||||cos 0NA NB NA NB NA NB ⋅=⋅⋅=⋅12[(2)][(2)]x m x m +⋅+-- 12[(22)][(22)]y m y m ++⋅+-- 12[(2)][(2)]x m x m +⋅+--12[()(22)][()(22)]x m m x m m +++⋅++--2121222(2)()2(2)x x m x x m =−++++ 2244(2)2(2)2m m m m =−−+++=．故25||||||2NT NA NB =⋅成立． 法2 利用直线上任意两点的距离公式 因为N A B ，，在直线l 上，所以1|||(2)|NA x m =−+，2|||(2)|NB x m =−+， 12||||2|[(2)][(2)]|NA NB x m x m ⋅=−+⋅−+22121222(2)()2(2)2x x m x x m m =−++++=，故25||||||2NT NA NB =⋅成立． 注 本题主要考查抛物线的定义及标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等．引例3 （2019年泉州质检卷·文22）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2x t y nt =−+=，（t 为参数），其中0n >，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为θ= π()2ρ∈R ，曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=． （I ）求12C C ，的直角坐标方程；（II ）已知点(20)P −，，l 与1C 交于点Q ，与2C 交于A B ，两点，且2||||||PA PB PQ ⋅=，求l 的普通方程． 解析 （I ）12C C ，的直角坐标方程的直角坐标方程分别为0x =，221x y −=．（略） （II ）法1 利用参数t 的几何意义 把2x t =−+，y nt =代入221x y −=， 得22(1)430n t t −+−=． 因为21240n ∆=+>恒成立， 所以12241t t n +=−−，12231t t n =−−， 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1|||PA t =，2|||PB t =所以12|||||||PA PB t t ⋅=221223(1)||(1)||1n t t n n =+=+−． 又直线2x t l y nt =−+=，:（t 为参数）交1:0C x =交于x点Q ，则点Q 对应的参数2Q t =，(02)Q n ，，所以2222||(1)||4(1)Q PQ n t n =+=+． 由2||||||PA PB PQ ⋅=，得2223(1)||4(1)1n n n +=+−，所以23|1|4n −=．因为0n >，所以12n =， 代入直线l 的普通方程(2)y n x =+，得到1+12y x =或y = 注 本题直线l 的参数方程是非标准型，则||PA1||t ，而不是1||||PA t =，因此学生很容易在这个地方犯错，得出12||||||PA PB t t ⋅=，导致计算出错．利用这个方法需要对参数的几何意义有深刻的理解，而不是简单地代入公式．法2 利用直线上两点间的距离公式 直线l 的普通方程为(2)y n x =+，由(2)0y n x x =+=，，得(02)Q n ，，联立22(2)1y n x x y =+−=，，得2222(1)4(41)0n x n x n −+++=， 因为21240n ∆=+>恒成立，设11()A x y ，，22()B x y ，，则212241n x x n +=−−，2122411n x x n +=−． 因为A B P Q ，，，都在直线l 上，所以1|||2|PA x +，2|||2|PB x +，|||02|PQ =+由2||||||PA PB PQ ⋅=，得2212(1)|(2)(2)|4(1)n x x n +++=+， 即2222418|4|411n n n n +−+=−−， 所以23|1|4n −=，因为0n >，所以12n =，故直线l 的方程为1+12y x =或y =注 法2避免了直线的参数方程的误区，利用两点的距离公式12||||AB x x =−简化计算，学生相对容易接受．注 本题主要考查极坐标系与参数方程等基础知识，考查运算求解能力等，考查数形结合思想等，导向对直观想象等核心素养的关注．结束语直线上两点间的距离公式在圆锥曲线中的应用广泛，可以将线段关系转化为坐标关系，极大地简化计算．但是这个方法比较适用于各点是共线的情况，这样计算可以不用考虑直线斜率的问题．当然，参数法和向量法在圆锥曲线中也是很好的方法．一道高考不等式试题探析陈景文 福建省泉州市第七中学（362000）近日，笔者对2019年全国Ｉ卷理第23题深入探究，从问题条件及目标结构特点出发，寻求多元化解题策略，供读者参考研究． 问题呈现 已知a b c ，，为正数，且满足1abc =．证明： （1）222111b ca c ab ≤++++； （2）333()()()24a b bc c a +++≥++．１ 解法展示此题是高考卷最后一题，命题者预期此题难度较小．此题题目简洁，内涵丰富，解题方向较广．对条件的结构特征与解题目标不同分析，会产生一些对今后高考复习有启示的解法．1.1 第一问证明解题目标中含有111a b c++与222a b c ++结构，分别为分式与整式，又没有齐次化，因此，解题时还须对目标进行适当的转化．结合1abc =，注意到1a +。
圆锥曲线：弦长公式与面积的12类题型考法总结 高考数学
PQ = 3.
【答案】(1)求椭圆C的方程；(2)求△ 面积的取值范围.
试卷讲评课件
【详解】(1)依题意， = ，当直线的斜率不存在时，由 = ，
得直线过点
为
+
,
，于是
+
= ，解得 = ，所以椭圆的方程
= .
(2)依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为
【解析】 = .
试卷讲评课件
(3)是否存在常数，使得 + = ⋅ 恒成立？若存在，
求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由于PF 的方程为 = �� + ，将其代入椭圆方程得
+ − + − = ，由违达定理得
+
+
−
− − +
− +
+
=
试卷讲评课件
3.特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，
不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两
个三角形的底边长.
= + = ∣ ∣∣ − ∣
＋
＋
由 ＞，得0＜ ＜ ，所以 ＜＜.综上可得：
＋
＜
≤ ，即 ∈
( ,
].
试卷讲评课件
例2.已知 P 为椭圆
x2
8
+
y2
2
= 1 上的一个
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB .解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=⋅⋅-+α，整理可得αcos 2⋅-=c a b x ，同理可求得αcos 2⋅+=c a b y ，则ααα222222cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=⋅++⋅-=+=；同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α2222sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距）.结论：椭圆过焦点弦长公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=).(sin2),(cos222222222轴上焦点在轴上焦点在ycaabxcaabABαα二、双曲线的焦点弦长设双曲线(),0,012222>>=-babyax其中两焦点坐标为)0,(),0,(21cFcF-，过F1的直线l的倾斜角为α，交双曲线于两点()(),,,,2211yxByxA求弦长|AB|.解：（1）当ababarctanarctan-<<πα时，（如图2）直线l与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连BFAF22,，设,,11yBFxAF==，由双曲线定义可得ayBFaxAF2,222+=+=，由余弦定理可得222222)2()cos(22)2(,)2(cos22)2(aycycyaxcxcx+=-⋅⋅-++=⋅⋅-+απα整理可得αcos2⋅+=cabx，αcos2⋅-=caby，则可求得弦长;cos2coscos222222αααcaabcabcabyxAB-=⋅-+⋅+=+=（2）时或当παπα<<-<≤ababarctanarctan0，如图3，直线l 与双曲线交点()()2211,,,y x B y x A 在两支上，连F 2A,F 2B,设,,11y B F x A F == 则a y B F a x A F 2,222-=+=，由余弦定理可得222)2(cos 22)2(a x c x c x +=⋅⋅-+α,222)2(cos 22)2(a y c y c y -=⋅⋅-+α,整理可得，则,cos ,cos 22a c b y a c b x -⋅=+⋅=αα .cos 2cos cos 222222a c ab a c b a c b x y AB -⋅=+⋅--⋅=-=ααα因此焦点在x 轴的焦点弦长为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<≤--<<-=).arctan arctan 0(cos 2),arctan (arctan cos 222222222παπααπααa b a b ac ab a ba b c a ab AB 或 同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<<-<<-<≤-=).arctan (arctan sin 2),arctan arctan 0(sin 222222222a b a b a c ab a ba b c a ab AB πααπαπαα或 其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，α为AB 的倾斜角.三、 抛物线的焦点弦长若抛物线)0(22>=p px y 与过焦点)0,2(pF 的直线l 相交于两点()()2211,,,y x B y x A ，若l 的倾斜角为α，求弦长|AB|.（图4）。
求解圆锥曲线的弦长公式的推导过程
圆锥曲线的弦长公式是：L=2π√(R^2+r^2)/2-Rr 。
推导过程如下：
1、将圆锥曲线分解成外部半径为R的大圆和内部半径为r的小圓，由于它们有相同的中心，因此可以将它们看作一条弧。
2、根据余弦定理可得出大圆和小圓之间的夹角θ=cos-1((R-r)/d) （d表示大小圓之间的距离）。
3、根据三角形周长公式可得出该三角形周长L=a+b+c （a,b,c分别表示大小圓之间夹边所对应的三条弦）。
4、由于该三角形是一个平行四边形中心旁切剖而成，因此有a=b=c=(R+r)sinθ/2
（sinθ/2表示斜对边所对应的半径所成外劈边所对应的斜对辰～也就是说斜对辰也是一条直径~ 就能通过上述方法将原始问题化整个思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~~). 5、将上述步骤代入L = a + b + c , 即 L = 2 ( R + r ) sin θ / 2 . 6、根据正弦定理sin θ = 2 sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) , 就可以将L = 4 R r cos ( θ / 2 ) . 7、再根据余弦定理cos ( θ / 2 ) = √ [ 1 - sin ^ { 2 } ( θ / 2 )] , 最后便可得出L = 4 R r √ [ 1 - ( R - r d ) ^
{ 2 } ] . 8. 最后化整即L = 4 π √(R^2+r^2)/4-Rr。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y kx b代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标 A X i, y i , B X2, y ,利用韦达定理及弦长公式7(1 k2)[(x i X2)24x1X2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.、椭圆的焦点弦长2若椭圆方程为丰1(a b 0)，半焦距为c>0,焦点F1( c,0), F2(c,0)，设过F1的直线I的倾斜角为,l交椭圆于两点Ax1,y1 ,B x2, y2,求弦长AB .解：连结F2A, F2B，设|F i A x,|F i B| y，由椭圆定义得卩2円2a x, F2B 2a y，由余弦定理得x2(2c)2 2x 2c cos (2a x)2，整理可得xb2，同理可求a c cos得y —a c cos2 2cl b b 2ab，则A B x y --------------- ------------ —__2 ----- 2b22同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为|AB| 2 2宁2 ( a为长半轴，b为短a c sin半轴，c为半焦距).结论：椭圆过焦点弦长公式:2ab2I ~2 2 2AB a c cps22a b2(焦点在y轴上).(焦点在X轴上),D1二、双曲线的焦点弦长2 2设双曲线冷1a 0,— 0,其中两焦点坐标为F I（ C,0）,F2（C,0），过F I的直线I的a b倾斜角为，交双曲线于两点 A x1, y1 ,B x2, y2 ,求弦长|AB|.b解： (1)当arctan —a arctan —时，（如图2）a直线l与双曲线的两个交点A、由双曲线定义可得『2人2 2X (2c) 2x 2c cos整理可得X|AB|X y—2(2)当0B 在同一支上，连F Q A^B，设I F I A X,|F I BX 2a, F2B(X 2a)2,y2—2a c cosa c cosarcta n—或a直线l与双曲线交点X 2a, F2B—2c cosb arctan—ay,，y 2a，由余弦定理可得(2c)2 2y 2c cos( ) (y 2a)2—2y ----------- ，则可求得弦长a c cos2a—2~2 2 2a c cos时，如图3,A X i,y i ,B X2, y2在两支上，连F?A,F?B设|只円x,2a，由余弦定理可得F I B y,.yAB2 2X (2c) 2x 2c cos2 2 2 2(X 2a)2, y2(2c)2 2y 2c cos (y 2a)2,因此焦点在x 轴的焦点弦长为抛物线的焦点弦长若抛物线/2p x （p0）与过焦点F（号,0）的直线1相交于两点Ax1，y1，Bx2，y2，若I 的倾斜角为，求弦长|AB|.（图4）解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线AA i 、BB , A i 、F则点A 的横坐标为22xcos，点B 横坐标为1 ycos，由抛物线定义知2 x cosx，2 ycos子y,即x - 1 cosP 1 cosp 1 cosP 2p1 cos 1 cos 22p.2 Sin同理y 22px （p 0）的焦点弦长为|AB |2p.2Sin整理可得，xb 2c cos-,则ab 2b 2|AB I y xc cos a c cos2ab 22cos a22ab~22 2|AB | a2 c cos ''2ab 2~22~b(arcta n —aarcta n —或ab arcta n— ), a arctanba).同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式2ab 2~2|AB | a22 (0arcta nP 或c sin a2ab 2 b ———2 ----- (arcta n — c sin a aarcta a b arcta n —).a),其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距,为AB 的倾斜角.B i 为垂足，设I F A X ,|FB2py(p 0)的焦点弦长为AB2p ,，所以抛物线的焦点弦长为cos2P (焦点在X轴上),sin2p (焦点在y轴上).cos由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握|AB圆锥曲线的弦长公式一、椭圆：设直线与椭圆交于P i(x i,y i)R(X2,y2),且P1P2斜率为K,则|P i P2| = |X i-X2| 寸—或|P i P2| = |y i-y2| i/K2) {K=(y?-y i)/(x2-x i)}J 2 2=讥1 k )[(x i X2) 4x1X2]二、双曲线：设直线与双曲线交于P i(X i,y i),P2(X2,y2),且PP2斜率为K，则|P I P2|=|X i-X2| ~K2)或|P i P2|=|y i-y2| 2i/K ) {K=(护-y i)/(x2-x i)}2 2k )[(X i X2) 4X i X2]三、抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x,y i),B(X2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x i+X2+p 或|AB|=2p/(sin2 ){为弦AB 的倾斜角}或|AB|2P—匕三(k为弦AB所在直线的斜率)1 k(2)设直线与抛物线交于P i(X i,y i),P2(X2,y2),且P i P2斜率为K,贝U|P i P2|=|x i-X2| K2)或|P i P2|=|y i-y2| \ {K=(y>-y i)/(x2-x i)} = J(1 k2)[(X i X2)24x1X2]。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习圆锥曲线的弦长公式
弦长公式实战演示（高二第20期）龚学谦在直线与圆锥曲线相交的位置关系中，涉及弦长的题型很多，这里介绍一个弦长公式，供同学们在有关题型的求解证明中应用。
一、公式的形成已知直线l ：y =k x +m 和圆锥曲线C ：f (x ,y )=0,若直线l 与圆锥曲线C 交于两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),设由方程组⎩⎨⎧y =k x +m f (x ,y )=0消去y 所得的一元二次方程为a x ²+b x +c=0,则A 、B 两点的横坐标x 1,x 2满足方程。
于是x 1+x 2= -b a ,x 1x 2=c a ,判别式Δ=b²-4ac. 从而|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+[(kx 1+m)-(kx 2+m)]2 =(1+k 2)(x 1-x 2)2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+k 2)[(-b a )2-4×c a ]= (1+k 2)Δ|a|于是有圆锥曲线的弦长公式⑴：|AB|= (1+k 2)Δ|a| 同理：设由方程组⎩⎨⎧y =k x +m f (x ,y )=0消去x 所得的一元二次方程为a y ²+b y +c=0,可得圆锥曲线的弦长公式⑵：|AB|= (1+k 2)Δ|a|二、公式的应用举例⒈已知曲线和弦的中点，求弦长例1 已知抛物线y ²=6x ,过点P(4,1)作一弦与抛物线相交于A 、B ，使P 恰为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程和弦AB 的长。
分析：设出直线AB 方程，由根与系数关系，中点公式，弦长公式求解。
解：设过P 点的直线AB 方程为y -1=k(x -4)(k ≠0),由方程组⎩⎨⎧y 2=6x y-1=k(x-4)中消去x 得k y ²-6y +6-24k=0,⑴ 由中点公式及根与系数的关系得- -62k = y 1+y 22=1，解之k=3, 故弦AB 所在的直线方程为y -1=3(x -4),即y =3x -11,这时，方程⑴化为y ²-2y -22=0.由弦长公式得 |AB|=|13|)22(14)2)[(31(22⋅-⋅⋅--+=23032 点评：显然，由方程组消去y 比消去x 好，但要注意用弦长公式⑵求解弦长。
圆锥曲线的弦长问题
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01
弦长是指连接圆锥曲线上的两点的线段的长度。
02
弦长的计算方法有多种，包括公式法、参数方程法、极坐标法
等。
弦长公式是计算弦长的常用方法，适用于不同圆锥曲线和不同
03
坐标系。
02
圆锥曲线弦长的公式与定 理
圆锥曲线的一般弦长公式
圆锥曲线的一般弦长公式为：$|AB| = frac{2sqrt{D^2 - 4F}}{sqrt{1 - k^2}}$，其中 $D$是曲线的一般方程中x和y的最高次项系数 乘积的一半，$F$是常数项，$k$是弦AB的斜 率。
研究弦长问题在工程学中的应用，如桥梁、建筑的设计等。
弦长问题与其他数学知识的结合
弦长问题与线性代数的结合
探讨弦长问题与线性代数之间的关系，如矩阵 变换、线性方程组等。
弦长问题与解析几何的结合
研究弦长问题与解析几何之间的关系，如参数 方程、极坐标等。
弦长问题与微积分的结合
探讨弦长问题与微积分之间的关系，如求曲线长度、面积等。
函数与导数
在解决函数与导数问题时，有时需要利用弦长公式进行计算。
综合题
在高考数学的综合题中，有时会涉及到弦长问题，需要考生综合 运用所学知识进行解决。
05
弦长问题的变式与拓展
弦长问题的变种形式
弦长与角度的关系
研究弦长与圆锥曲线上的角度之间的关系，如弦的中垂线与曲线的 交点等。
弦长与焦点的关系
探讨弦长与圆锥曲线的焦点距离之间的关系，以及在何种情况下弦 长达到最大或最小值。
实际生活中的弦长问题
01
02
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桥梁设计
在桥梁设计中，需要计算 通过桥墩的弦长，以确保 桥梁的稳定性和安全性。