_多目标规划方法

有
推。若要区别具有相同优先因子 的pl 目标的差别，
关
就可以分别赋予它们不同的权系数 ? lk (k ? 1,2,? ,。K )这
概
些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定
念。
目 4.目标函数
标
目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标
规 约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造
划 模
的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。 因此，目标规划的目标函数只能是：
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最 优化（最大或最小），而不顾其它目标。
非劣解：可以用图6.1.1说明。
图6.1.1 多目标规划的劣解与非劣解
在图6.1.1中，就方案①和②来说，①的 目f 2 标值比② 大，但其目标值 f比1 ②小，因此无法确定这两个方案的 优与劣。在各个方案之间，显然：③比②好，④比①好， ⑦比③好，⑤比④好。 而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法 确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们 就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案 都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
?
d
? i
?
d
? i
?
f i? (i ? 1,2,? , K )
（6.2.18） （6.2.19） （6.2.20）
式中：d i?
和
d
? i
分别表示与 fi
相应的、与
f
* i
相比
的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量；
pl 表示第l个优先级；
、 ? ? ?
?
lk
lk
表示在同一优先级
pl
中，不同目标的
当目标函数处于冲突状态时，就不会存 在使所有目标函数同时达到最大或最小值的 最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非 支配解或帕累托解）。
§6.2 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标 规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化， 有如下几种建模方法。
?一、效用最优化模型
三、约束模型
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个 可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而 被排除出目标组，进入约束条件组中。
假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个 可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化 为单目标规划问题：
max(min) Z ? f1 (x1 , x2 ,? , xn )
（6.3.7）
c) 要求超过目标值，也就是超过量不限，但负 偏差变量要尽可能小，即
min Z ? f (d ? )
（6.3.8）
在实际问题中，可以根据决策者的要求，引入 正、负偏差变量和目标约束，并给不同目标赋予相 应的优先因子和权系数，构造目标函数，建立模型。
max(min) Z ? AX
（6.1.5）
BX ? b
（6.1.6）
式中：X 为n维决策变量向量；
A为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；
B 为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；
b 为m维的向量，约束向量。
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做 出如下的复合选择： ▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最 满意的解决？ ▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最 满意的解决 ？
? i (x1 , x2 ,? , xn ) ? gi (i ? 1,2,? , m)
f
min j
?
fj
?
f
max j
(
j
?
2,3,? , k)
采用矩阵可记为：
max(min) Z ? f1 (X )
? (X) ? G
F min 1
?
F1
?
F max 1
四、目标规划模型
也需要预先确定各个目标的期望值
本节主要内容：
?目标规划模型 ?求解目标规划的单纯形方法
一、目标规划模型
（一）基本思想 ： 给定若干目标以及实现这些目标的优先
顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标 值的偏差最小。
（二）目标规划的有关概念
例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备 可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种 产品的单价分别为 8元和10元；生产单位甲、 乙两种产品需要消耗的原材料分别为 2个单位 和1个单位，需要占用的设备分别为 1台时和2 台时；原材料拥有量为 11个单位；可利用的 设备总台时为 10台时。试问：如何确定其生 产方案？
(
X
)
? ?
Z
?
F(X)
?
? ?
max(min) ?
f
2
(
X
)
? ?
???max(min) f k ( X )???
??? 1( X ) ??
?? g1 ??
?
(X
)
?
??
?
2
(X ?
)? ?
?
G
?
? ?
g2 ? ??
???? m ( X )???
??? gm ???
（6.1.1） （6.1.2）
式中：X ? [x1 , x2 ,? , xn ]T 为决策变量向量。
?二、罚款模型 ?三、约束模型 ?四、目标规划模型 ?五、目标达到法
一、效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列 的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标 之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转 化为传统的单目标规划问题：
max Z ? ? (X )
i?1
fi?
? i (x1 , x2 ,? , xn ) ? g i (i ? 1,2,? , m)
或写成矩阵形式： min Z ? (F ? F ? )T A(F ? F ? ) ? (X) ? G
式中，ai 是与第i个目标函数相关的权重； A是由 ai (i ? 1,2,? , k)组成的m×m对 角矩阵。
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写，
即：
max(min)Z ? F ( X )
（6.1.3）
? (X) ? G
（6.1.4）
式中： Z ? F ( X )是k维函数向量，k是目标函数的个数； ? (X )是m维函数向量； G 是m维常数向量；m是约束方程的个数。
对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和 （6.1.4）式可以进一步用矩阵表示：
（6.2.1）
? (X) ? G
（6.2.2）
? 是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组
权值 ? i 来反映原问题中各目标函数在总体目标 中的权重，即：
k
? max? ? ? i? i i?1
? i (x1, x2 ,? xn ) ? gi (i ? 1,2,? , m)
如果决策者所追求的唯一目标是使总产值 达到最大，则这个企业的生产方案可以由如下 线性规划模型给出：求 x1 ，x2 ，使
max z ? 8x1 ? 10x2
（6.3.1）
而且满足：
xZ12
?2 x1 ? x2 ? 11
(6.3.2)
? ?
x1
?
2x2
?
10
(6.3.3)
?? x1 , x2 ? 0
正、负偏差变量的权系数。
五、目标达到法
首先将多目标规划模型化为如下标准形式：
? f1( X )?
min
F (x)
?
min
? ?
f
2
(X ?
)
? ?
? ?
f
k
(
X
)??
?
(X
)
?
????? ????
1(X
2
(X ?
m (X
) )
)
?? ? ???
?
??00 ?? ? ?? ??0 ??
（6.2.21） （6.2.22）
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到 目标值，故有d ? ? d ? ? 0 成立。
2、绝对约束和目标约束
目
绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等
标
式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都
规
是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非
划
可行解，所以它们是硬约束。
模
目标约束，目标规划所特有的，可以将约束
f
* i
(i ? 1,2,? , k )
（6.2.23） （6.2.24）
? j ( X ) ? 0 ( j ? 1,2,? , m)
（6.2.25）
用目标达到法求解多目标规划的计算过程， 可以通过调用Matlab软件系统优化工具箱中的 fgoalattain函数实现。该函数的使用方法，详见 教材的配套光盘。
在求解之前，先设计与目标函数相应的一组目标 值理想化的期望目标 fi* (i ? 1,2,? , k ) ,每一个目标 对应的权重系数为 wi (i ? 1,2,? , k )，再设 ? 为一 松弛因子。那么，多目标规划问题（6.2.21）～
（6.2.22）就转化为：
min ? X ,?
fi ( X ) ? wi? ?
标
目标的考虑,往往是有主次或轻重缓急的。凡要求第
规
一位达到的目标赋予优先因子 ，次位p的1 目标赋予
划
优先因子 ，……，p并2 规定 pl ?? pl?1 (l ? 1,2,? , L表)
模
示 比 pl?1 p有l 更大的优先权。这就是说，首先保证
型
级目p1标的实现，这时可以不考虑次级目标；而
的
级p2 目标是在实现 级p1 目标的基础上考虑的；依此类
型
方程右端项看作是追求的目标值，在达到此目标
的
值时允许发生正的或负的偏差 ，可加入正负偏差
有
变量，是软约束。
关 概
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和 加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也
念
可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。
3.优先因子（优先等级）与权系数
目
一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个
§6.3 目标规划方法
通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方 法是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper ）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
这样，该企业生产方案的确定，便成为一个 多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方 法进行求解。
目 标 规 划 模 型 d ?
的 有 关 概 念
为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。
1.偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要
引入正、负偏差变量 d ? 、d ? 。其中，正偏差变量表 示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策 值未达到目标值的部分。
第六章 多目标规划方法
在地理学研究中，对于许多规划问题， 常常需要考虑多个目标，如经济效益目标， 生态效益目标，社会效益目标，等等。为 了满足这类问题研究之需要，本章拟结合 有关实例，对多目标规划方法及其在地理 学研究中的应用问题作一些简单地介绍。
本章主要内容：
?多目标规划及其求解技术简介 ?目标规划方法 ?多目标规划应用实例
式中，诸
?i
应满足：
k
?
?i
?1
i?1
若采用向量与矩阵
max? ? ?T?
? (X) ? G
二、罚款模型
规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值 （或称满意值）；
通过比较实际值 fi 与期望值 fi? 之间的偏差来选择 问题的解，其数学表达式如下：
k
? min Z ? ai ( f i ? fi? ) 2
§6.1多目标规划及其非劣解
?多目标规划及其非劣解
?多目标规划求解技术简介
一、多目标规划及其非劣解
（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部 分组成： （1）两个以上的目标函数； （2）若干个约束条件。
（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模 型一般地描写为如下形式：
?
?
? ?
max(min)
f1
f
? i
，同时
给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定
有K个目标，L个优先级(L ? K ) ，目标规划模型
的数学形式为：
L
K
? ? min Z ?
pl
(?
d? ?
lk k
?
?
? lk
d
? k
)
l?1 k?1
来自百度文库
? i (x1, x2 ,? , xn ) ? gi (i ? 1,2,? , m)
fi
型
min Z ? f (d ? , d ? )
（6.3.5）
的 基本形式有三种：
有 a) 要求恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要
关 尽可能小,即
概
min Z ? f (d ? , d ? )
（6.3.6）
念
b) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就 是正偏差变量要尽可能小，即
min Z ? f (d ? )
(6.3.4)
式中：和为决策变量，为目标函数值。将上述问
题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为
x1?
?
4,
x
? 2
?
3, Z ?
?
6（2 万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考 虑市场等一系列其它条件，如： ①根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的 趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品 的产量。 ②超过计划供应的原材料，需用高价采购，这就 会使生产成本增加。 ③应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希 望加班。 ④应尽可能达到并超过计划产值指标56元。