高等数学第三单元测试B卷

贵州工程应用技术学院

《 高等数学 》第三单元中值定理与导数的应用测试题B

一、选择题（每小题××分，共××分）

1. 设)(x f 在],[b a 上连续，在）（b a ,内可导，)()(b f a f =，则)('x f 在）（b a ,内 （ ）

A. 至多有一个零点

B. 至少有一个零点

C. 至少有两个零点

D. 至少有三个零点

2. 设函数)(x f 在点0x 处取得极小值，且)(x f 在0x 处可导，则下列说法正确的是 （

） A. )(0'x f 可以取任意值 B. )(0'x f 只能取非零数值

C. )(0'x f 只能取零

D. )(0'x f 的数值可能算不出

3. 已知)4)(3)(1()('---=x x x x f ，则函数)(x f 的导数在)5,1(内的零点个数为 （

） A. 不确定 B. 1个

C. 2个

D. 3个

4. 设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，则“)(x f 在0x 处取极小值”的充分条件是（

） A. 对该邻域内任意一点)(0x x ≠，恒有)()(0x f x f <；

B. 在该邻域内恒有0)('≥x f ；

C. 在该邻域内恒有0)('≤x f ；

D. )(x f 在该邻域内有二阶导数，且0)(0'=x f ，0)(0'

'>x f 。

*5. 设函数)(x f 在]1,0[上满足0)(''

） A. )0()1()0()1(''f f f f -<< B. )0()0()1()1(''f f f f <-<

C. )0()1()0()1(''f f f f <<-

D. )0()1()0()1(''f f f f <-<

6. 设)(x f 和)(x g 在),(b a 内可导，且0)]()(['=-x g x f ，则下列选项正确的是 （

） A. C x f x g +=)()( B. C x g x f =)()(

C. 1)()(=x g x f

D. C x g x f =+)()(

7. 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导且0)('

） A. )(x f 在),(b a 内单调减少 B. )(x f 在),(b a 内单调增加

C. )(x f 在),(b a 内的图形是凹的

D. )(x f 在),(b a 内的图形是凸的

二、判断题（每小题××分，共××分）

1. 若函数)(x f 在0x 处取得极值，则)(x f 在0x 处必定满足0)(0'=x f 。 （ ）

2. 函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零是)(x f 在I 上是一个常数的充分非必要条件。 （ ）

3. 若函数)(x f 在),(b a 内满足0)('

（ ） 4. 若函数)(x f 在),(b a 内满足0)(''

5. 若函数)(x f 满足0)(0'=x f 且0)(0''

） 三、填空题（每小题/空××分，共××分）

1. 函数)3)(2)(1()(--+=x x x x f 的导数有 个零点。

2. 函数1)(+-=x e x f x 的单调减少区间为 。

3. 曲线)1/(1-=x y 的铅直渐近线是 。

*4. 曲线342x x y -=的拐点是 。

*5. 曲线14334+-=x x y 的凸区间为 。

6. 函数3)(x x x f -=在区间]1,2[-上满足拉格朗日中值定理的ξ的值为 。

7. 函数x x f ln )(=在区间],1[e 上满足拉格朗日中值定理的ξ的值为 。

8. 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的 。

9. 曲线x x x y +-=233的拐点是 。

四、计算题（每小题××分，共××分） 1.12816

12lim 2332+--+-→x x x x x x 2.3ln lim x x

x +∞→

3.x

x e x 2lim -+∞→ *4.

x x

x x 30

arcsin arcsin lim -→ *5. x

x x x 20sin )1ln(lim +-→ 6. 562

lim 221++---→x x x x x

7. 3

0sin lim x x x x -→ 8. ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-→20)1ln(1

lim x x x x 五、证明题（每小题××分，共××分）

1. 设1,0>>>n b a ，求证：)()(11b a na b a b a nb n n n n -<-<---.

2. 证明不等式：|||arctan arctan |b a b a -≤-.

3. 设函数)(x f 在),(B A 内具有二阶导数，且)()()(c f b f a f ==，B b c a A <<<<，求证：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)('

'=ξf .

六、综合题（每小题××分，共××分）

*1. 讨论函数2

)3(361++=x x y 的单调性、极值与凹凸性、拐点和渐近线. 2. 讨论函数133123+--=

x x x y 的单调性、极值与凹凸性、拐点.