欧拉图与汉密尔顿图

7.4 欧拉图与汉密尔顿图 20 of 27
彼得森(Peterssen)图
彼得森图满足 W(G - V1) ≤ | V1 | 但它不是汉密顿图。
满足定理3条件 的图不一定是 汉密尔顿图。
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 21 of 27
彼得森图
2016/9/9
定理4

设Ｇ是有ｎ(n 3) 个结点的无向简单图， 如果 G 中任何一对结点的度数之和n-1， 则Ｇ 中存在一条汉密尔顿路。
e0
e1
001
000
e8
设有八个结点的有向图，其结点分 别记为三位二进制数。 从结点a1a2a3可以引出两条有向边， 100 其终点分别是a a 0以及a a 1。该两 2 3 2 3 条边分别记为a1a2a30和a1a2a31。 该图的任一条路中，其邻接的边必 是a1a2a3 a4和a2a3 a4a5的形式。 12 上述问题可以看作是求该图中的一 条欧拉回路。
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 7 of 27
2016/9/9
例2：一笔画判定问题
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7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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例2（续）房间通路一笔画
A B C D E F
1
A 10 B 11 C 9 D 8 7 E 3
5 6
4
2
F
问题 能否从任意一个房间或外面出发，
不重复地通过每一个房门？
汉密尔顿路（回路）

经过图中每个结点一次且仅一次的 通路(回路)。
汉密尔顿图 存在汉密尔顿回路的图。
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7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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例：
v1 v2
v4
v4 v1
v5
v2 G
汉密尔顿路
v3
G
汉密尔顿图
v3
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7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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例（续）
7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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2016/9/9 7.4 欧拉图与汉密尔顿图 14 of 27
二、汉密顿的周游世界问题
1
8 20 19 16 18 11 17 12 13 9 10
在左图所示的十二 面体中，能否找到 一条回路，使它含 有这个图的所有结 点？
6 7
15
2
14 4
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5
3
7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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7.4 欧拉图与汉密尔顿图
一、哥尼斯堡七桥问题 A
A
a b C c d
f
e D g
a
b
e
f
C
c
d
D
B
g
问题
2016/9/9
能否从河岸或小岛出发，通过每一座桥， 且仅通过一次回到原地？
第七章 图论 2 of 27
B
欧拉通路（回路）

给定无孤立结点图G, 若存在一条路, 经过图中每边一次且仅一次,该条路 称为欧拉路; 若存在一条回路,经过图 中每边一次且仅一次,该回路称为欧 拉回路. 欧拉图 存在欧拉回路的图。
v1
v4 v1
v5
v4
v2
G
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v3 v 2
7.4 欧拉图与汉密尔顿图
v3
汉密尔顿路
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汉密尔顿图
G
定理3

若图 G = < V, E > 具有汉密尔顿回路， 则对于结点集 V 的每个非空子集 V1 均有W(G - V1) ≤ | V1 | 成立， 其中 W(G - V1) 是 G - V1中连通分支数.
2016/9/9 7.4 欧拉图与汉密尔顿图 11 of 27
例3 计算机鼓轮的设计
阴 影 表 示 导 体 1
d c b a
空 白 表 示 绝 缘 体 0
问 题
2016/9/9
鼓轮上16个部分怎样安排导体和绝缘体,才 能使鼓轮每转一部分,四个触点得到一组不 同的四位二进制数？
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 12 of 27
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 2016/9/9 9 of 27
例2（续）走遍花径
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7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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定理2 有向图中的欧拉定理

连通有向图 D 含有有向欧拉回路的 充分必要条件是 D 中每个结点的入度 等于出度。
连通有向图 D 含有有向欧拉路的充要条件是： （1）除两个结点外，其余每个结点的入度等于 出度； （2）这两个结点中，一个结点的入度比其出度 大1， 另一个结点的入度比其出度小1。
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7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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例
v1
v4
v 5 v8
v6
v2
G
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v1 v2
v6
v5 v3
v4
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v7
v3
G
7.4 欧拉图与汉密尔顿图
定理5

设 n 阶有向图 D = <V,E>中, 如果所 有的有向边均用无向边代替，所得无 向图中含生成子图Kn,则有向图 D 中 存在哈密顿通路。
| V | 3 的有向完全图为哈 推论 密顿图。
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练习 判断下列图哪些是 E 图、H图？
H E
非E
非H
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7.4 欧拉图与汉密尔顿图
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练习
试判断下图是否存在欧拉（回）路？ 若存在，请用数字做出标示。
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e2
010
e9
e4
e3
011
e5
e6
e10 e
101 e11 e13
110
e7 e15
111
e14
e0e1e2e4e9e3e6e13e10e5 e11e7 e15e14 e12e8
0000100110101111
例3（续完）
0000100110101111
d c b a
可以推广到鼓轮具有n个触点的情况
注意
定理 3 给出的是汉密顿图的必要 条件，可以用于判断一个图不是 汉密尔顿图。
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 19 of 27
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例 判断下图是否为汉密尔顿图
v4 v1
在 G’ 中，取
v3
v5
v2
V1＝ {v1 , v3 }
W (G V1 ) 3
G
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V1 2
故 G’ 不是汉密尔顿图
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 5 of 27
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哥尼斯堡七桥问题

图中奇数度结 点的个数是4个， 所以不是欧拉 图。
A
a
b
e
f
C
c
d
D
g
B
2016/9/9 7.4 欧拉图与汉密尔顿图 6 of 27
欧拉路的构造
设图 G 满足定理1的条件，则构造欧拉路的方法如下：
1.
2.
3.
4.
若图 G 有两个奇数度结点，则从其中一个结点开始， 每次只取一条边，可以构造出一条到达另一个奇数度 结点的迹 L1。若 G 中没有奇数度结点，则 L1 是闭合 的。 若 L1 通过了 G 中的所有边, 则 L1 就是欧拉路。 设 G 中去掉 L1 后得到子图G’，则G’ 每个结点度数为 偶数。由于图 G 是连通的，所以 L1与G’至少有一结 点 vi 重合，在 G’中由 vi 出发重复（1）的方法，得 到闭迹 L2 . 若 L1 与 L2 合在一起恰是图 G, 则得到欧拉路，结束； 否则重复以上过程。
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 3 of 27
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例1
欧 拉 路
(b)
(a)
欧拉图
2016/9/9 7.4 欧拉图与汉密尔顿图
(c )
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定理1（欧拉定理）
无向图 G 具有一条欧拉路的充要条件 是： 1. 图是连通的； 2. 图中奇数度顶点个数是０个或2个.

推论
无向连通图 G 是欧拉图的充分 必要条件是 G 不含奇数度结点。
推 论
设Ｇ是有ｎ(n 3) 个结点的无向简单图， 如果 G 中任何一对结点的度数之和n， 则Ｇ 中存在一条汉密尔顿回路。
注意 定理 4 及其推论给出的是具有汉 密顿路（回路）的充分条件。
7.4 欧拉图与汉密尔顿图 22 of 27
2016/9/9
例
v1 v2
v6
v5 v3
v4
两个结点度数之 和都是 4 < 6，但 G 是汉密尔顿图。