惠州学院高等数学(下)期末试题参考标准答案
广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案
惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学（答案在最后）全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z -=+对应的点的坐标在（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同D.单位向量的模都相等3.已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（）A.32，90B.32，92C.30，90D.30，924.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2 B.()2,0 C.()1,0 D.()2,15.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（）A.100B.120C.200D.2406.设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥B.若//m α，n ⊂α，则//m nC.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，n ⊂α，则m n⊥7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）A.A 与B 是对立事件B.A 与C D ⋂是互斥事件C.B 与D 是相互独立事件D.B 与C D ⋃是相互独立事件8.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，二面角1C AB C --的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（）A.B.2C.23D.4二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为24πR B.圆锥的侧面积为2R C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小10.设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若(1i)i z +=-，则1z =B.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z ⋅=⋅D.在复平面内，若{|22}M z z =-≤，则集合M 所构成区域的面积为6π11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A.若60A =︒，2a =，则ABCB.若60A =︒，1a =，则ABCC.若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.若()cos cos a b c A B +=+，且1c =，则该三角形内切圆面积的最大值为3π4-三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________.13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.14.如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC -体积为________；当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b = .（1）用向量a ，b表示CQ ；（2）若90ACB ∠=︒，求AP CQ ⋅.16.已知有下面三个条件：①()32S AC AB =⋅⋅；②3sin a c C =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+；请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________.（1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长.17.为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常总结整理不经常总结整理合计（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.18.如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由.19.将连续正整数1，2，L ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p （2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z -=+对应的点的坐标在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而得解.【详解】()()()()23i 1i 23i 15i 1i 1i 1i 2z -----===++-,故对应的点为15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故对应的点位于第三象限，故选：C2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同 D.单位向量的模都相等【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A ：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A 错误；对于选项B ：例如0a = ，b 是非零向量，可知,a b 是共线向量但不是相等向量，故B 错误；对于选项C ：例如a 是非零向量，且0λ<，可知向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于选项D ：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D 正确；故选：D.3.已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（）A.32，90B.32，92C.30，90D.30，92【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选：A.4.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2 B.()2,0 C.()1,0 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式可得.【详解】根据题意得cos 3a b a b a b ⋅⋅==⋅，所以向量a 在b方向上的投影向量为()()2,0cos 1,032b a a b b⋅== ，故选：C.5.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（）A.100B.120C.200D.240【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可.【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为315434n n =++，小学生的人数为5554312n n =++，则1520412n n +=，解得120n =.故选：B.6.设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥B.若//m α，n ⊂α，则//m nC.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D ：根据线面垂直的性质分析判断.【详解】对于正方体1111ABCD A B C D -，且,M N 分别为,AB CD 的中点，对于选项A ：例如AB ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，11AB A D ⊥，但平面ABCD ∥平面1111D C B A ，故A 错误；对于选项B ：例如11A D ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，但11AB A D ⊥，故B 错误；对于选项C ：例如,AD MN ⊂平面ABCD ，且,AD MN 均与平面11BB C C 平行，但平面ABCD ⋂平面11BB C C BC =，故C 错误；对于选项D ：若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，故D 正确；故选：D.7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）A.A 与B 是对立事件B.A 与C D ⋂是互斥事件C.B 与D 是相互独立事件D.B 与C D ⋃是相互独立事件【答案】D 【解析】【分析】选项A 和B ，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A 和B 的正误；选项C 和D ，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误，对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D ⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，91(())364P B C D == ，所以(())()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确，故选：D.8.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，二面角1C AB C --的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（）A.B.2C.23D.4【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得1OC ，再根据直三棱柱的体积求出AB ，再利用等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离.【详解】取AB 的中点O ，连接1,OC OC ，AC BC = ，1,OC AB OC AB ∴⊥⊥，则二面角1C AB C --的平面角为1C OC ∠，二面角1C AB C --的大小为π4，则1π4C OC ∠=，所以12OC CC ==，1OC ===，又 直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，111128ABC A B C ABC ABC V S CC S -\=×==，则4ABC S = ，1124422ABC S AB OC AB AB \=×=´=Þ=，又 平面ABC⊥平面11A ABB ，平面ABC ⋂平面11A ABB AB =，且,OC AB OC ⊥⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面11A ABB ，设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，又1111A ABC C ABA V V --=，111111114422333232ABC ABA S h S OC h ∴⋅=⋅⇒⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，解得h =，故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为24πR B.圆锥的侧面积为2R C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC 【解析】【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ⨯⨯=，所以AC 选项正确．圆锥的侧面积为2πR R ⨯=，所以B 选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R =+<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项不正确．故选：ABC10.设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若(1i)i z +=-，则1z =B.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z ⋅=⋅D.在复平面内，若{|22}M z z =-≤，则集合M 所构成区域的面积为6π【答案】BC 【解析】【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.【详解】对A ：由(1i)i z +=-，故()()()i 1i i 1i1i 1i 1i 2z -⨯----===++-，故2z ==，故A 错误；对B ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，则()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++==12z z ⋅===，故1212z z z z =⋅，故B 正确；对C ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，有()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=--+，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，故1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对D ：设i z x y =+(),x y ∈R ，则有()2224x y -+≤，集合M 所构成区域为以()2,0为圆心，半径为2的圆，故2π4πS r ==，故D 错误.故选：BC .11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A.若60A =︒，2a =，则ABCB.若60A =︒，1a =，则ABCC.若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.若()cos cos a b c A B +=+，且1c =，则该三角形内切圆面积的最大值为322π4-【答案】AD 【解析】【分析】对于AB ：利用余弦定理结合基本不等式求bc 的最大值，进而可得面积的最大值；对于C ：利用余弦定理分析可得：关于c 的方程28cos 40c c A -+=有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D ：利用余弦定理可得π2C =，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果.【详解】对于选项A ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-，可得2242bc b c bc +=+≥，解得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为1422⨯⨯=A 正确；对于选项B ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-，可得2212bc b c bc +=+≥，解得1bc ≤，当且仅当1b c ==时，等号成立，所以ABC面积的最大值为11224⨯⨯=，故B 错误；对于选项C ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即212168cos c c A =+-，整理可得28cos 40c c A -+=，由题意可知：关于c 的方程28cos 40c c A -+=有2个不相等的正根，则2408cos 0Δ64cos 160A A >⎧⎪>⎨⎪=->⎩，解得1cos 2A >，且()0,πA ∈，可得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；对于选项D ，因为()cos cos a b c A B +=+，即cos cos a b c A c B +=+，则22222222b c a a c b a b b a+-+-+=+，整理可得()()2220a b a b c ++-=，注意到0a b +≠，则2220a b c +-=，即222+=a b c ，可知π2C =，且1c =，则该三角形内切圆半径(222ABC ab a b S ab a b c r a b c a b c ab+-+-=====++++ .又因为1a b c c c c +-==≤=，当且仅当2a b==时，等号成立，可得102r -<≤，所以该三角形的内切圆面积的最大值是221π2322π4⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭-，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式；（3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________.【答案】715【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】设甲、乙解对题分别为事件A ，B ，则()()23,35P A P B ==，可得()()12,35P A P B ==所以恰好只有1人解对题的概率()()()()()()715P P AB P AB P A P B P A P B =+=+=.故答案为：715.13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.【答案】a b >【解析】【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小.【详解】因为频率分布直方图在右侧“拖尾”，可知平均数大于中位数，即a b >.故答案为：a b >.14.如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC -体积为________；当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.【答案】①.72②.24【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理，可得cos BAC ∠，再求出sin ABC ∠，再用面积公式求ABC 的面积，体积公式求三棱锥E ABC -体积即可；作出辅助线，推导出当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点，进而求出各边长，得到112cos 4E FEB B EF =∠=【详解】因为2AB =，BC =，4AC =，所以在ABC 中，由余弦定理，得222416181cos 22248BA CA BC BAC BA CA +-+-∠===⋅⨯⨯，所以sin 8ABC ∠=，所以124282ABC S =⨯⨯⨯= ，所以11322E ABC V -=⨯⨯=；作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为1H ，易知棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，因为1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故374BH =，则1374EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ 中，222211QF R QQ ==+①，又因为22221111()4QE R QQ Q E ==-+②由①②，可得21113731216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点.因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角.因为1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理，得221111111112cos B F A B A F A B A F B A F =+-⋅∠14422278=+-⨯⨯⨯=，因为11EB =，所以11222,cos 4B E EF FEB EF =∠==.故答案为：72；24.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，E 为棱1BB 的中点，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b =.（1）用向量a，b表示CQ；（2）若90ACB ∠=︒，求AP CQ ⋅.【答案】（1）2133CQ a b=+（2）73-【解析】【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP CQ ⋅用基底{,}CA CB 表示出来，再用数量积运算性质可解.【小问1详解】如图所示，23AQ AB =，所以()2122133333CQ CA AQ CA CB CA CA CB a b =+=+-=+=+，所以2133CQ a b =+ .【小问2详解】点P 为线段BC 中点，用三点共线的向量表达式结论得111111()222222AP AC AB CA CA CB CA B a b C =+=-+-+=-+=-，由（1）知2133CQ a b =+，则22121()113(21)||23|3|3AP CQ a a a b b b b a +⋅=⋅--⋅-= ，90ACB ∠=︒,则0a b ⋅= .则2211734333AP CQ ⨯-⨯=⋅-= .16.已知有下面三个条件：①()2S AC AB =⋅⋅；②a c =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+；请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________.（1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长.【答案】（1）π3A =【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sin A A =，得到tan A =cos 1A A =+，得到π1sin()62A -=，即可求解；选择③，化简得到222sin sin sin sin sin B C A B C +=+,即222b c a bc +-=，由余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意结合ABC ABD ACD S S S =+ ，列出方程，即可求解.【小问1详解】选择①：由()32S AC AB =⋅⋅ ，可得1sin cos 22bc A bc A =⨯，即sin A A =，即tan A =因为(0,π)A ∈，所以π3A =；选择②：因为②a c =，由正弦定理得sin si n A C =，sin sin cos sin A C C A C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以cos 1A A =+，cos 2sin()16πA A A -=-=，可得π1sin()62A -=，因为(0,π)A ∈，可得ππ66A -=，所以π3A =；选择③：由2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C +=+，可得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+,又由正弦定理得222b c a bc +-=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若AD 是ABC 的角平分线，则π6BAD CBD ∠=∠=，且ABC BAD CBD S S S =+△△△，即111112332222222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，17.为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常总结整理不经常总结整理合计（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.【答案】（1）表格见详解（2）0.015m =；120（3）310【解析】【分析】（1）根据题中数据补全表格；（2）根据频率和为1求得0.015m =，再结合百分位数的定义列式求解；（3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解.【小问1详解】数学成绩优秀的有10050%50⨯=人，不优秀的人10050%50⨯=人，经常整理错题的有()10040%20%60⨯+=人，不经常整理错题的是1006040-=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35⨯=人，所以表格为数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100【小问2详解】由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20,0.2m ，则0.050.10.35200.21m ++++=，解得0.015m =；因为0.050.10.350.50.65++=<，0.050.10.350.30.80.65+++=>，设第65百分位数为x ，可知[)110,130x ∈，则()0.50.0151100.65x +-=，解得120x =，所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120.【小问3详解】由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为6053100⨯=，设为,,a b c ，“不经常总结整理错题”的人数为4052100⨯=，设为,A B ，从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间{}Ω,,,,,,,,,ab ac aA aB bc bA bB cA cB AB =，可知()Ω10n =，设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M ，则{},,M ab ac bc =，即()3n M =，所以()()()3Ω10n M P M n ==.18.如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QN NC 如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）存在，12QN NC =【解析】【分析】（1）设AC BD O = ，连接OM ，利用三角形的中位线定理可得OM ∥QB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得CD ⊥平面QAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形的性质可得AM QD ⊥，然后由线面垂直的判定可得AM ⊥平面QCD ，则直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，从而可求得答案；（3）当DN CM ⊥时，可证得平面BDN ⊥平面AMC ，设QN k NC=，然后在等腰直角三角形QCD 中利用平面向量的知识计算即可.【小问1详解】证明：设AC BD O = ，连接OM ，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，因为M 是QD 的中点，所以OM ∥QB ，因为OM ⊂平面ACM ，QB ⊄平面ACM ，所以QB ∥平面ACM【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，因为平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面QAD ，因为AM ⊂平面QAD ，所以CD AM ⊥,因为QAD 为等边三角形，M 是QD 的中点，所以AM QD ⊥，因为QD CD D ⋂=，,QD CD ⊂平面QCD ，所以AM ⊥平面QCD ，所以直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，设正方形ABCD 的边长为2，则3,22AM AC ==因为AM ⊥平面QCD ，CM ⊂平面QCD ，所以AM CM ⊥，所以36sin 422AM ACM AC ∠===，即直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值为64；【小问3详解】存在，当DN CM ⊥时，平面BDN ⊥平面AMC ，因为AM ⊥平面QCD ，DN ⊂平面平面QCD ，所以AM DN ⊥，因为AM CM M ⋂=，,AM CM ⊂平面AMC ，所以DN ⊥平面AMC ，因为DN ⊂平面BDN ，所以平面BDN ⊥平面AMC ，设QN k NC =，则QN kNC =，所以1k QN QC k =+，由（2）知CD ⊥平面QAD ，因为QD ⊂平面QAD ，所以CD DQ ⊥，所以0DQ QC ⋅= ，因为12CM DM DC DQ DC =-=- ，1()1111k k k DN DG GN DQ QC DQ DC DQ DC DQ k k k k =+=+=+-=+++++ ，所以110211k CM DN DQ DC DC DQ k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以22102(1)1k DQ DC k k -=++ ，得12(1)1k k k =++，解得12k =，所以当12QN NC =时，平面BDN ⊥平面AMC.19.将连续正整数1，2，L ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p （2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.【答案】（1）11192（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩（3）119【解析】【分析】（1）计算()10099023192F =+⨯+=，数字0的个数为11，得到概率.（2）考虑19n ≤≤，1099n ≤≤，100999n ≤≤，10002023n ≤≤四种情况，依次计算得到答案.（3）考虑()*19,N n b b b =<≤∈时，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，当100n =时三种情况，得到()g n 和()f n 的解析式，得到{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，再计算概率的最值得到答案.【小问1详解】当100n =时，()10099023192F =+⨯+=，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为()11100192p =；【小问2详解】当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()F n n =；当1099n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，9n -个两位数组成，则()29F n n =-；当100999n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，99n -个三位数组成，()3108F n n =-；当10002021n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成999n -个四位数组成，()41107F n n =-；综上所述：,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，【小问3详解】当()*19,N n b b b =<≤∈时，()0g n =，当()**1019,09,N ,Nn k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；当100n =时，()11g n =，即()**0,19,10,19,09,N ,N 11,100n g n k n k b k b k b n ≤≤⎧⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩，同理有()**0,18,101,18,09,N ,N 80,899820,99,100n k n k b k b k b f n n n n ≤≤⎧⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩，由()()()1h n f n g n =-=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n =，所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，当9n =时，()90p =，当90n =时，()919017119p ==，当()*10918,Nn k k k =+≤≤∈时，()()()29209g n k k p n F n n k ===-+，由1912092020209k y k k ==-⨯++关于k 单调递增，故当()*10918,Nn k k k =+≤≤∈时，有()p n 的最大值为()889169p =，又8116919<，所以当n S ∈时，()p n 的最大值为119．【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.。
惠州学院考试-高等数学(答案版)
惠州学院 高等数学 考试 重要复习资料！ 请好好珍惜！ 好好学习！一、选择题（每小题3分，本大题共15分） 1） 设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）A 、平行于平面πB 、在平面π上C 、垂直于平面πD 、与平面π斜交2） 二元函数()()()()()22,0,0,0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（ C ）A 、连续、偏导数存在B 、连续、偏导数不存在C 、不连续、偏导数存在D 、不连续、偏导数不存在 3） 设()f x 为连续函数，()()1ttyF t dy f x dx =⎰⎰，则()2F '=（ B ）A 、()22fB 、()2fC 、()2f -D 、0 分析：改变积分次序，可得 ()()()()()()()11111t x tF t dx f x dy x f x dx F t t f t '==-⇒=-⎰⎰⎰()()22F f '= 4） 设∑是平面123x yz ++=由0,0,0x y z ≥≥≥所确定的三角形区域，曲面积分()326x y z dS ∑++=⎰⎰（ D ）A 、7B 、212C 、14D 、21 5） 微分方程1xy y e ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A 、xae b + B 、xaxe b + C 、xae bx + D 、xaxe bx + 二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1） 设平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=。
2） 设arctan1x yz xy-=+，则(1,dz =1124dx dy -。
3） 设L 为221x y +=正向一周，则2x Ledy =⎰()2221200x x y xe dxdy +≤-=⎰⎰。
高等数学下册的期末考试及试卷试题包括答案.docx
高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题大题一二三四五 六七小题12345得分一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分， 把答案直接填在题中横线上 ）r rr rrr rrr1、已知向量 a 、 b 满足 a b0 ， a2， b2 ，则 a b．2、设 zx ln( xy) ，则3z．x y23、曲面 x 2 y 2z 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为．4、设 f ( x) 是周期为2 的周期函数，它在 [, ) 上的表达式为 f (x) x ，则 f ( x) 的傅里叶级数在 x3 处收敛于，在 x处收敛于．5、设 L 为连接 (1, 0) 与 (0,1) 两点的直线段，则(xy)ds．L※以下各题在答题纸上作答， 答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上： 姓名、学号、班级．二、解下列各题：5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）（本题共 1、求曲线2x 2 3y 2 z 2 91,2)z23x2y2在点 M 0 (1, 处的切线及法平面方程．2、求由曲面 z2x 2 2 y 2 及 z 6 x 2 y 2 所围成的立体体积．3、判定级数( 1)nlnn1 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n4、设 zf (xy, x) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求z , 2z ．yxx y5、计算曲面积分dS ,其中 是球面 x 2y 2z 2 a 2 被平面 zh (0 h a) 截出的顶部．z三、（本题满分 9 分） 抛物面 zx 2 y 2 被平面 x yz 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分 10 分）计算曲线积分( e x siny m dx ( e x cos y mx dy ，L其中 m 为常数， L 为由点 A(a,0) 至原点 O(0,0) 的上半圆周 x 2y 2ax (a 0) ．四、（本题满分 10 分）x n 求幂级数的收敛域及和函数．n 13n n五、（本题满分 10 分）计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy ，其中为曲面 z 1 x2y 2 ( z0) 的上侧．六、（本题满分 6分）设 f ( x) 为连续函数， f (0) a ， F (t )[ z f ( x2y2z2 )]dv ，其中t是由曲面 zx2y2t与 zt2x22所围成的闭区域，求lim F (t)y t 3 ．t 0-------------------------------------备注：①考试时间为 2 小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
高数下册期末考试和答案
高数下册期末考试和答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3x^2答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。
A. e^xB. -e^xC. 0D. 1答案：A4. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
A. 1/xC. xD. -x答案：A6. 求定积分∫(0,1) e^x dx的值。
A. e-1B. eC. 1D. 0答案：A7. 已知函数f(x)=x^2，求f''(x)的值。
A. 2xB. 2C. 0答案：B8. 求极限lim(x→∞) (1/x)的值。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：A9. 已知函数f(x)=x^3，求f'(x)的值。
A. 3x^2B. 3xC. x^2D. x^3答案：A10. 求定积分∫(0,1) 1/x dx的值。
A. ln(1)-ln(0)B. ln(1)-ln(1)C. ln(2)-ln(1)D. ln(1)-ln(2)答案：C二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f'(x)的值。
______答案：2x-412. 求极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值。
______答案：013. 已知函数f(x)=x^4-6x^2+8，求f'(x)的值。
______答案：4x^3-12x14. 求定积分∫(0,1) x^3 dx的值。
______答案：1/415. 已知函数f(x)=e^(-x)，求f'(x)的值。
惠州学院
惠 州 学 院 试题H 卷评分参考答案科目：2.（-5，-3）⋃（3，+∞）3.若 {}],[n n b a 是一个区间套，则存在唯一一点ξ使得21],[、或=≤≤∈n b a b a nn n n ξξ4.05.1, 0 6．y=2x-e 7.-68 .x+13!x 3+15!x 5+…+()121!n -x 2n-1+o （x 2n ） 9（1,3） 10.f （a ）二.求下列极限（每小题5分，共10分）：1.解: 由于，nnn n11)131211(1≤++++≤ （2分）又，1lim=∞→nn n （3分）故。
1)131211(lim 1=++++∞→nn n（5分）2.解:x x x 20)sin 1(lim-→=2ln(1sin )lim x xx e-→=e ()2ln 1sin limx x x→- （2分）而 ()02ln 1sin limx x x→-=02cos lim 1sin x xx →--=-2 （4分） 故 xx x 2)sin 1(lim -→=e -2 （5分）三. 计算下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）1. 解:()()()3 5f x '=-==分分2. 解:lny=sinxln （1+x 2） （1分）/1y y=cosxln （1+x 2）+22sin 1x x x + （2分）/y =( 1 + x 2 ) si n x （cosxln （1+x 2）+22sin 1x xx +）（3分） ()()dx x x x x x dy x⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22sin 21sin 21ln cos 1 （5分）3. 解: 3232(sin )3sin cos tan ,(cos )3cos sin dy a t a t tt dx a t a t t '===-'-（2分） 222232sec sec (cos )3cos sin d y t tdx a t a t t-=='。
2022-2022年广东省惠州市高一(下)期末数学试卷及参考答案
2022-2022年广东省惠州市高一(下)期末数学试卷及参考答案百度文库百度文库精品文库百度文库baiduwenku某某2022-2022学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一元二次不等式﹣某2+某+2＞0的解集是（）A．{某|某＜﹣1或某＞2}B．{某|某＜﹣2或某＞1}C．{某|﹣1＜某＜2}D．{某|﹣2＜某＜1}2．（5分）已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A．若b∥a，aα，则b∥αB．若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a∩b=A，aα，bα，a∥β，b∥β，则α∥β3．（5分）在△ABC中，，AC=1，∠A=30°，则△ABC面积为（）A．B．C．或D．或4．（5分）设直线l1：k某﹣y+1=0，l2：某﹣ky+1=0，若l1∥l2，则k=（）A．﹣1B．1C．±1D．05．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值是（）A．4B．5C．8D．96．（5分）若{an}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）A．114B．117C．111D．1087．（5分）如图，正四面体S﹣ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）若直线与直线2某+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）第1页（共19页）A．B．C．D．9．（5分）若实数某，y满足约束条件，则某﹣2y的最大值为（）A．﹣9B．﹣3C．﹣1D．310．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A=60°，则=（）A．B．C．D．11．（5分）由直线y=某+2上的一点向圆（某﹣3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A．4B．3C．D．112．（5分）已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N+），我们把使乘积a1a2a3…an为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A．1024B．2003C．2026D．2048二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）co45°in15°﹣in45°co15°的值为．14．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程是．15．（5分）公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为．16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）第2页（共19页）。
高数下期末考试题及答案
高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在x=1处的导数是：A. 8B. 6C. 4D. 2答案：B2. 若曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 6在点(1, -6)处的切线斜率为-1，则该曲线在该点的切线方程是：A. y = -x - 5B. y = x - 5C. y = -x + 5D. y = x + 5答案：A3. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -sin(x) + cos(x) + CC. sin(x) - cos(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C答案：D5. 微分方程dy/dx + y = x^2的解是：A. y = (1/2)x^3 + CB. y = x^3 + CC. y = (1/3)x^3 + CD. y = x^2 + C答案：C6. 函数f(x) = e^x - x^2的极小值点是：A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：A7. 曲线y = ln(x)在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B8. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e - 1C. e^e - 1D. e^e答案：C9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)答案：C10. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1的拐点是：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 若f(x) = x^3 - 5x^2 + 4x + 6，则f'(2) = ______。
2020年惠州市高三数学下期末模拟试题带答案
2020年惠州市高三数学下期末模拟试题带答案一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 4．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：2()P K k ≥0．0500．0100．001k 3．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 5．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜06．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<7．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ0 1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小8．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1B ．﹣2C ．6D ．210．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．3B ．2C ．6D ．511．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．201912．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34y x =?C ．35y x =±D ．53y x =±二、填空题13．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .14．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．16．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 17．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 18．函数2()log 1f x x =-的定义域为________． 19．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____． 20．函数y=232x x --的定义域是 .三、解答题21．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin 2()，－1)，.(1)求角B 的大小； (2)若a ＝，b ＝1，求c 的值．22．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图的的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.23．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos(θ-)=2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.24．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．25．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周 甲组2025105()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率． 26．已知在公比为q 的等比数列{}n a 中，416a =，()34222a a a +=+. （1）若1q >，求数列{}n a 的通项公式；（2）当1q <时，若等差数列{}n b 满足31b a =，512b a a =+，123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.2．C解析：C 【解析】 【分析】找到从上往下看所得到的图形即可． 【详解】由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C. 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B ，属于基础题.3．D解析：D 【解析】 【详解】 由题意可得 ：22435z =+=，且：43z i =-，据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.4．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A5．D解析：D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．6．C解析：C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑8．A解析：A 【解析】 【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ． 【详解】2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ， 故选A 【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．9．C解析：C 【解析】试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．10．D解析：D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以e == D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．11．A解析：A 【解析】 【分析】由2n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos2n n π-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，当1n =时，11110a S ==-=；当2n …时，1n n n a S S -=-22(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos2n n n b a π==2(1)cos 2n n π-， ∵函数cos 2n y π=的周期242T ππ==，∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．12．A解析：A 【解析】 【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得43b a =，问题得解． 【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =-=由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PFc a =+， 所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+整理得：2b a c =+，即：2b a c -=将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =， 所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=± 故选A 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，,递增，最小值为53，即可知满足33,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭．14．-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示当直线经过点时故答案为：【点睛】本题考查简单的线性解析：-4 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：作出可行域如图所示，当直线3z x y =-经过点()2,2时，min 2324z =-⨯=-.故答案为：4-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．15．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐 解析：34π 【解析】【分析】画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】 画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1tan 2y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得π33B ⎛ ⎝⎭，所以133ππ2ABC S ∆=⨯=.【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.16．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为解析：1 2【解析】【详解】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即，解得，故本题正确答案为17．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z＝（1+i）（1+2i）＝1﹣2+3i＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其10【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，∴|z |==．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为a bi -．18．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.19．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题解析：50【解析】【分析】先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值.【详解】由于α为锐角，且4cos 5α=，故3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故cos β====. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.20．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-考点：函数定义域 三、解答题21．（1）或； （2）c ＝2或c ＝1. 【解析】【分析】(1)根据＝0得到4sinB·sin 2＋cos2B －2＝0，再化简即得B ＝ 或 .(2)先确定B 的值，再利用余弦定理求出c 的值.【详解】 (1)∵，∴＝0，∴4sinB·sin 2＋cos2B －2＝0，∴2sinB[1－cos ]＋cos2B －2＝0，∴2sinB＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0， ∴sinB＝ ，∵0<B<π，∴B＝ 或. (2)∵a＝ ，b ＝1，∴a>b，∴此时B ＝，由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，∴c 2－3c ＋2＝0，∴c＝2或c ＝1.综上c ＝2或c ＝1.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22．(1)； (2)36000；（3）.【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a ， 解得a=0.30.（Ⅱ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.（Ⅲ）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x –2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．23．(1) x 2+y 2-2x-2y-2=0 (2) ρsin(θ+)=【解析】(1)∵ρ=2,∴ρ2=4,即x 2+y 2=4.∵ρ2-2ρcos(θ-)=2, ∴ρ2-2ρ (cosθcos +sinθsin )=2.∴x 2+y 2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin(θ+)=.24．（Ⅰ）23；（Ⅱ）357；（Ⅲ）104 【解析】【分析】（Ⅰ）以B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，建立坐标系，设异面直线AC 与11A B 所成角为α，算出11,AC A B u u u r u u u u r ，再利用cos α=11|cos ,|AC A B 〈〉u u u r u u u u r 计算即可；（Ⅱ）分别求出平面11AA C 的法向量m u r 与平面111B AC 的法向量n r，再利用向量的夹角公式算得cos ,m n 〈〉u r r 即可；（Ⅲ）设(,,0)M a b ，由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，进一步得到M 的坐标，再由模长公式计算BM 的长.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴，由题意，111(0,0,0),B A C A B C ， （Ⅰ）11((AC A B ==-u u u r u u u u r ，所以111111cos ,||||AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 设异面直线AC 与11A B 所成角为α，则cos α=11|cos ,|3AC A B 〈〉=u u u r u u u u r ， 所以异面直线AC 与11A B. （Ⅱ）易知111(AA AC ==u u u r u u u u r ， 设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v，即00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令x =z =，所以m =u r ，同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =r ，则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v，即00⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令y =z =n =r ，所以2cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅u r r u r r ， 设二面角111A AC B --的大小为θ，则sin θ== 所以二面角111A AC B --.（Ⅲ）由N 为棱11B C 的中点，得2325,,222N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(,,0)M a b，则2325,,222MN a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ， 由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ，即 2(22)022325(2)(2)5022a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-⋅-+-⋅-+⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得2224a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故22,,024M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此22,,024BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 所以线段BM 的长为10||4BM =u u u u r .【点睛】本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.25．（1）方式一（2）35【解析】【分析】（1）用总的受训时间除以60，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组2人，乙组4人.再利用列举法求得“从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率”.【详解】解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则1205251010155201060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时） 2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时） 据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=， 来自乙组的人数为：620430⨯=， 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,b c b d b e b f ，()()(),,,,,c d c e c f ，()()(),,,,,d e d f e f ，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,,b c b d b e b f共9种，故所求的概率93155P ==. 【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题.26．（1）2n n a =；（2）99n n +. 【解析】【分析】（1）根据题意列出关于首项与公比的方程，求解，即可得出数列{}n a 的通项公式． （2）由q ＜1，可得数列{}n a 的通项公式，进而求得n b 及n S ，最后利用裂项相消法求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】（1）据题意，得()31231111622a q a q a q a q ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得23q =或2q =， 又∵1q > ∴2q =∴131622a == ∴2n n a =； （2）据（1）求解知1q <时，23q =， ∴42163n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，∴154a =，236a =，∴3154b a ==，51290b a a =+=，∴等差数列{}n b 的公差5390541822b b d --===， ∴1325421818b b d =-=-⨯=，∴()211818992n n n S n n n -=⨯+⨯=+ ∴2111119991n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和111111111111929239199n n n n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式以及利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力．。
广东省惠州市高一数学下学期期末考试试题(含解析)
惠州市2015—2016学年第二学期期末考试高一数学试题全卷满分150分，时间120分钟；本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意：1． 答题前，考生务必将自己的姓名、县区、学校、班级、试室、座位号填写在答题卡上． 2． 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1）(A)M N=N I (B)N M ⊆ (C){}0M N =I (D)M N N =U 2．若,0<<b a 下列不等式成立的是( ) (A) 22b a < (B) ab a <2 (C)3．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,////m n m n αα⇒ ②//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③//,m n m n αα⊥⇒⊥ ④,//m m αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ）(A) ①③ (B) ②④ (C) ①④ (D) ②③ 4．一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是（ ） (A) 12(B) 2(C) 4 (D) 65．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，15,10,60===︒a b A ， 则cos B 等于 ()6．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1B C 与1DC 所成角的大小为（ ） (A) 30︒ (B) 45︒ (C) 60︒ (D)90︒7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）(C) 10 (D) 12 8．直线10--+=kx y k 与圆422=+y x 的位置关系是（ ）(A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定 9．已知点(sin ,cos )θθ到直线：cos sin 10x y ++=θθ的距离为d ， 则d 的取值范围是 （ ）（A ）[1,1]- （B ）[0,2] （C ）(2,2]- （D10．已知0>a ,0>b ,2=+b a ，则 ( ) (B) 5 (C) (D) 411．已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为，120BAC ︒∠=,则球O 的表面积为 ( ) 12．已知圆1C ：22(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：22(3)(4)9x y -+-=，M 、N 分别是圆1C、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则( )第Ⅱ卷注意事项：第II 卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2022届惠州市名校高二下数学期末考试试题含解析
2022届惠州市名校高二下数学期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将5名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力，投篮三项比赛中（假设这些比赛都不设人数上限），每人只参加一项，则共有x 种不同的方案；若每项比赛至少要安排一人时，则共有y 种不同的方案，其中x y +的值为（ ） A ．543 B ．425 C ．393 D ．275【答案】C 【解析】分析：根据题意，易得5名同学中每人有3种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．第二种先分组再排列，问题得以解决．详解：5名同学报名参加跳绳、接力，投篮三项比赛，每人限报一项，每人有3种报名方法，根据分步计数原理，x=53=243种，当每项比赛至少要安排一人时，先分组有（11354322C C C A ⋅⋅+22153122C C C A ⋅⋅）=25种，再排列有33A =6种，所以y=25×6=150种， 所以x+y= 1． 故选：C ．点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏． 2．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（ ）A ．8B ．4C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-， 解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D. 【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．3．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为（） A ．75% B ．96% C ．72% D ．78.125%【答案】C 【解析】 【分析】不妨设出产品是100件，求出次品数，合格品中一级品数值，然后求解概率. 【详解】解：设产品有100件，次品数为：4件，合格品数是96件，合格品中一级品率为75%. 则一级品数为：96×75%＝72，现从这批产品中任取一件，恰好取到一级品的概率为：720.72100=. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，设出产品数是解题的关键，注意转化思想的应用.4．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''，D ．()0()0f x g x ''<<，【答案】B 【解析】由条件知：()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数；()g x 是偶函数，且在(0,)+∞内是增函数；所以()f x 在(,0)-∞内是增函数；()g x 在(,0)-∞内是减函数；所以0x <时，()0,()0.f x g x ''><故选B 5．正切函数是奇函数，()()2tan 2f x x =+是正切函数，因此()()2tan 2f x x =+是奇函数，以上推理（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．以上均不正确【答案】C 【解析】 【分析】根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。
惠州市2023—2024第二学期期末质量检测 高一数学试题参考答案与评分细则(第1版)
惠州市2023-2024学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b b ba ab b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。
惠州学院高等数学（下）期末试题参考答案
惠州学院高等数学（下）期末试题参考答案高等数学（下）期末试题参考答案一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。
1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的（）。
A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。
3、设)ln(222z y x u ++=，则)(u grad div ＝（）。
A.2221z y x ++；B.2222z y x ++；C.2222)(1z y x ++；D.2222)(2z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分??+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（）A.σd y x D ??1sin cos 23； B.??132D yd x σ； C.??+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.04、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则??∑++dSy x ey x )sin(2222＝（）。
A .0；B.2sin Re R R π；C.R π4；D.2sin Re 2R R π 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x e y =2，x e y 23=，则其通解为（）。
A.x x e C e C x 221++；B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C x x x -+-二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(611--e ；4、81；5、C y y x =-1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝_____。
惠州市高一下学期期末考试数学试卷含答案(新可编版)
15.已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为___________．
16.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．
3、非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．
4、作答作图题时，请用2B铅笔、直尺等工具作图．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题滴分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1.已知复数z满足 （其中i为虚数单位），则z的虚部是（）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17.已知复数 ，其中 为虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
18.已知向量 ， ， .
（1）若点 ， ， 能够成三角形，求实数 应满足的条件；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的值.
19.2022年4月开始，新冠奥密克戎病毒在上海等地肆虐，感染病毒人数急剧上升．全国各地积极应对，认真做好新冠病毒防控工作，实现社会面动态清零．为保障抗疫一线医疗物资的供应，惠州市某企业加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公可狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70） ，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
惠州学院高等数学(下)期末试题参考答案
高等数学(下)期末试题参考答案一、单项选择题(每题2分，总计10分)。
1、f x (x °,y °)和 f y (x °, y °)存在是函数 f (x, y)在点(x °, y °)连续的() A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。
3、设 u = In( x 2 y 2 z 2)，则 div( grad u)=()。
八1 c2 12A___________ ・ B ___________ ・ C _____________ ・ D ___________________222222' 222~2' 222~2x y zx y z(x y z )(x y z )3、设D 是xoy 面上以(1,1), (-1,1), M -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 中在第 一象限的部分，则积分 ii(x 3y cos 3 xs in y)d ；「=()DA. 2 iicos 3xsinyd 二；B. 2 iix 3yd ；「；C. 4 ii(x 3y cos 3xsin y)d 二；D.0D 1D [D [4、设工为曲面x 2 + y 2 = R 2 (R >0)上的0兰z 兰1部分，则Cf e x 七sin(x 2 + y 2)dS =()。
8y1、函数f (x, y) =2x 2+ax+xy 2+2y 在点(1, -1)处取得极值，则常数a = ____________ 。
2、 若曲面x 2 2y 2 3z^21的切平面平行于平面x-4y ，6z ，25=0，则切点坐 标为 。
3、 ___________________________________________ 二重积分 £dy fyye^dx 的值为。
A.0 ；B. 二 Re Rsin R 2；C. 4 R ；R 2D. 2- Re sin R 5、设二阶线性非齐次方程 目p(x)y• q(x)y 二 f (x)有三个特解 y^ x ，y^e x ，A. x C1e x C2e2x；B. Gx C2e xC e2xC. x C1 (e - e ) C2 (x - e )；D. C r(e - e ) C2(e - x)、填空题(每题3分，总计15分) 1、-5 ；2、(_1，二2, 一2) ；3、y^e2x，则其通解为()4、设空间立体门所占闭区域为x • y • z 叮，x _ 0, y _ 0 ,门上任一点的体密度是P(x, y, z) = x + y + z ，则此空间立体的质量为 ______________ 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
惠州学院高等数学(下)期末试题参考答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2高等数学（下）期末试题参考答案一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。
1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的（ ）。
A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。
3、设)ln(222z y x u ++=，则)(u grad div ＝（ ）。
A.2221z y x ++；B.2222z y x ++；C.2222)(1z y x ++；D.2222)(2z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ ）A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23； B.⎰⎰132D yd x σ； C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.04、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dSy x ey x )sin(2222＝（ ）。
A .0； B.2sin Re R R π； C.R π4； D.2sin Re 2R R π 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x e y =2，x e y 23=，则其通解为（ ）。
A.x x e C e C x 221++；B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C x x x -+-二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(611--e ；4、81；5、C y y x =-1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝_____。
2、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ，则切点坐标为______________________。
3、二重积分dx e y dy y x ⎰⎰-1103的值为______________。
4、设空间立体Ω所占闭区域为0,0,1≥≥≤++y x z y x ，Ω上任一点的体密度是z y x z y x ++=),,(ρ，则此空间立体的质量为____________。
5、微分方程2yx yy +='的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。
2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2。
3、将函数223)(xx x f --=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。
5、计算⎰++Lz y x ds222，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0>a ，计算极限)321(lim 32n n ana a a +++++∞→Λ的值。
2、计算⎰⎰⎰Ωdv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。
3、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数。
4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足3)1(=f ，计算曲线积分dy y x f x dx x x f y L ))(())((22+++⎰的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0>p ，讨论级数∑-∞=+11)1(n n npn 的敛散性。
一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。
1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(611--e ；4、81；5、C y y x =-三、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。
解：由条件得z zfx y f y x f 2,2,2-=∂∂=∂∂=∂∂ }cos ,cos ,{cos }32,32,31{}2,2,1{0γβα=-=⇒-=AB AB32cos ,32cos ,31cos -===⇒γβα从而)1,1,2(cos cos cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂A z f y f x f l f γβα=310 点A 的梯度方向是}2,4,2{}2,2,2{--=-==A Az x y f grad l所以方向导数的最大值是6224242222==++=∂∂lf2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z∂∂∂2。
解：2121,xf f yzyf f xz+-=∂∂+=∂∂ []2221211222211211221212)()()(f xyf f y x f f xf f y xf f f yf y y f yf f y x z y y x z ++-+-=++-++-=+∂∂+∂∂=+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂3、将函数223)(xx x f --=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
解：nn n n n n n n n x x x x x x x x x x f ∑∑∑∞=+∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=++-=++-=--=010022)1(12)1(212/112111211123)( 收敛域为)1,1(-。
4、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。
解：由条件知)(x y y =满足1)0(,1)0(-='=y y由特征方程2,1023212==⇒=+-r r r r ,对应齐次方程的通解x x e C e C Y 221+= 设特解为x Axe y =*，其中A 为待定常数，代入方程，得x xe y A 22*-=⇒-= 从而得通解x x x xe e C e C y 2221-+=,代入初始条件得0,121==C C 最后得x e x x y )21()(-= 5、计算⎰++Lzy x ds222，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段。
解：dt dt z y x ds t t t 65222='+'+'= 8658arctan 865865202022222=⋅=+=++⎰⎰ππtt dt z y x ds L四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0>a ，计算极限)321(lim 32n n ana a a +++++∞→Λ的值。
解：设)11()(1<<-=∑∞=x nx x s n n ，则原问题转化为求和函数在ax 1=处的值 而2111111)1(1)()()()(x x x x x x x x x x x x x n x x s n n n n n n n n -='⎪⎭⎫⎝⎛-='='='==∑∑∑∑∞=-∞=∞=-∞= 故所求值为2)1(1-=⎪⎭⎫⎝⎛a a a s2、计算⎰⎰⎰Ωdv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。
解：πϕϕπϕϕϕπϕϕϕθππππ8154122sin 2cos sin 2sin cos 214404213212420=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωr d drr d dr rr d d dv z3、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数。
解：取xoy ∑为xoy 面上的圆盘222a y x ≤+，方向取上侧，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎰⎰⎰=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰-+⎰⎰⎰=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰++-⎰⎰++=⎰⎰++=⎰⎰++++Ω∑∑+∑∑∑2230222022222222323sin cos 21)32(1)()(1)(1)(a a a a d r r d d a dxdy a dv a z a dxdy a z axdydz dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a z y x dxdya z axdydz a D xy xoy xoy ππϕϕϕϕθπππ34440322121sin cos 41a a a a a dr r d a a ππππϕϕϕπππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。
解：所给函数在]1,1[-上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在]1,1[-内收敛于函数本身。
12100==⎰xdx a ，2211)1(2cos 2n xdx n x a n n --==⎰ππ，),2,1(0Λ==n b n )11(cos 1)1(221)(122≤≤---+=∑∞=x x n n x f n n ππ5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足3)1(=f ，计算曲线积分dy y x f x dx x x f y L ))(())((22+++⎰的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。