最新人教版初中七年级数学上册《余角和补角》教案
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4.3.3余角和补角
1.在具体情境中认识余角和补角,掌握余角和补角的性质;(重点)
2.能利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.(重点)
一、情境导入
让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔.
比萨斜塔建于1173年,工程曾间断了两次很长的时间,历经约二百年才完工.设计为垂直建造,但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜.
二、合作探究
探究点一:余角和补角及其性质
【类型一】余角和补角的概念
如果α与β互为余角,则( )
A.α+β=180° B.α-β=180°
C.α-β=90° D.α+β=90°
解析:如果α与β互为余角,则α+β=90°.故选D.
方法总结:正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键.
【类型二】利用余角和补角计算求值
已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.解析:根据∠A与∠B互余,得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,从而得到∠A=3∠B+30°,再把两个算式联立即可求出∠2的值.
解:∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°,又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,∴∠A=3∠B+30°,∴3∠B+30°+∠B=90°,解得∠B=15°.故∠B的度数为15°.
方法总结:此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程组来解决.
【类型三】 余角、补角和角平分线的综合计算
如图,已知∠AOB 在∠AOC 内部,∠BOC =90°,OM 、ON 分别是∠AOB ,∠AOC 的平分线,∠AOB 与∠COM 互补,求∠BON 的度数.
解析:根据补角的性质,可得∠AOB +∠COM =180°,根据角的和差,可得∠AOB +∠BOM =90°,
根据角平分线的性质,可得∠BOM =12
∠AOB ,根据解方程,可得∠AOB 的度数,根据角的和差,可得答案.
解:由∠AOB 与∠COM 互补,得∠AOB +∠COM =180°.
由角的和差,得∠AOB +∠BOM +∠COB =180°,∠AOB +∠BOM =90°.
由OM 是∠AOB 的平分线,得∠BOM =12
∠AOB , 即∠AOB +12
∠AOB =90°.解得∠AOB =60°. 由角的和差,得∠AOC =∠BOC +∠AOB =90°+60°=150°.
由ON 平分∠AOC 得∠AON =12∠AOC =12
×150°=75°.由角的和差,得∠BON =∠AON -∠AOB =75°-60°=15°.
方法总结:本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识,利用了补角的性质,角的和差,角平分线的性质进行计算,解决问题一定要结合图形认真分析,做到数形结合.
探究点二:方位角
【类型一】 利用方位角确定方向
M 地是海上观测站,从M 地发现两艘船A 、B 的方位如图所示,下列说法中正确的是( )
A .船A 在M 的南偏东30°方向
B .船A 在M 的南偏西30°方向
C .船B 在M 的北偏东40°方向
D .船B 在M 的北偏东50°方向
解析:船A在M的南偏西90°-30°=60°方向,故A、B选项错误;船B在M的北偏东90°-50°=40°方向,故C正确,D错误.故选C.
方法总结:用方位角描述方向时,通常以正北或正南方向为角的始边,以对象所处的射线为终边,故描述方位角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西.
【类型二】方位角的有关计算
如图所示,甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发,当分别行驶到A、B、C处时,经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向,乙船位于港口的北偏东76°方向,丙船位于港口的北偏西45°方向.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求∠AOB的度数.
解析:(1)根据方向角的表示方法,可得∠EOB,∠EOC的度数,根据角的和差,可得答案;
(2)根据方向角的表示方法,可得∠EOB,∠EOA的度数,根据角的和差,可得答案.
解:如图,(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向,丙船位于港口的北偏西45°方向,得∠EOB =76°,∠EOC=45°.由角的和差,得∠BOC=∠EOB+∠EOC=76°+45°=121°;
(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向,乙船位于港口的北偏东76°方向,得∠EOB=76°,∠EOA=44°.由角的和差,得∠AOB=∠EOB-∠EOA=76°-44°=32°.
方法总结:解决本题主要是理解方向角的表示方法,结合图形找到相应的角,然后进行计算.
三、板书设计
1.互余、互补
(1)和为90°的两个角互余;
(2)和为180°的两个角互补.
2.方位角
通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑激发学生的学习兴趣,再运用现代化的教学手段,把图形的“静”变成“动”,在动态课件演示中引出概念,增强了趣味性,并且可以充分调动学生的学习兴趣,一下子把学生吸引到课堂上来.这样也把书本上原本呆板的概念激活了,使数学知识充满新鲜感,实现了书本知识和学生发现的一种沟通,增强学生对几何图形的敏感性.
后序
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