线性规划的标准型和基本概念

Ⅲ 0 2 2 0.2
Ⅳ 1 2 0 0.3
Ⅴ 0 1 3 0.8
Ⅵ 1 1 1 0.9
Ⅶ 0 3 0 1.1
Ⅶ 0 0 4 1.4
设xj表示用第j种下料方案下料的原料根数，j=1,2…8, minZ=x1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8
x4 x6 100 x1 2x 2 数学模型 2x 3 2x 4 x 5 x 6 3x 7 100 s.t. 3x 5 x 6 4x 8 100 3x1 x 2 2x 3 x j 0，j 1,28 且为整数 , 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。
• 例2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天 500万m3，在两个工厂之间有一条流量为200万m3的支流。两化工厂每 天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m3和1.4万m3。从第一化工 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保 要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工业污水的 成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。现在要问在满足环保要求的 条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水 的费用最小
st. -2x1 x 2 2
x1 -3x 2 3 x 0,x 0 2 1
minZ 3x1 2x 2
x2 -2x1+x2=2
4
3
-2x1 x 2 2 x1 -3x 2 3 x 0,x 0 2 1
Z Z Z= ， =（-3,- 2） x1 x 2
线性规划的标准型和基本概念
线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 标准型线性规划的解的概念 线性规划的基本理论
1
线性规划问题及其数学模型
问题的提出：
在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求 “最佳”的利用或分配方式。

有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。
（1）可行域可以是个凸多边形，可能无界，也可能为
空； （2）若线性规划问题的最优解存在，它一定可以在 可行域的某一个顶点上得到； （3）若在两个顶点上同时得到最优解，则该两点连 线上的所有点都是最优解，即LP有无穷多最优解； （4）若可行域非空有界，则一定有最优解。
24
线性规划的标准形式 标准线性规划模型
求等直线将离未离可行域时与可行域的交点。
（4）若交点存在，则该点坐标就是最优解 X* 。
图解法的几种可能结果
(1）有唯一最优解，如例1。 （2）有无穷多最优解 如例1中的目标函数设为 maxZ=10x1+2x2
则目标函数等值线10x1+2x2=Z 与第二约束 5x1+x2≤15
的边界线平行。将等值线沿梯度▽Z =（10，2）正方向平移 至B点时与可行域OABC的整条边界线AB重合。
周可提供的资源总量如下表所示：
每吨产品的消耗
甲 维生素（公斤） 设备（台班） 30 5 乙 20 1 160 15
每周资源总量
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元。但根据
市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨。问该厂应如何 安排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？
每吨产品的消耗 甲 维生素（公斤） 设备（台班） 单位利润（万元） 30 5 5 乙 20 1 ２
2
-▽Z=(3,2)
x1-3x2=3
-1 O
2 -1 O
3
4
x1
（4）无可行解 某些线性规划问题的可行域是空集，既不存在满足所有约束条 件的点，这时问题无可行解，当然更谈不上最优解了。 在实际中出现这种情况可以认为资源条件无法满足人们的要求， 既不存在可行方案。
例6 max z=x1+2x2 －x1 + 2x2≥1 x1 + x2≤－2 x1、x2≥0 无可行解。
27
非标准形式线性规划问题的标准化
（1）极大化与极小化 ： n 若 maxZ= C j x j ，令 Z' = -Z ，则有
j=1 n
minZ' =min( -Z)= -minZ= - C j x j
j=1
j=1
n
原目标函数 maxZ minZ' = - C j x j 。 (2) 线性不等式与线性等式：
Z Z Z= ， =（5，） 2 x1 x 2
B( 2, 5) 5 5x1+2x2=5 ▽Z O 1 A 30x1+20x2=160
5
10
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1
线性规划图解法的基本步骤：
（1）建立以x1,x2为坐标轴的直角坐标系，画出线性规划 问题的可行域, （2）求目标函数 Z=C1x1+C2x2 的梯度▽Z =（c1,c2）, （3）任取等值线 C1x1+C2x2=Z0, 沿梯度▽Z正方向平移, （若是极小化问题，则沿负梯度方向-▽Z平移），
（1）
s.t
（2）
（3）
其中 b=(b1 ,b2 ,, bm )T 0
紧凑格式：
minZ= C j x j
n a ij x j =b i , i=1,2, ,m j=1 x 0, j=1,2, ,n j
j=1
n
s.t.
向量格式：
minZ=CX
n Pj x j =b j=1 x 0, j=1,2, ,n j
1
x2
A O －1 1 2
x1
19
以上几种情况的图示如下：
可行域有界—唯一最优解 可行域有界—多个最优解 20
可行域无界—无穷多最 可行域无界—唯一最优解 优解
21
可行域无界—目标函数无界 可行域为空集—无可行解
22
1. 有最优解
唯一最优解
2. 最优解无界 3. 无可行解
无穷多最优解
23
直观结论：
通常称 x1 ,x 2 ,, x n 为决策变量，c1 ,c2 , , c n 为价值系数， a11 ,a12 , , a mn 为消耗系数, b1 ,b2 ,, bm 为资源限制系数。

线性规划的图解法
适用于求解两个变量的线性规划问题
图解法的基本步骤
例4,利用例1说明图解法的主要步骤， 例1的数学模型为
工厂1 工厂2
500万m3
200万m3
5
决策变量：x1、x2——分别代表工厂1和工厂2处理 污水的数量(万m3)。
则目标函数：min z=1000x1+800x2 约束条件： 第一段河流（工厂1——工厂2之间）： (2－x1)/500 ≤0.2% 第二段河流：[ 0.8(2－x1) +(1.4－x2)]/700≤0.2% 此外有： x1≤2； x2≤1.4 化简有： min z=1000x1+800x2 x1 ≥1 0.8x1 + x2 ≥1.6 x1 ≤2 x2≤1.4 x1、x2≥0 称之为上述问题的数学模型。
maxZ 5x1 2x 2 30x1 2 0x 2 160 5x x 15 1 2 4 x1 x1 0, x 2 0
s.t.
x2 5x1+x2=15 10 C x1=4
maxZ 5x1 2x 2 30x1 2 0x 2 160 5x x 15 1 2 4 x1 x1 0, x 2 0
A
5
10
15
x1
15
（3） 无界解（或称无最优解）
无界解是指线性规划问题的最优解无界。 若是极大化问题，则可使目标函数值Z→+∝, 极小化问题 则可使目标函数值Z→-∝， 有无界解的线性规划问题的可行域是无界区域，但反之则不 必然。
例5，试用图解法求解下列线性规划问题
minZ 3x1 2x 2
1
0 3 0
2
0 1 0.1
0
2 2 0.2
1
2 0 0.3
0
1 3 0.8
1
1 1 0.9
0
3 0 1.１
0
0 4 1.4
问题归纳为如何混合使用这8种不同的下料方案，来制造100
套钢架，且要使剩余的料头总长为最短。
圆钢（米） 2．9 2．1 1．5 料头（米）
Ⅰ 1 0 3 0
Ⅱ 2 0 1 0.1
有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每
线性规划问题的标准形式：
minZ=c1 x1 +c 2 x 2 + +c n x n a11 x1 +a12 x 2 + +a1n x n =b1 a x +a x + +a x =b 2n n 2 21 1 22 2 a m1 x1 +a m2 x 2 + +a mn x n =b m x ,x , x 0 1 2 n
T
T
s.t.
其中 C=(c1 ,c2 ,,cn ) 称为价值向量， X=(x1 ,x 2 , , x n ) 为决
策变量向量， Pj =(a1j ,a 2j ,, a mj ) 为决策变量xj所对应的消耗系数 向量，b=(b1 ,b 2 , , b m ) 为资源向量。
T
矩阵格式：
minZ=CX AX=b X 0
其中
a11 a12 a 21 a 22 A= ... ... a m1 a m2
... a1n ... a 2n ... ... 为m×n阶矩阵 ... a mn
C=(c1 ,c2 ,,cn ) 为价值向量，
X=(x1 ,x 2 ,, x n )T 为决策变量向量， b=(b1 ,b 2 , , b m )T为资源向量。
每周资源总量 160 15
定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。 数学模型为
maxZ=5x1 +2x 2
s.t. （subject to) (such that)
30x1 20x 2 160 5x x 15 1 2 x1 4 x1 0, x 2 0
线性规划的模型的一般形式: 目标函数 max(min)Z=c1x1 +c2 x 2 + +cn x n
a11x1 a12 x 2 a1n x n ( , )b1 满足约束条件 a 21x1 a 22 x 2 a 2n x n ( , )b 2 a x a x a x ( , )b mn n m m1 1 m2 2 x1 ,x 2 , x n 0
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下， 变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线 性不等式来表达。 （4）要求目标函数实现极大化（max）或极小化（min）。 满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题
6
例３，某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2.9米，2.1米 和1.5米的圆钢各一根。已知原料长为7.4米，问应如何下料，可使 材料最省？ 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳 出8种不同的下料方案：
圆钢（米） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅶ
2．9
2．1 1．5 料头（米）
这表明线段AB上的每一点都使目标函数取得同样的最大值，
因而都是最优解。
x2 5x1+x2=15 10 C x1=4
maxZ 10 x1 2x 2
Z Z Z= ， =（10，） 2 x1 x 2
5 10x1+2x2=5 ▽Z O 1
B（2，5）
30x1+20x2=160