2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第一节抽样方法

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2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第六节几何概型 Word版含解析

一、填空题1．已知地铁列车每10 min 一班(上一班车开走后10分钟下一班车到)，在车站停 1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是________．解析：试验的所有结果构成的区域长度为11 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝111.答案：1112．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，则弦长超过半径的概率为________．解析：当弦长等于半径时对应的圆心角为π3，设A ＝{弦长超过半径}，则P (A )＝2π－23π2π＝23. 答案：233．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________．解析：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，a 2<4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532. 答案：15324．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________．解析：由Δ＝m 2－4(34m ＋1)＜0得－1＜m ＜4. 即A ＝{m |－1＜m ＜4}．由 lg m 有意义知 m ＞0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)，故所求概率为 P ＝4－04－(－1)＝45. 答案：455．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．解析：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.答案：1－π46．在区域M ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <20<y <4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧ x ＋y <4y >x x >0}内的概率是________．解析：画出区域M 、N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N为图中阴影部分．S 阴影＝12×4×2＝4，故所求概率P ＝44×2＝12. 答案：127．如图，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号是________．解析：图(1)的概率为38，图(2)的概率为14，图(3)、(4)的概率都是13，故选择(1)．答案：(1)8．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 答案：39．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果在该矩形内随机找一点P ，那么使得△ABP 与△CDP 的面积都不小于1的概率为________．解析：取AD 的三等分点E ′、F ′，取BC 的三等分点E 、F ，连结EE ′、FF ′，如右图所示．因为AD ＝3，所以可知BE ＝EF ＝FC ＝AE ′＝E ′F ′＝F ′D ＝1.又AB ＝2，所以当点P 落在虚线段EE ′上时，△ABP 的面积等于1，当点P 落在虚线段FF ′上时，△CDP 的面积等于1，从而可知当点P 落在矩形EE ′F ′F 内(包括边界)时△ABP 和△CDP 的面积均不小于1，故可知所求的概率为P ＝1×22×3＝13. 答案：13二、解答题10．已知棱长为2的正方体的内切球O .若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？解析：球的直径就是正方体的棱长2.∴球O 的体积V 球＝43π，正方体的体积为V ＝23＝8.由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O 内(事件A )的概率为P (A )＝V －V 球V ＝8－43π8＝1－π6.∴所求概率为1－π6.11．在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧－1≤x ≤20≤y ≤2，从区域W 中随机取点M (x ，y )．(1)若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第一象限的概率；(2)若x ∈R ，y ∈R ，求|OM |≤2的概率．解析：(1)若x ，y ∈Z ，则点M 的个数共有12个，列举如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)．当点M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)时，点M 位于第一象限，故点M 位于第一象限的概率为13.(2)如图：若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是3×2＝6.满足|OM |≤2的点M 构成的区域为{(x ，y )|－1≤x ≤2，0≤y ≤2，x 2＋y 2≤4}，即图中的阴影部分．易知E (－1，3)，∠EOA ＝60°，所以扇形BOE 的面积是4π3，△EAO 的面积是32.所以|OM |≤2的概率为43π＋326＝29π＋312.12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧ x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪ (x ，y )⎩⎨⎧⎭⎬⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12. 而所求事件构成的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ) ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，32)，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.。

2019版一轮优化探究理数练习：第十一章第四节随机事件的概率含解析

一、填空题 1．给出关于满足AB 的非空集合A 、B 的四个命题：①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必然事件．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 解析：∵A B ，∴A 中的任一元素都是B 中的元素，而B 中至少有一个元素不在A 中．因此①正确，②错误，③正确，④正确．答案：①③④2．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．解析：出现奇数点或2点的事件为A ∪B . P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝46＝23. 答案：233．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数12345人以上解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.744．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为______和________．解析：P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03. 答案：0.97 0.035．三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为BE 1E 2E 2E 1，E 1BE 2E 2B ，E 2BE 1E 1B ，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13. 答案：136．有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，则这个零件为一等品的概率为________． (2)从一等品零件中，随机抽取2个，则这2个零件直径相等的概率为________．解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种，所以P (B )＝615＝25. 答案：35 257．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为________．解析：1－0.03－0.01＝0.96. 答案：0.968．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包括9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. 答案：349．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735. 答案：1735 二、解答题10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值．解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0．1＋0.16＋x＝0.56，∴x＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0．96＋z＝1，∴z＝0.04.由派出医生最少3人的概率为0.44，得y＋0.2＋z＝0.44，∴y＝0.44－0.2－0.04＝0.2.11．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不只参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解析：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A，则事件A的概率P(A)＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率P(B)＝1－220＝9 10.12．某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从所有试卷中随机抽取1 000份，其中该题的得分组成容量为1 000的样本，统计结果如下表：(1) (2)这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，对于该填空题，以样本中各种得分情况的频率(精确到0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率．试求该同学第一空得分不低于第二空得分的概率．解析：(1)设样本试卷中该题的平均得分为x ，则由表中数据可得： x ＝0×198＋3×802＋0×698＋2×3021 000＝3.01，据此可估计整个地区中该题的平均得分为3.01分．(2)依题意，第一空答对的概率为8021 000≈0.8，第二空答对的概率为3021 000≈0.3，记“第一空答对”为事件A ，“第二空答对”为事件B ，则“第一空答错”为事件A ，“第二空答错”为事件B .若要使第一空得分不低于第二空得分，则A 发生或A 与B 同时发生，故有：P (A )＋P (A ·B )＝0.8＋(1－0.8)×(1－0.3)＝0.94. 故该同学第一空得分不低于第二空得分的概率为0.94.。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)：第十一章第七节分类计数原理与分步计数原理 Word版含解析

一、填空题1．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为________．解析：设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；……；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：362．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为________．解析：如图所示，根据题意，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7, 5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.答案：63.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________．解析：可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C 与A 所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类计数原理，不同的种法总数为36＋48＝84.答案：844．直线方程Ax ＋By ＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A 、B 的值，则可表示________条不同的直线．解析：分成三类：A ＝0，B ≠0；A ≠0，B ＝0和A ≠0，B ≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A 有5种取法，再取B 有4种取法，故有5×4＝20(种)．所以可以表示22条不同的直线．答案：225.如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A 、B 、C 、D ，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析：解法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．解法二恰有i 个焊点脱落的可能情况为C i 4(i ＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C 14＋C 24＋C 34＋C 44＝15(种)．答案：156．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．答案：45 547．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．解析：由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18. 答案：188．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.答案：7 2009．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．共4＋2＝6(个)．答案：6二、解答题10．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解析：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C24·C12＝12(种)方法；第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C24·C22＝6(种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C14·C13＝12(种)方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31 (个)．11．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？。

[推荐学习]2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第十节离散型随机变量及其概率分布

1．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，求X的所有可能取值．解析：X＝－1，甲抢到一题但答错了．X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．X＝2时，甲抢到2题均答对．X＝3时，甲抢到3题均答对．所以X的可能取值为：－1,0,1,2,3.2．一个袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取得白球为止，求取球次数的概率分布．解析：设取球次数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3,4,5，P(ξ＝1)＝1A15＝15，P(ξ＝2)＝A14A25＝15，P(ξ＝3)＝A24A35＝15，P(ξ＝4)＝A34A45＝15，P(ξ＝5)＝A44A55＝15，∴随机变量ξ的概率分布为：3.若离散型随机变量X试求出常数c，并写出X解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧(9c 2－c )＋(3－8c )＝1，9c 2－c ≥0，3－8c ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝13或23，19≤c ≤38，解之得c ＝13，从而X 的概率分布为：4.某校组织一次冬令营活动，5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学． (1)求X 的概率分布；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．解析：(1)X 的可能取值为0,1,2,3.根据公式P (X ＝m )＝C m M C n －mN －MC n N算出其相应的概率，即X 的概率分布为(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为 P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1556＋1528＝4556.5．设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S .(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n )”为事件A ，试列举A 包含的基本事件；(2)设ξ＝m 2，求ξ的概率分布及其数学期望Eξ. 解析：(1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的概率分布为所以Eξ＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.6．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的概率分布；(2)求ξ的数学期望．解析：(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.P(ξ＝1)＝13，P(ξ＝3)＝16，P(ξ＝4)＝16，P(ξ＝6)＝13，所以ξ的概率分布为(2)E(ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．7．一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)若袋中共有10个球； ①求白球的个数；②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布． (2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710.并指出袋中哪种颜色的球的个数最少．解析：(1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为X ，则P (A )＝1－C 210－X C 210＝79，得到X ＝5.故白球有5个．②随机变量X 的取值为0,1,2,3，其中P (X ＝0)＝C 35C 310＝112，P (X ＝1)＝C 15C 25C 310＝512，P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512，P (X ＝3)＝C 35C 310＝112.∴X 的概率分布是(2)证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得y ＝25n ，所以2y ＜n,2y ≤n －1，故y n －1≤12.记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则P (B )＝25＋35×yn －1≤25＋35×12＝710.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少．8．在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3,4的四个小球．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为x 、y ，记X ＝|x －y |. (1)求随机变量X 的概率分布； (2)求随机变量X 的数学期望；(3)设“函数f (x )＝nx 2－Xx －1(x ∈N ＋)在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．解析：(1)X 的所有取值为0,1,2,3， ∵X ＝0有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4四种情况． X ＝1时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3六种情况． X ＝2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝2四种情况． X ＝3时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1两种情况． ∴P (X ＝0)＝416＝14，P (X ＝1)＝616＝38， P (X ＝2)＝416＝14，P (X ＝3)＝216＝18.则随机变量X的概率分布为：(2)数学期望E(X)＝0×14＋1×38＋2×14＋3×18＝54.(3)∵函数f(x)＝nx2－Xx－1在(2,3)有且只有一个零点，∴①当f(2)＝0时，X＝2n－12，舍去．②当f(3)＝0时，X＝3n－13，舍去．③当f(2)f(3)＝(4n－1－2X)(9n－1－3X)＜0时，∴2n－12＜X＜3n－13.当n＝1时，32＜X＜83，∴X＝2.当n≥2且n∈N＋时，X＞2n－12≥72，∴当n＝1时，P(A)＝P(X＝2)＝14.当n≥2且n∈N＋时，P(A)＝0.故当n＝1时，事件A发生的概率为14；当n≥2时，事件A发生的概率为0.。

[推荐学习]2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第五节古典概型 Word版含解析-

一、填空题1．下列试验中，是古典概型的有________． ①种下一粒种子观察它是否发芽②从规格直径为250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一个，测量其直径d ③抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 ④某人射击中靶或不中靶答案：③2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为________．解析：从4张卡片中有序地取得两张的取法共有4×3＝12种，其中取得一奇一偶的取法共有4×2＝8种(先任取，后取与第一张不同奇偶的)．故取得卡片上数字之和为奇数的概率为P ＝812＝23. 答案：233．甲乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．解析：甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |>1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件， ∴P (B )＝29， ∴P (A )＝1－29＝79. 答案：794．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为________．解析：基本事件总数为C 212，事件包含的基本事件数为C 26－C 23，故所求的概率为P ＝C 26－C 23C 212＝211.答案：2115．一个口袋中，装有大小相等的5个黑球，6个白球和4个黄球，从中摸出3个球，那么摸出的3个球颜色不超过2种的概率是________．解析：基本事件总数为C 315，事件“摸出的3个球颜色互不相同”包含的基本事件数为C 16C 15C 14，故所求事件的概率为P ＝1－C 16C 15C 14C 315＝1－2491＝6791.答案：67916．在集合{x |x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．解析：基本事件总数为10，满足cos x ＝12的x 有两个． ∴P ＝210＝15. 答案：157．任取一个三位正整数N ，则对数log 2 N 是一个正整数的概率是________．解析：∵26＝64,27＝128,28＝256,29＝512,210＝1 024， ∴满足条件的正整数只有27,28,29三个， ∴所求的概率P ＝3900＝1300. 答案：13008．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S ，则“S 恰好为4”的概率为________．解析：本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a ，b ，c )来记连续抛掷3次所得的3个数字，总事件中含4×4×4＝64个基本事件，取S ＝a ＋b ＋c ，事件“S 恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则P (S 恰好为4)＝P (A )P (Ω)＝364. 答案：3649．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．解析：设男教师为n 个人，则女教师为(n ＋12)人， ∴n 2n ＋12＝920. ∴n ＝54，∴参加联欢会的教师共有120人．答案：120 二、解答题10．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解析：(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为545＝19，故大于40岁的观众应抽取27×19＝3(人)．(3)抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁的人为a1，a2，a3,20至40岁的人为b1，b2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共10个，其中恰有1人为20至40岁的有6个，故所求概率为610＝3 5.11．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品．(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．解析：(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x，y，z)记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以基本事件总数为10×10×10＝103(种)；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8＝83种，因此P(A)＝83103＝0.512.(2)可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x ，y ，z )，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以基本事件总数为10×9×8. 设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6，所以P (B )＝8×7×610×9×8＝715.12．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．解析：事件(a ，b )的基本事件有36个．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧(2a －b )x ＝6－2b ，(2a －b )y ＝2a －3.(1)方程组只有一个解，需满足2a －b ≠0，即b ≠2a ，而b ＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共3个，所以方程组只有一个解的概率为 P 1＝1－336＝1112.(2)方程组只有正数解，需2a －b ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b2a －b >0，y ＝2a －32a －b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a >ba >32b <3或⎩⎪⎨⎪⎧2a <b ，a <32，b >3.其包含的事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)．因此所求的概率为1336.。

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第七节分类计数原理与分步

一、填空题1．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为________．解析：设另两边长分别为x、y，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；……；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：362．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为________．34解析：如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7, 5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.12a34bc d9答案：63.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为________．解析：可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；当C 与A 所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法，由分类计数原理，不同的种法总数为36＋48＝84.答案：844．直线方程Ax ＋By ＝0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A 、B 的值，则可表示________条不同的直线．解析：分成三类：A ＝0，B ≠0；A ≠0，B ＝0和A ≠0，B ≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A 有5种取法，再取B 有4种取法，故有5×4＝20(种)．所以可以表示22条不同的直线．答案：225.如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A 、B 、C 、D ，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种．解析：解法一　当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．解法二　恰有i 个焊点脱落的可能情况为C (i ＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，i 4当电路不通时焊点脱落的可能情况共C ＋C ＋C ＋C ＝15(种)．1424344答案：156．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．答案：45　547．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．解析：由于lg a －lg b ＝lg (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为有A ＝20a b a b 25种，又与相同，与相同，∴lga －lgb 的不同值的个数有13393193A －2＝20－2＝18.25答案：188．某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.答案：7 2009．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________．解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2×2＝4(个)；第二类，第二象限内的点，有1×2＝2(个)．共4＋2＝6(个)．答案：6二、解答题10．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？解析：(1)显然对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有34＝81(个)．(3)分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C 2412·C＝12(种)方法；242第三类，A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C·C＝6(种)方法；第四类，A中有一个元素对应1，一个元素对应3，另两个元素与0对应，有C1413·C＝12(种)方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31 (个)．11．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2＋1＝3(种)，此时共有6×3＝18(种)；第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1×2＝2(种)；所以根据分类计数原理知共有18＋2＝20(种)选法．12．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解析：分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0101；②若位置一与三相同，则信息为0011；③若位置一与四相同，则信息为0000；④若位置二与三相同，则信息为1111；⑤若位置二与四相同，则信息为1100；⑥若位置三与四相同，则信息为1010.共6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.。

2019版一轮优化探究文数(苏教版)：第十一章第四节随机事件的概率 Word版含解析

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第六节几何概型 Word版含解析

一、填空题1．已知地铁列车每10 min 一班(上一班车开走后10分钟下一班车到)，在车站停 1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是________．解析：试验的所有结果构成的区域长度为11 min ，而构成事件A 的区域长度为 1 min ，故P (A )＝111. 答案：1112．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，则弦长超过半径的概率为________．解析：当弦长等于半径时对应的圆心角为π3，设A ＝{弦长超过半径}，则P (A )＝2π－23π2π＝23.答案：233．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________．解析：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎨⎧a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎨⎧a 2>b 2，a 2<4b 2，化简得⎩⎨⎧a >b ，a <2b ，又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532.答案：15324．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________．解析：由Δ＝m 2－4(34m ＋1)＜0得－1＜m ＜4. 即A ＝{m |－1＜m ＜4}．由 lg m 有意义知 m ＞0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)，故所求概率为 P ＝4－04－(－1)＝45.答案：455．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．解析：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4. 答案：1－π46．在区域M ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧0<x <20<y <4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y <4y >xx >0}内的概率是________．解析：画出区域M 、N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N为图中阴影部分． S 阴影＝12×4×2＝4，故所求概率P ＝44×2＝12. 答案：127．如图，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号是________．解析：图(1)的概率为38，图(2)的概率为14，图(3)、(4)的概率都是13，故选择(1)．答案：(1)8．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________. 解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.即m 的值为3. 答案：39．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果在该矩形内随机找一点P ，那么使得△ABP 与△CDP 的面积都不小于1的概率为________．解析：取AD 的三等分点E ′、F ′，取BC 的三等分点E 、F ，连结EE ′、FF ′，如右图所示．因为AD ＝3，所以可知BE ＝EF ＝FC ＝AE ′＝E ′F ′＝F ′D ＝1.又AB ＝2，所以当点P 落在虚线段EE ′上时，△ABP 的面积等于1，当点P 落在虚线段FF ′上时，△CDP 的面积等于1，从而可知当点P 落在矩形EE ′F ′F 内(包括边界)时△ABP 和△CDP 的面积均不小于1，故可知所求的概率为P ＝1×22×3＝13. 答案：13二、解答题10．已知棱长为2的正方体的内切球O .若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？解析：球的直径就是正方体的棱长2. ∴球O 的体积V 球＝43π，正方体的体积为V ＝23＝8.由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O 内(事件A )的概率为 P (A )＝V －V 球V ＝8－43π8＝1－π6. ∴所求概率为1－π6.11．在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧－1≤x ≤20≤y ≤2，从区域W 中随机取点M (x ，y )．(1)若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第一象限的概率； (2)若x ∈R ，y ∈R ，求|OM |≤2的概率．解析：(1)若x ，y ∈Z ，则点M 的个数共有12个，列举如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)．当点M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)时，点M 位于第一象限，故点M 位于第一象限的概率为13. (2)如图：若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是3×2＝6. 满足|OM |≤2的点M 构成的区域为{(x ，y )|－1≤x ≤2，0≤y ≤2，x 2＋y 2≤4}，即图中的阴影部分．易知E (－1，3)，∠EOA ＝60°，所以扇形BOE 的面积是4π3，△EAO 的面积是32.所以|OM |≤2的概率为43π＋326＝29π＋312.12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率； (2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪(x ，y )⎩⎨⎧⎭⎬⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12. 而所求事件构成的平面区域为 ⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，32)， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.S1 S＝9412＝316.∴所求事件的概率为P＝。

2019苏教版一轮优化探究(文科数学)练习：第十一章第六节几何概型含解析

一、填空题1．已知地铁列车每10 min 一班(上一班车开走后10分钟下一班车到)，在车站停 1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是________．解析：试验的所有结果构成的区域长度为11 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝.111答案：1112．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A 连结，则弦长超过半径的概率为________．解析：当弦长等于半径时对应的圆心角为，π3设A ＝{弦长超过半径}，则P (A )＝＝.2π－23π2π23答案：233．在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程＋＝1表示焦点在x 轴上且离x 2a 2y 2b 2心率小于的椭圆的概率为________．32解析：方程＋＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，x 2a 2y 2b 232故Error!即Error!化简得Error!又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P ＝＝.154S 阴影2×41532答案：15324．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子34lg m 有意义的概率为________．解析：由Δ＝m 2－4(m ＋1)＜0得－1＜m ＜4.34即A ＝{m |－1＜m ＜4}．由 lg m 有意义知 m ＞0，即使lg m 有意义的范围是(0,4)，故所求概率为 P ＝＝.4－04－(－1)45答案：455．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．解析：长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，π2因此取到的点到O 的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π2π4.π4答案：1－π46．在区域M ＝{(x ，y )|Error!}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|Error!}内的概率是________．解析：画出区域M 、N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N为图中阴影部分．S 阴影＝×4×2＝4，12故所求概率P ＝＝.44×212答案：127．如图，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号是________．解析：图 (1)的概率为，图(2)的概率为，图(3)、(4)的概率都是，故选择(1)．381413答案：(1)8．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝________.56解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．2m 656当2<m <4时，由题意得＝，解得m ＝3.即m 的值为3.m －(－2)656答案：39．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，如果在该矩形内随机找一点P ，那么使得△ABP 与△CDP 的面积都不小于1的概率为________．解析：取AD 的三等分点E ′、F ′，取BC 的三等分点E 、F ，连结EE ′、FF ′，如右图所示．因为AD ＝3，所以可知BE ＝EF ＝FC ＝AE ′＝E ′F ′＝F ′D ＝1.又AB ＝2，所以当点P落在虚线段EE ′上时，△ABP 的面积等于1，当点P 落在虚线段FF ′上时，△CDP 的面积等于1，从而可知当点P 落在矩形EE ′F ′F 内(包括边界)时△ABP 和△CDP 的面积均不小于1，故可知所求的概率为P ＝＝.1×22×313答案：13二、解答题10．已知棱长为2的正方体的内切球O .若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？解析：球的直径就是正方体的棱长2.∴球O 的体积V 球＝π，43正方体的体积为V ＝23＝8.由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O 内(事件A )的概率为P (A )＝＝＝1－.V －V 球V 8－43π8π6∴所求概率为1－.π611．在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(x ，y )满足Error!，从区域W 中随机取点M (x ，y )．(1)若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第一象限的概率；(2)若x ∈R ，y ∈R ，求|OM |≤2的概率．解析：(1)若x ，y ∈Z ，则点M 的个数共有12个，列举如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)．当点M 的坐标为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)时，点M 位于第一象限，故点M 位于第一象限的概率为.13(2)如图：若x ，y ∈R ，则区域W 的面积是3×2＝6.满足|OM |≤2的点M 构成的区域为{(x ，y )|－1≤x ≤2，0≤y ≤2，x 2＋y 2≤4}，即图中的阴影部分．易知E (－1，)，3∠EOA ＝60°，所以扇形BOE 的面积是，△EAO 的面积是.4π332所以|OM |≤2的概率为＝π＋.43π＋3262931212．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：Error!所表示的平面区域内的概率．解析：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝＝.21216(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域内，属于几何概型．该平{ (x ，y )|{0≤x ≤30≤y ≤4}面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为Error!Error!，{x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0}其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，)，32∴三角形OAD 的面积为S 1＝×3×＝.123294∴所求事件的概率为P ＝＝＝.S 1S 9412316。

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1
一、填空题
1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学
生进行作业检查，这种抽样方法是________．
解析：因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．
答案：系统抽样
2．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取
20个作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出20个样本；
②采用系统抽样法：将零件编号为00,01，…，99，然后平均分组抽取20个样本；
③采用分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本．
下列说法：
(1)无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；
(2)①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等，③并非如
此；
(3)①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等，②并非如
此；
(4)采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同
的．
其中正确的结论是________．

解析：上述三种方法均是可行的，每个个体被抽到的概率均等于20100＝
1
5
.

答案：(1)
3．某大学共有学生5 600人，其中专科生1 300人、本科生3 000人、研究生1 300
人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样
本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取________．

解析：由分层抽样按比例抽取的特点得5 600280＝1 300x＝3 000y＝1 300z，∴x＝z＝65，
y＝150，即应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取65人，150人，
65人．
2

答案：65人，150人，65人
4．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有
40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检
测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和
是________．
解析：四类食品的每一种被抽到的概率为
2040＋10＋30＋20＝1
5
，

∴植物油类和果蔬类食品被抽到的种数之和为(10＋20)×15＝6.
答案：6
5．高三(1)班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的办法抽取
一个容量为4的样本．已知学号为6,34,48的同学在样本中，那么还有一个同学
的学号应为________．

解析：抽取间隔为564＝14.
已抽取学号为6,34,48，故还有一个同学的学号应为20.
答案：20
6．某高中有三个年级，其中高一学生有600人，若采用分层抽样抽取一个容量
为45的样本，已知高二年级抽取20人，高三年级抽取10人，则该高中学生的
总人数为________．
解析：由题意，高一年级抽了45－20－10＝15(人)，

设总人数为n，则15600＝45n，解得n＝1 800.
答案：1 800
7．(2013·高考湖南卷改编)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在
学习兴趣与业余受好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进
行调查，则宜采用的抽样方法是________．
解析：由于被抽取的个体的属性具有明显差异，因此宜采用分层抽样法．
答案：分层抽样法
8．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取．红星中学共有学生
3

1 600名，抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的
女生有________人．
解析：设女生有x人，则男生有(1 600－x)人．

由题意知2001 600×(1 600－x)＝2001 600×x＋10，
解得x＝760.
答案：760
二、解答题
9．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容
量为n的样本．如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样
本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本
容量n.
解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间

隔为36n，分层抽样的比例是n36，抽取工程师n36×6＝n6(人)，抽取技术人员n36×12

＝n3(人)，抽取技工n36×18＝
n
2
(人)．

所以n应是6的倍数，36的约数即n＝6,12,18,36.
当样本容量为(n＋1)时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为35n＋1，

因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量为6.
10．某煤矿有采煤工人400人，运输工人302人，管理和服务人员250人，要从
中抽取190人组成职工代表参加讨论奖金分配方案，试确定用何种方法抽取，三
种类型的职工各抽多少？
解析：由于奖金分配涉及到各种人的利益不同，所以应采用分层抽样方法．
因为总体人数400＋302＋250＝952(人)．
952
190
＝5余2，应剔除2人．

而4005＝80(人)，302－25＝60(人)，2505＝50(人)，
所以，采煤工人、运输工人、管理和服务人员分别抽取80人、60人、50人．
4

2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第十一章第一节抽样方法

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