清华大学微积分B(2)习题课题目

微积分B （2）第七次习题课题目

1.求解下列方程：

1) x

e ycosx -sinx y 2-cosx y =¢¢¢

2()2y y y e -¢¢¢+=

2）①求解:)5(33-=+¢+¢¢+¢¢¢-x e y y y y x

②求解:)sin(23x e y y y -=+¢-¢¢

③求解:x x y y x y x sin 2232=+¢-¢¢

④求微分方程x x y y x y x ln 6422=+¢-¢¢

①求解:)5(33-=+¢+¢¢+¢¢¢-x e y y y y x (待定系数法). 2．设()f x 是以T 为周期的连续函数,而()y x j =是方程()dy y f x dx

+=的解,且满足()(0)T j j =,求证: ()x j 是以T 为周期的周期函数.

3.证明Gronwall 不等式

1）设(),(),()f t t t j y 是[0，T]上的非负可积函数，且对于任意的t 属于[0，T]有：()()()()f t t f t t j y ¢£+成立 证明：对于任意的t 属于[0，T]，有

0()0()[(0)()]t

t s ds f t e f s ds j y ò£+ò 2)设()t h 是[0，T]上的非负可积函数，且对于任意的t 属于[0，T]有：120()()t

t C s ds C h h £+ò，其中常数12,C C 大于0.证明：对于任意的t 属于[0，T]，有121()(1)C t t C C te h £+.

4.设全微分方程dy x f y x dx y x f y x xy )]([])()([2¢++-+

0=,其中)(x f 有二阶连续导数且1)0(,0)0(=¢=f f .求)(x f 以及全微分方程的通解.

5.设)(t f 在),(+¥-¥连续，3222)(3

)(2222t dxdydz z y x f t f t z y x +++=òòò£++，求)(t f 。

6. 1） 设ò--=x

t t f t x x x x f 0d )()(sin )(，其中)(x f 连续，求)(x f

2）设二次连续可微函数)(x f 满足： )0(1ln 2

1)()()(212102>++=+¢òx x x xf dt tx f x x f x ，求)(x f . 7.（1）设对于半空间0>x 内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有

0)()(2=Ù-Ù-òòÙdy zdx e dx dz x xyf dz dy x xf x S

，其中),0()(1+¥ÎC x f ，且1)(lim 0=+®x f x ，求)(x f 。

(2)若曲线L 是微分方程),(y x f y =¢的一条封闭积分曲线,试计算

dy y x f y dx y x xf L ò-)

,(),(. 设A 为封闭曲线所围成区域的面积.