寒假专题 常见递推数列通项公式的求法 人教版

寒假专题 常见递推数列通项公式的求法

一. 本周教学内容：

寒假专题——常见递推数列通项公式的求法 二. 本周教学重、难点： 1. 重点：

递推关系的几种形式。 2. 难点：

灵活应用求通项公式的方法解题。 【典型例题】

[例1] b ka a n n +=+1型。

（1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1

-=k b m ∴ }1{-+

k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-⋅-+=-+n n k k b a k b a ∴ 1

)1(11--⋅-+=-k b

k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。

（1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。

例：已知}{n a 满足11=a ，)

1(1

1+=-+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。

解：

∵ 11

1)1(11+-=+=

-+n n n n a a n n

∴ n n a a n n 1111--=-- 112121---=---n n a a n n 21

3132---=---n n a a n n ……

312123-=-a a 2

1

112-=-a a

对这（1-n ）个式子求和得：n a a n 111-=- ∴ n

a n 1

2-=

（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++

∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1

∴ ⎩

⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2

)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列

∴ 11)(-⋅++=++n n k B A a B An a ∴ B An k

B A a a n n --⋅++=-1

1)( 将A 、B 代入即可

（3）n

q n f =)(（≠q 0，1）

等式两边同时除以1+n q 得q q a q k q

a n n n n 1

1

1+⋅=++ 令n

n

n q a C =

则q

C q k C n n 1

1+=+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。

（1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。

（2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。

例：已知：311=a ，11

21

2-+-=

n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：1

235375325212321212122332211+=

⋅--⋅--⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ∴ 121

1231+=+⋅=n n a a n [例4] 1

1

--+⋅⋅=n n n a m a m k a 型。

考虑函数倒数关系有)11(11m a k a n n +=- ∴ m

k

a k a n n +⋅=-111

令n

n a C 1

= 则}{n C 可归为b ka a n n +=+1型。

练习：

1. 已知}{n a 满足31=a ，121+=+n n a a 求通项公式。

解：

设)(21m a m a n n +=++ m a a n n +=+21 ∴ 1=m ∴ }1{1++n a 是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ 1241-⋅=+n n a ∴ 121-=+n n a

2. 已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（*

N n ∈）求通项公式。 解：

)1(21-=--n a a n n

)2(221-=---n a a n n )3(232-=---n a a n n …… 2223⨯=-a a

1212⨯=-+a a

n n n a a n -=-+++=-21)]1(21[2

∴ 12--=n n a n 3. 已知}{n a 中，n n a n n

a 2

1+=+且21=a 求数列通项公式。 解：

)1(2

31422413211122332211+=

⋅--⋅--⋅-⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ∴ )

1(21+=n n a a n ∴ )1(4+=n n a n

4. 数列}{n a 中，n

n n

n n a a a +⋅=+++1

1

122，21=a ，求}{n a 的通项。 解：

n

n n n n a a a 1

11221

++++= ∴ 112111+++=n n n a a 设n

n a b 1

= ∴ 1121+++=n n n b b ∴ n n n b b 211+=-

∴ n n n b b 21

1=--

12121

---=-n n n b b

23221

---=-n n n b b ……

32321

=-b b

2122

1

=-+b b

n n b b 212121321+++=- n n 21212

11])21(1[211

2-=--=-

∴ n

n

n n b 212212121-=+-= ∴ 1

22-=n n

n a 5. 已知：11=a ，2≥n 时，122

1

1-+=-n a a n n ，求}{n a 的通项公式。

解：

设])1([2

1

1B n A a B An a n n +-+=++- B A An a a n n 212121211---=-

∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-1212

1221

B A A 解得：⎩⎨⎧=-=64B A ∴ 3641=+-a

∴ }64{+-n a n 是以3为首项，2

1

为公比的等比数列

∴ 1)21(364-⋅=+-n n n a ∴ 642

3

1-+=-n a n n

1. 已知}{n a 中，31=a ，n

n n a a 21+=+，求n a 。

2. 已知}{n a 中，11=a ，231+=-n n a a （2≥n ）求n a 。

3. 已知}{n a 中，11=a ，n n n a a 221+=-（2≥n ）求n a 。