2013重庆大学高等代数考研真题.
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重庆大学2013年硕士研究生入学考试试题
科目代码:820 科目名称:高等代数
特别提醒考生:
答题一律做在答题纸上(包括填空题、计算题、证明题等) , 直接做在试卷上按零分计。
一、填空题(共30分,每小题3分)
1.多项式32()2461f x x x x =+++在有理数域上是 不可约 的 (注:填可约或不可约).
2. 设A 与B 均为n 级方阵,*A 与*B 分别为它们的伴随矩阵,2,3A B ==-, 则
1
*
*
1
A B A B
---=1
5(1)
6
n
n +-. 3.设3
级方阵A 按列分块为123(,,),A A A A =,且5A =,又设
1213(2,34,5)
B A A A A A =++,则B =100-.
4. 已知向量组1(1,2,1,1)
α=-,2(2,0,,0)t α=,3(0,4,5,2)α=--的秩为2,则t =3 .
5.若实对称矩阵A 与矩阵10
00
0202
0B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
合同,则二次型'x Ax 的规范形为 222
123
y y y +-.
6.3R 中的向量123(,,)x x x α=在基1(1,1,1)α=,2(0,1,1)α=,3(0,0,1)α=下的坐标是11223(,,)x x x x x -+-+.
7.设三级方阵A 的三个特征值为1、2、-2,矩阵B 与A 相似,则B 的伴随矩阵*B 的三个特征值为
2,2,4--.
8.设矩阵111111111A ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
,A 的最小多项式为(3)λλ-.
9.3R 中的子空间1()V L α=,其中(1,1,1)α=,则1V ⊥=((1,1,0),(1,0,1))L --. 10.在4[]R x 中定义内积1
1
((),())()()f x g x f x g x dx -=
⎰
,则21()3
f x x =-
的长度是
.
二、计算题(共62分) 1.(12)计算下列l 级行列式的值
210012100012000002
10
1
2
l m D n
-----=
---
.
2. (10)已知线性方程组
1111221211222211220,0,0
n n n n
m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ (1) 的一个基础解系为
1121112,,,p n n pn b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
试写出线性方程组
1111221211222211220,0,0
n n n n
p p pn n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ (2) 的通解,并说明理由.
3. (16分)设二次型222123123121323(,,)255448f x x x x x x x x x x x x =+++--.
1)写出123(,,)f x x x 的矩阵表达式T X AX ; 2)求矩阵A 的特征值,特征向量;
3)求正交变换X PY =使得二次型123(,,)f x x x 化为标准型; 4)写出123(,,)f x x x 的标准型.
4.(12分)已知实矩阵222A x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,431y B ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
。问: (1) ,x y 为何值时,A 合同于B ? (2) ,x y 为何值时,A 相似于B ?
5.(12)设复矩阵126103114A --⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪--⎝⎭
, (1)求A 的若当标准形J ;
(2)求一幂零矩阵B 以及一可对角化矩阵C 使得A B C =+.
三、证明题(共58分)
1.(12)证明: (1,1)1m n d x x x --=-,这里d 为m 与n 的最大公因式.
2. (16)设A 为m m ⨯的正定矩阵,B 为秩等于n 的m n ⨯矩阵,C 为n n ⨯的半正定矩阵.令
T
A B K B C ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
. 证明:1) K 有m 个正特征值,n 个负特征值;
2) 存在m m ⨯与n n ⨯的上三角矩阵11R 与22R ,m n ⨯的矩阵12R 使得
11
1211
2212
220000T
m T
T n E R R R K E R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭
⎝⎭⎝⎭.
3.(12分)设1[]n V x +=R (1[]n x +R 是全体次数不超过n 的实系数多项式,再添上零多项式组成的实数域R 上的线性空间),定义V 上的线性变换 A (())()()f x xf x f x '=-,().f x V ∀∈ (1)求线性变换A 的核A 1(0)- 和值域A ()V ;
(2)证明V =A 1(0)-⊕A ().V
4.(18分)设V 为n 维欧氏空间,求证:
(1)对V 中每个线性变换A ,都存在唯一的共轭变换A *,即存在唯一的线性变
换A *,使得对,V αβ∀∈,有(A ,)(,αβα=A *)β; (2)A 为对称变换当且仅当A *=A ;
(3)A 为正交变换当且仅当AA *=A *A =E ,其中E 是V 上的恒等变换.