2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 5-3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
合集下载
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(同步课件)-2024-2025学年高一数学同步精品课堂
于是得到了两角和的余弦公式，简记作(+) .
( + ) = − .
((+) )
新知探索
思考4：上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以
实现正弦、余弦的互化.你能根据(+) ，(−) 及诱导公式五(或六)，推导出用
((±) )
( ± ) = ± .
((±) )
±
( ± ) =
.
∓
((±) )
公式(+) ，(+) ，(+) 给出了任意角，的三角函数值与其和角 + 的三
角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.
1
1 终边
− 终边
(1,0)
新知探索
连接1 1 ，.若把扇形绕着点旋转β角，则点，分别与点1 ，1 重合.根据
圆的旋转对称性可知，与
1 1 重合，从而 = 1 1 ，所以 = 1 1 .
注：1 (, ), 1 (, ), (( − ), ( − )).
=
−−
+−
2
2
× −
× −
=
−
= −
4
5
2
2
3
5
× (− ) =
× −
=
7 2
10
例析
4
4
思考6：由以上解答可以看到，在本题条件下有( − ) = ( + ).那么对于
任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
高考数学一轮复习 6.1 两角和、差的正弦、余弦、正切课件 新课标
1.两角和、差的 正弦、余弦、正切
知识归纳 （一）两角和与差公式
si n si c n o cs s ois n
c o c sc o o s ss i s n in
tan1tata n n ttaan nos
c 2 o c 2 s o s 2 s i 2 n c 2o 1 1 s 2 s 2 i
题型一:公式的直接应用
例1、（1）计算 （2）（10全国）设si
的值；
n555
(0, )
,若
s
in
3,
2
5
则 2cos() =（ ）
4
A． 7 B． 1 C． 7 D．4
5
5
2
练习1 计算(tan10°－ )·sin40°.
题型二:公式的变形应用
例2、已知 ta tn a n ta t an n tan4 3,
且 co s0, 求 sin3
练习2 求值： ( 1 t1 a 0 )1 n ( t2 a 0 ) n ( 1 t4 a 0 )1 4 n ( t4 a 0 )
题型三:角的变换
例3、设 co s 1,si n 2,
2 9 2 3
,0,
2
2
求 co s.
题型四:方程的思想
例4、已知 ,, (0,)
2
si s ni s ni,c n o cs o cs o
求
的值；
小结
在运用公式时，要注意公式成立的 条件，熟练掌握公式的顺用、逆用、变 形用，还要注意各种的做题技巧。
作业: 1
2. p49 7
tan212ttaann2
（三）合一变形公式
误区警示
1．本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟 悉公式的来龙去脉，这样才能准确地应用公 式．特别是公式中的“＋”，“－”号要熟记， 二倍角的余弦也是易记混的地方，还要注意公 式的逆用、变形运用．
知识归纳 （一）两角和与差公式
si n si c n o cs s ois n
c o c sc o o s ss i s n in
tan1tata n n ttaan nos
c 2 o c 2 s o s 2 s i 2 n c 2o 1 1 s 2 s 2 i
题型一:公式的直接应用
例1、（1）计算 （2）（10全国）设si
的值；
n555
(0, )
,若
s
in
3,
2
5
则 2cos() =（ ）
4
A． 7 B． 1 C． 7 D．4
5
5
2
练习1 计算(tan10°－ )·sin40°.
题型二:公式的变形应用
例2、已知 ta tn a n ta t an n tan4 3,
且 co s0, 求 sin3
练习2 求值： ( 1 t1 a 0 )1 n ( t2 a 0 ) n ( 1 t4 a 0 )1 4 n ( t4 a 0 )
题型三:角的变换
例3、设 co s 1,si n 2,
2 9 2 3
,0,
2
2
求 co s.
题型四:方程的思想
例4、已知 ,, (0,)
2
si s ni s ni,c n o cs o cs o
求
的值；
小结
在运用公式时，要注意公式成立的 条件，熟练掌握公式的顺用、逆用、变 形用，还要注意各种的做题技巧。
作业: 1
2. p49 7
tan212ttaann2
（三）合一变形公式
误区警示
1．本节公式较多，要把握好公式的结构特征，熟 悉公式的来龙去脉，这样才能准确地应用公 式．特别是公式中的“＋”，“－”号要熟记， 二倍角的余弦也是易记混的地方，还要注意公 式的逆用、变形运用．
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
人教A版高中数学必修一 《三角恒等变换》三角函数(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
30
当堂达标 固双基
31
1．思考辨析 (1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ都成立．( ) (3)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
3.熟悉两角和与差的正切公式的常 素养.
见变形，并能灵活应用．(难点)
2
自主预习 探新知
3
两角和与差的正切公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切 T(α＋β)
tan(α＋β)＝1t_－a_n_t_αa_n＋_α_t_taa_nn_β_β α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
两角差 T(α－β)
的正切
tan(α－β)＝1t_＋a_n_t_αa_n－_α_t_taa_nn_β_β α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
4
1．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α
C [∵tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( ) ＝4，且 tan α＋tan β＝2，
A．2
B．1
∴1－tan2αtan β＝4，解得 tan αtan
C.12
D．4
β＝12.]
5
2．求值：tan1112π＝________.
－2＋ 3Biblioteka [tan11π 12
＝－tan
π 12
＝
－tanπ4－π6
当堂达标 固双基
31
1．思考辨析 (1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ都成立．( ) (3)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
3.熟悉两角和与差的正切公式的常 素养.
见变形，并能灵活应用．(难点)
2
自主预习 探新知
3
两角和与差的正切公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切 T(α＋β)
tan(α＋β)＝1t_－a_n_t_αa_n＋_α_t_taa_nn_β_β α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
两角差 T(α－β)
的正切
tan(α－β)＝1t_＋a_n_t_αa_n－_α_t_taa_nn_β_β α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
4
1．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α
C [∵tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( ) ＝4，且 tan α＋tan β＝2，
A．2
B．1
∴1－tan2αtan β＝4，解得 tan αtan
C.12
D．4
β＝12.]
5
2．求值：tan1112π＝________.
－2＋ 3Biblioteka [tan11π 12
＝－tan
π 12
＝
－tanπ4－π6
人教高中数学必修一A版《三角恒等变换》三角函数说课复习(两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
第五章 三角函数
化简：(1)sin θ＋sin
θ＋23π＋sin 课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
θ＋43π；
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]× 2sin280°.
解：(1)原式＝sin θ＋sin θ·cos 23π＋cos θsin 23π＋sin θcos 43π＋
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
3tan 73°tan 13°＝________．
解析：原式＝tan 73°－tan 13°－ 3tan 73°tan 13° ＝tan(73°－13°)(1＋tan 73°tan 13°)－ 3tan 73°tan 13° ＝ 3.
核心素养 逻辑推理
数学运算、 逻辑推理
第五章 三角函数
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
问题导学 预习教材 P220－P223，并思考以下问题： 1．在公式 C(α＋β)，S(α＋β)和 T(α＋β)中，若 α＝β，公式还成立吗？ 2．在上述公式中，若 α＝β，能得出什么结论？
高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第三课 )- 课件
新知探究
例1（3）在△ABC中，cos A＝4 ，tan B＝2，求tan（2A＋2B）的值． 5
又 tan B 2，所以tan2B 2 tan B 4 . 1 tan2 B 3
tan( A B) tanA tan B 11. 1 tanAtan B 2
所以tan(2A 2B) tan2A tan 2B 44 . 1 tan2Atan 2B 117
（3） tan α tan 2α 3(sin2 α cos2 α) 2sin(2α π ).
tan 2α tan α
3
证明：（1）左侧
1 2sin θ cosθ (1 1 2sin θ cosθ 2
2sin cos2 θ
2 θ) 1
2sin θ(sin θ cosθ) tan θ 右侧； 2cosθ(sin θ cosθ)
高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公 式（第 三课 ）- 课件
高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公 式（第 三课 ）- 课件
新知探究
例1（3）在△ABC中，cos A＝4 ，tan B＝2，求tan（2A＋2B）的值． 5
解：（3）解法2：在ABC中，由cosA 4，0 A π得 5
高中数学人教A版必修第一册 两角和与差的正弦、余弦和正切公 式（第 三课 ）- 课件
高中数学人教A版(必20修19第)必一修册第一 两册 角《 和与5.差5.的1 正两弦角、和余与弦差和的正正切弦公、式余（弦第和三正课切公 式）（- 第课三件课时 ）》 课件
新知探究
例2 证明：（3） tan α tan 2α 3(sin2 α cos2 α) 2sin(2α π ).
tan
人教高中数学必修一A版《三角恒等变换》三角函数说课教学课件复习(第2课时两角和与差的正弦、余弦公式)
的值为(
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
)
60°＝12.]
A．0
B．12
C．
3 2
D．cos 54°
栏目导航
2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin
B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)
35°的值是( )
2 2 sin
α－
2 2 cos
α
＝ 22×－45－ 22×－35＝－ 102.]
栏目导航
合
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
课件
作
探
究
提素养
栏目导航
给角求值问题
课件
课件
课件
课件
课件
课件
【例 1】 (1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( 课件
课件 课件
5×3课件
课件
课件
10－2
5×
5 10 5
1100＝ 102.
②cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝ 55×31010＋255× 1100＝ 22， 又因为β∈0，π2，所以β＝π4.
栏目导航
给值求值问题的解题策略 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件 课件
2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 5-4 简单的三角变换
2.
(1)求 A 的值； (2)设
π 4 30 α，β∈0， ，f4α＋ π＝－ ， 2 3 17
2 8 f4β－ π＝ ，求 3 5
cos(α＋β)的值．
【思路启迪】 换．(1)由
π f3＝
本题考查三角函数化简求值及恒等变
2可得 A 的值；(2)化简所给的已知条件，分
(2)在含有根式的三角函数式化简中要注意符号的选取， 特 别注意当角 α 的终边在直线 y＝x 的上方区域时，sin α>cos α， 角 α 的终边在直线 y＝x 在下方区域时，sin α<cos α.
3 (1)若 α∈(π，2π)，则化简 1 1 2＋2 1 1 2＋2cos 2α为________．
(对应学生用书 P85)
1．公式的常见变式 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 1－cos 2α (2)sin α＝ ， 2
2
1＋cos 2α cos α＝ . 2
2
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2,1 ＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α. (4)asin α ＋ bcos α ＝ a2＋b2 sin(α ＋ φ)( 其 中 cosφ ＝ a b b 2 2，sinφ＝ 2 2，即 tanφ＝ a)． a ＋b a ＋b
2 2 2 2
1 ＝cos β－sin α(cos β－sin β)－ cos 2α· 2β cos 2
2 2 2 2
1 ＝cos β－sin α· 2β－ 2cos 2α· 2β cos cos
高考数学一轮复习第四章三角函数5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版2
sin110°sin20°
的值为( B )
cos2 155°-sin2 155°
1
1
√3
A.-2
B.2
C. 2
π
√14
2cos2 -1
(2)已知 θ∈ 0, ,且 sin θ-cos θ=- ,则 π =(
4
4
cos 4+
2
4
3
A.
B.
C.
3
3
4
例 2(1)
√3
D.- 2
D )
3
D.
2
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
) D
1
D.2
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
3.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( D )
A.cos 2α>0
B.cos 2α<0
C.sin 2α>0
D.sin 2α<0
解析:∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D.
-6知识梳理
1
定义可得 sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+ sin
αsin β=-
2√2
3
2
+
1 2 7
=-9.
3
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
sin α＋cos α 1 (2)(2012 年江西)若 ＝ ，则 tan 2α＝ ( sin α－cos α 2 3 A．－ 4 4 C．－ 3 3 B.4 4 D. 3
)
3 【解析】 (1)∵sin α＋cos α＝ 3 ，且 α 为第二象限角， π 3π ∴α∈(2kπ＋2，2kπ＋ 4 )(k∈Z)． 3π ∴2α∈(4kπ＋π，4kπ＋ )(k∈Z)． 2 1 由(sin α＋cos α) ＝1＋sin 2α＝ ， 3
)
sin 2α 2sin αcos α 解析： 2 ＝ ＝2tan α＝6. cos α cos2α
答案：D
4． (2012 年哈三中高三月考)已知△ABC 的三个内角满足： sin A＝sin C· B，则△ABC 的形状为 cos A．正三角形 C．等腰直角三角形 B．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ( )
(
)
sin17° ＋30° －sin 17° 30° cos 解析：原式＝ cos 17° sin 17° 30° cos ＋cos 17° 30° sin －sin 17° 30° cos ＝ cos 17° 1 ＝sin 30° .故选 C. ＝ 2
答案：C
sin 2α 3．(2011 年福建)若 tan α＝3，则 2 的值等于 ( cos α A．2 C．4 B．3 D．6
β π π β ∴cos(α＋2)＝cos[(4＋α)－(4－2)] π π β π π β ＝cos( ＋α)cos( － )＋sin( ＋α)sin( － ) 4 4 2 4 4 2 1 3 2 2 6 3 4 3 5 ＝ × ＋ × ＝ ＋ ＝ 3. 3 3 3 3 9 9 9
17 【答案】 (1) 2 (2)C 50
4 答案：－ 7
应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但 逆用和变形应用则往往容易被忽视， 公式的逆用和变形应用更 能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟 悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．
(1)(2012 年大纲全国)已知 α 为第二象限角，sin α＋cos α 3 ＝ 3 ，则 cos 2α＝ 5 A．－ 3 5 C. 9 5 B．－ 9 5 D. 3 ( )
π 7 ∴cos[2(α＋ )]＝ ， 6 25 π π π ∴sin(2α＋ )＝sin[(2α＋ )－ ] 12 3 4 π π π π ＝sin(2α＋3)cos 4－cos(2α＋3)sin 4 π π π π ＝sin[2(α＋6)]cos4－cos[2(α＋6)]sin 4 24 2 7 2 17 ＝ × － × ＝ 2. 25 2 25 2 50
解析： ∵sin A＝sin C· B cos
∴sin(B＋C)＝sin C· B， cos ∴
sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin C· B，sin Bcos C＝0，∴cos C cos ＝0，∴∠C＝90° ，∴为直角三角形，故选 B.
答案：B
5．(2012 年四川)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE＝1，连接 EC，ED，则 sin∠CED＝ ( 3 10 A. 10 5 C. 10 10 B. 10 5 D. 15 )
π π (2)0<α<2，－2<β<0 π π 3 π 1 4<4＋α<4π，cos(4＋α)＝3 π 2 2 sin( ＋α)＝ 4 3 π β β π π π β π － < <0,0<－ < ， < － < 4 2 2 4 4 4 2 2 π β 3 π β 6 cos(4－2)＝ 3 ，sin( 4－2)＝ 3
考纲要求 1.会用向量的数量积 推导出两角差的余弦 公式． 2．能利用两角差的余 弦公式导出两角差的 正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余 弦公式导出两角和的 正弦、余弦、正切公 式，导出二倍角的正 弦、余弦、正切公 式，了解它们的内在 联系.
考情分析 通过对近三年高考试题的分析可以看出，对 本部分内容的考查，各种题型均可能出现， 一般是基础题，难度不会太大，整个命题过 程主要侧重以两角和与差的三角函数公式为 基础，求三角函数的值或化简三角函数 式．解答此类问题往往与两角和差的三角公 式二倍角及同角的三角函数关系式有关，但 这类题目考查的重心是两角和与差的三角函 数公式，如2012年江西卷4、广东卷16等． 预测：2013年高考仍将坚持对三角恒等变换 在角的变换、角的范围方面进行考查，对于 两角和差、二倍角公式将重点考查．难度为 中低档题.
(2)原式＝tan(25° ＋35° )(1－tan 25°tan 35° · )＋ 3tan 25°tan · 35° ＝tan 60° －tan 60°tan 25°tan 35° 3tan 25°tan 35° 3. · · ＋ · ＝
4 答案：(1) 3 4＋3 3 10 (2) 3
1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用 “已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个 “已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系， 然后应用诱导公式把“所求角” 变成“已知角”．
1 2× 2tan α 2 4 解析：(1)tan 2α＝ ＝ . 2 ＝ 12 3 1－tan α 1－2 π 4 π ∵α∈(0， )，2α∈(0，π)，tan 2α＝ >0，∴2α∈(0， )， 2 3 2 4 3 ∴sin 2α＝ 5，cos 2α＝ 5， π π π ∴sin(2α＋ )＝sin 2α· ＋cos 2α· cos sin 3 3 3 4 1 3 3 4＋3 3 ＝ × ＋ × ＝ . 5 2 5 2 10
解析：因为四边形 ABCD 是正方形，且 AE＝AD＝1，所 π 以∠AED＝4.在 Rt△EBC 中，EB＝2，BC＝1， 5 2 5 所以 sin∠BEC＝ 5 ，cos ∠BEC＝ 5 . π sin∠CED＝sin( －∠BEC) 4 2 2 22 5 5 10 ＝ 2 cos∠BEC－ 2 sin∠BEC＝ 2 ( 5 － 5 )＝ 10 .
答案：B
6．已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan 2α 等于 ________．
解 析 ： tan
2α ＝ tan[(α ＋ β) ＋ (α － β)] ＝
tanα＋β＋tanα－β 3＋5 8 4 ＝ ＝ ＝－7. 1－tanα＋β· tanα－β 1－3×5 －14
2
2 ∴sin 2α＝－ 3，∴cos 2α＝－
22 1－－3 ＝－
5 3.
sin α＋cos α tan α＋1 1 (2)∵ ＝ ＝2， sin α－cos α tan α－1 2tan α 3 ∴tan α＝－3，∴tan 2α＝ 2 ＝ ，故选 B. 1－tan α 4
【答案】 (1)A (2)B
2．常见的配角技巧 α＋β α－β 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝ 2 － 2 ，α α＋β α－β α－β β α ＝ 2 ＋ 2 ， 2 ＝(α＋2)－(2＋β)等．
π 4 (1)(2012 年江苏)设 α 为锐角，若 cos(α＋6)＝5，则 sin(2α π ＋12)的值为________． π π π 1 π (2)(2011 年浙江)若 0<α< ，－ <β<0，cos( ＋α)＝ ，cos( 2 2 4 3 4 β 3 β －2)＝ 3 ，则 cos(α＋2)＝ 3 A. 3 5 3 C. 9 3 B．－ 3 6 D．－ 9 ( )
本例中充分展示了用已知角来表示未知角． π π π β π π β 在(1)中 2α＋ ＝2(α＋ )－ .(2)中 α＋ ＝( ＋α)－( － )， 6 6 4 2 4 4 2 挖掘出这层关系本题迎刃而解， 否则若根据已知条件求单角 α、 β 的三角函数值则不易求解．
(1)(2011 年辽宁)设 7 A．－ 9 1 C. 9 (2)已知 则
(
Hale Waihona Puke )解析：原式＝cos 43° cos(90° －13° )＋sin 43° cos(180° －13° ) ＝cos 43° 13° sin －sin 43° 13° cos 1 ＝sin(13° －43° )＝－sin 30° ＝－2.
答案：B
sin 47° －sin 17° 30° cos 2．(2012 年重庆) ＝ cos 17° 3 A．－ 2 1 C.2 1 B．－ 2 3 D. 2
1．两角和与差的三角函数公式 sin(α± β)＝ sin αcosβ±cos αsin β cos(α± β)＝ cos αcos β∓sin αsin β
tan α± β tan 1∓tan αtan β
； ；
tan(α± β)＝
.
其变形为： tan α＋tan β＝ tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan αtan β) ； ；
【解析】
π 4 (1)∵α 为锐角，cos(α＋ )＝ ， 6 5
π 3 ∴sin(α＋ )＝ ， 6 5 π π π 3 4 24 ∴sin[2(α＋ )]＝2sin(α＋ )cos(α＋ )＝2× × ＝ ，且 6 6 6 5 5 25 π π π 0<α＋6<4，故 0<α<12， π π π π ∴2(α＋6)＝2α＋3∈(3，2)，
本例(1)中由 sin α＋cos α>0 且 α 为第二象限角可知|sin π 3 α|>|cos α|，∴α∈(2kπ＋2，2kπ＋2π)(k∈Z)，从而确定了 2α 所 在象限．(2)中由已知条件可求 tan α，从而利用二倍角公式求 tan 2α.
π 1 π (1)已知 α∈(0，2)，tan α＝2，求 tan 2α 和 sin(2α＋3)的值． (2)tan 25° ＋tan 35° 3tan 25°tan 35° ＋ · ＝________.