C ．a 1＋a 8< a 4＋a 5
D ． a 1a 8＝a 4a 5
4．
已知方程 (x 2－2x ＋m)( x 2－2x ＋n)＝0 的四个根组成一个首项为 1 的等差数列， 则
m －n 等于 ( ) A ．
B ．
3
4
C ．
1
2
D ．
5．
A ．
81 ．120 ．168 ．192
6．
若数列 {a n } 是等差数列，首项 a 1>0， a 2 003＋ a 2 004 > 0，a 2 003·a 2 004< 0， 则使前 n 项
9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则
a2 a1 b
2的值是( ) ．
A．
1B．－1C．－1或1D．1
22224
10．在等差数列{a n} 中，a n≠ 0，a n－1－
a n2＋a n＋1＝0(n≥2) ，若S2n－1＝38，则n ＝( )
A．38B．20C．10D．9
二、填空题
11．设f(x)＝x1，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(－2x2 5) ＋f ( －4) ＋?＋f (0) ＋?＋f (5) ＋f(6) 的值为.
12．已知等比数列{ a n}中，
(1) 若a3·a4· a5＝8，则a2·a3·a4·a5· a6＝．
(2) 若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．
(3) 若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.
13．在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积32为．
14．在等差数列{ a n}中，3( a3＋a5) ＋2(a7＋a10＋a13) ＝24，则此数列前13项之和为.
15．在等差数列{a n} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋?＋a10＝.
16．设平面内有n 条直线(n≥3) ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 f ( n)表示这n条直线交点的个数，则f(4) ＝；当n>4时，
f (n) ＝．
三、解答题
17．(1) 已知数列{ a n}的前n项和S n＝3n2－2n，求证数列{a n}成等差数列.
(2) 已知1，1，1成等差数列，求证 b c a b c a c a， a b也成等差数列. bc
18．设｛ a n｝是公比为q 的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．
(1) 求q 的值；
(2) 设｛ b n｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n 的大小，并说明理由．
19．数列{a n} 的前n 项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝n 2 S n（ n＝1，2，
3?）．n
求证：数列{ Sn } 是等比数列．
n
20．已知数列{ a n}是首项为 a 且公比不等于1 的等比数列，S n为其前n 项和，a1，2a7，
3a4 成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.
、选择题
1．C
解析：由题设，代入通项公式 a n ＝a 1＋（n －1）d ，即2 005＝1＋ 3（ n －1） ，∴n ＝ 699．
2．C
解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力． 设等比数列 { a n }的公比为 q （ q >0） ，由题意得 a 1＋a 2＋a 3＝21， 22
即 a 1（1 ＋q ＋q 2） ＝21，又 a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7． 解得 q ＝2 或 q ＝－3（ 不合题意，舍去 ），
2 2 2
∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q （1＋q ＋q ） ＝3×2×7＝84．
3．B ．
解析：由 a 1＋a 8＝ a 4＋a 5，∴排除 C ．
2
又 a 1·a 8＝a 1（a 1＋7d ）＝a 1 ＋ 7a 1d ，
∴a 4·a 5＝（a 1＋3d ）（ a 1＋4d ） ＝ a 12＋7a 1d ＋12d 2>a 1·a 8．
4．C
解析：
解法 1：设 a 1＝ 1 ，a 2＝ 1 ＋ d ，a 3＝ 1 ＋2d ，a 4＝ 1 ＋ 3d ，而方程 x －2x ＋m ＝
0 中两 4 4 4 4
根之和为 2，x 2－2x ＋n ＝0 中两根之和也为 2，
∴a 1＋a 2＋a 3＋ a 4＝1＋6d ＝ 4，
∴d ＝2
1，a 1＝ 14
，a 4＝ 74
是一个方程的两个根，
根．
第二章 数列 参考答案
a 1＝ 34
，a 3＝ 4
5是另一个方程的两个
>0，
2 ∴ 7 ， 15 分别为 m 或 n ，
16 16 ∴｜ m －
n ｜＝ 1 ，故
选 C ．
2
解法 2：设方程的四个根为 x 1， x 2，x 3，x 4，且 x 1＋x 2＝ x 3＋x 4＝2，x 1· x 2＝m ， x 3·x 4
由等差数列的性质：若 ＋s ＝p ＋q ，则 a ＋a s ＝a p ＋a q ，若设 x 1 为第一项， x 2必为第 1
m －n ｜＝ ．
2
5．B
解析：∵ a 2＝9，a 5＝243， a5 ＝ q ＝ 243 ＝27，
a 2
9
∴ q ＝ 3， a 1q ＝ 9， a 1 ＝ 3， ∴ S 4＝ 3－3 ＝ 240 ＝120． 1－3
2
6．B
解析：
解法 1：由 a 2 003＋ a 2 004>0，a 2 003 · a 2 004 <0，知 a 2 003和 a 2 004 两项中有一正数一负数， 又 a 1>0，则公差为负数，否则各项总为正数，故 a 2 003 >a 2 004，即 a 2 003 >0， a 2 004 <0.
故4 006 为S n >0的最大自然数 . 选 B ．
＝n ．
四项，则 x 2＝ 7 ，于是可得等差数列为
357
∴m ＝ 7 ， 16
n ＝ 15
，
16
，
S 4 006＝
4 006( a 1＋a 4 006)
2
4 006( a 2 003＋ a 2 004
S 4 007＝ 4 007
2
(a 1 ＋ a 4 007) ＝
4 007 2
2a 2 004 < 0，
解法 2：由 a 1>0，a 2 003 ＋a 2 004> 0， a 2 003 ·a 2 004< 解法 1 的分析得 a 2 003 >0，a 2 004< 0，
∴S 2 003 为 S n 中的最大值．
∵S n 是关于 n 的二次函数，如草图所示， ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距 ∴ 4 007 在对称轴的右侧．
2
根据已知条件及图象的对称性可得 4 006在图象中右侧零点 B 的左侧，4 007，4
008
都在其右侧， S n >0 的最大自然数是 4 006 ．
7．B
解析：∵ {a n } 是等差数列，∴ a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6， 又由 a 1， a 3，a 4成等比数列，
∴（ a 1＋4） ＝ a 1（ a 1＋ 6） ，解得 a 1＝－ 8，
∴a 2＝－8＋2＝－ 6．
解析：设 d 和 q 分别为公差和公比，则－ 4＝－ 1＋3d 且－ 4＝（－1）q ， ∴d ＝－ 1，q ＝2，
a 2 a 1
d 1
∴ ＝ ＝ ．
b 2
q 2 2
10．C
解析：∵ {a n } 为等差数列，∴ a n 2 ＝a n －1＋a n ＋1，∴ a n 2 ＝2a n ，
0，同
离小，
A
．
析
8
解
)
9
a
a 1
9
S 5
∴选 A ．
a a
) 5
a
2 1
1
＝
5
∴a 17＋a 18＋a 19＋ a 20＝S 4q ＝32．
又 a n ≠0，∴a n ＝2，｛ a n ｝为常数数列，
设S ＝f(－5)＋f(－4)＋?＋f(0) ＋?＋ f (5) ＋f(6) ， 则S ＝f(6) ＋f(5) ＋?＋ f (0) ＋?＋f(－4)＋f(－5)，
∴2S ＝[f(6) ＋f(－5)] ＋[f(5) ＋f(－4)] ＋?＋ [ f ( －5) ＋f (6)] ＝6 2 ， ∴S ＝f(－5)＋
f(－4)＋?＋f(0) ＋?＋ f (5) ＋f(6) ＝3 2 ． 12．(1)32；(2)4；(3)32．
解析：(1)由 a 3·a 5＝ a 42 ，得 a 4＝2， ∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ a 54 ＝32．
a 1 a 2 324
2
（a 1 a 2 ）q 2 36
∴a 5＋a 6＝（ a 1＋a 2） q 4＝4．
S 4＝a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＝2
4 （3）
4 q
＝2 ，
S 8
＝
a 1＋ a 2
＋ ＋
a 8＝ S 4＋
S 4q
而
a n ＝ S 2n 1 2n 1 ，即 2n －1＝ 38 ＝
19，
∴n ＝10． 、填空题
11．3 2 ．
解析：∵ f ( x)＝
1
，
2x
2
，
∴f （1－x ）＝2
1x
1
2
2x
2
，
2 2x
，
1
2 2 2 2 2 x
1
21 ∴f （x ）＋f （1－x ）＝
1
x ＋ 2
x ＝ x
2 2x
2 2 x
2 2 x
2
x 1
2
（ 2 2x ）
2 2
x
＝2
2)
2 q 2
13．216．
∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q ＝32．
f （5） ＝f （4） ＋4＝2＋ 3＋4＝9， 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数 必与8 ， 27同号，由等比中项的中间数为 8 27 ＝6， 插入的三个数之积为 8×27×6
3 2
3 2 3 2
＝216．
14．26．
解析：∵ a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋ a 13＝2a 10， ∴6（ a 4＋a 10） ＝ 24，a 4＋a 10＝4，
S 13（ a 1
＋a 13） 13（ a 4＋a 10） 13 4 ∴ S 13＝ ＝ ＝ ＝ 26．
2 2 2
15．－49．
解析：∵ d ＝ a 6－a 5＝－ 5， ∴ a 4＋ a 5＋?＋ a 10 ＝
7（a 4＋ a 10 ） ＝
2
＝ 7（a 5－ d ＋ a 5＋5d ）
＝
2
＝7（ a 5＋ 2d ） ＝－49．
16．5，1（n ＋1）（ n －2）．
2 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定
与前面已
有的每条直线都相交，∴ f （k ）＝f （k －1）＋（k －1）．
由 f （3） ＝ 2，
f （4） ＝f （3） ＋3＝2＋ 3＝5，
f （n ）＝f （n －1）＋（n －1），
相加得 f （ n）＝2＋3＋4＋?＋（ n－1）＝1（ n＋1）（ n－2）．
2
三、解答题
17．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2 项开始每项与其前一项差为常数．
证明：（1）n＝1 时，a1＝S1＝3－2＝1，
22
当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝3n2－2n－［3（ n－1）2－2（n－1）］＝6n－5，
n＝1 时，亦满足，∴ a n＝6n－5（n∈N*）．
首项a1＝1，a n－a n－1＝6n－5－［6（ n－1）－5］＝6（常数）（ n∈N*），
∴数列{ a n} 成等差数列且a1＝1，公差为6．
（2）∵ 1，1，1成等差数列，
a b c
∴ 2＝1＋1化简得2ac＝b（ a＋c）．
bac
2 2 2 2 2 2 b＋c a＋b bc＋c ＋a ＋ab b（a＋c）＋a ＋c （ a＋c）（a＋
c）a＋c
＋＝＝＝＝＝2·，
a c ac ac ac b（a＋c）b
2 ∴b＋c，c＋a，a＋b也
成等差数列．
a b c
2
18．解：（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，
2
∵a1≠0，∴ 2q －q－1＝0，
∴q＝1或－1．
2
2
（2）若q＝1，则S n＝2n＋n（ n－1）＝n ＋3n．
22
当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝（ n－1）（ n＋2）>0，故S n>b n．
2
2
若q＝－1，则S n＝2n＋n（ n－1）（－1）＝－n ＋9n．
2 2 2 4
当n≥2时，S n－b n＝S n－1＝（ n－1）（ 10－n），
4
故对于 n ∈N +，当 2≤n ≤9 时，S n >b n ；当 n ＝10 时， S n ＝b n ；当 n ≥11 时，S n
19．证明：∵ a n ＋1＝ S n ＋1－S n ，a n ＋1＝ n ＋
2 S n ， n
∴（n ＋2）S n ＝n （S n ＋1－S n ） ，整理得 nS n ＋1＝2（n ＋1） S n ，
故{ Sn } 是以 2 为公比的等比数列． n
20．证明：由 a 1，2a 7，3a 4 成等差数列，得 4a 7＝a 1＋3a 4，即 4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3，
33
变形得 （4 q 3＋1）（ q 3－1） ＝0， ∴q 3＝－ 1 或 q 3＝1（ 舍） ．
4 a 1(1 q 6)
3 由
S 6 ＝ 1 q
＝
1 q 3 ＝ 1
；
由 ＝ 3 ＝ ＝ ；
12S 3
12a 1(1 q 3)
12 16
1q
a 1(1 q 12)
S12 S6 ＝ S12 －1＝ 1 q 6 －1＝1＋q 6－1＝ 1 ； S 6 S 6 a 1(1 q 6) 16 1q
∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．
所以
S n ＋1
n ＋1
2S n n
S
6 得6
12S 3
S
12 S
6
S 6
