高三数学导数专题例题及知识点总结-参考模板
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
高三导数经典例题
导数经典例题1导数的概念， 2导数的几何意义， 3物理意义,4几种常见函数的导数5两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，6利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）0(3)()lim 2h f a h f a h h→+--； （2）20()()lim h f a h f a h →+-例3．（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。
例4． 求下列函数单调区间 （1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）22ln y x x =-例5．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<- ),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x例6．求满足条件的a（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数 （2）使a ax x y ++=3为R 上增函数 （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数例7．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷，理工农医类19）） 设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.例8．已知抛物线42-=x y 与直线y=x+2相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的切线分别为1l 和2l 。
（1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线1l 与2l 的夹角。
例9．（2001年天津卷）设0>a ，xx e a a e x f +=)(是R 上的偶函数。
（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数例10．（2000年全国、天津卷）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a 。
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版导数与三角函数的问题在近几年的高考数学试题中频繁出现，主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数围、隐零点问题及零点存在性赋值理论。
这些问题的形式逐渐多样化、综合化。
一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数$f(x)=\sin x-\ln(1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数。
证明：1）$f'(x)$在区间$(-1,)$存在唯一极大值点；2）$f(x)$有且仅有2个零点。
解析】（1）设$g(x)=f'(x)$，则$g(x)=\cos x-\frac{1}{1+x}$，$g'(x)=-\sin x+\frac{1}{(1+x)^2}$。
当$x\in(-1,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)$单调递减，而$g'(0)>0$，$g'(\frac{\pi}{2})<0$，可得$g'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$有唯一零点，设为$\alpha$。
则当$x\in(-1,\alpha)$时，$g'(x)>0$；当$x\in(\alpha,\frac{\pi}{2})$时，$g'(x)<0$。
所以$g(x)$在$(-1,\alpha)$单调递增，在$(\alpha,\frac{\pi}{2})$单调递减，故$g(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点，即$f'(x)$在$(-1,\frac{\pi}{2})$存在唯一极大值点。
2）$f(x)$的定义域为$(-1,+\infty)$。
i) 由(1)知，$f'(x)$在$(-1,0)$单调递增，而$f'(0)=0$，所以当$x\in(-1,0)$时，$f'(x)<0$，故$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，又$f(0)=0$，从而$x=0$是$f(x)$在$(-1,0]$的唯一零点。
高中数学导数经典20题附解析
导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >）， 当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立， 由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点． 综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥， 即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立． 设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）． （1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减 极小 增 所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>， 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−， 因为2e 1e 1+−e 1>−， 所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−． 【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >） 故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=， 令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >）， 令()g x =2ln x x x −， 则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−， 令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′， 故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=， 故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）． （1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值． 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可． 【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解． 所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−， 由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减， 所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++． 由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−， 所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立， 所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞， 当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”， 所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立， 由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增， 所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ， 只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立． 综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在 上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在 上单调递减，在 +∞上单调递增． （2） 对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=． 当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+， 设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出． （2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）． （1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=， 令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<， 当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减． （2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增， 当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减， 不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+， 令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减， 即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立， 所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立， 因为1y x x=+在(]1,2上单调递增， 所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数． （1）求函数()f x y x=的单调区间； （2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间； （2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤， 再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<． 综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2． （2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x m mg x f x x x x x=−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−， 则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数； 当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间． （2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥． 【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−， 当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−， 由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<， 当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程． （2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可． 【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=． 即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ， 可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<， 当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<； （3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−， 由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >． 即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞； （2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<． 由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减， 可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=， 当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=， 即有ln 1x x x >−，则原不等式成立； （3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−， 由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<； 即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减； 又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证； 即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−． （1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−． 当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点， 当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增， 又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<， 故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x ′<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ， 由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a． 故当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =， 当1n =时，114T =， 当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ， 所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <． 【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >）， 当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增； 当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增； （2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+． 则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=， 消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点． 若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3． 综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）． （1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值； （2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =， 问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点， 当22e a >即e a >时，有2个交点， 当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明． 【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=， 当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞递增； （2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈， 则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−， 故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=， 又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间； （2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >）， 令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <， 又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意， 综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）． （1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点； （2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增， 故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意； 当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减， 故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在 递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=， 故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
(完整版)高中数学导数知识点归纳总结
高中导数知识点归纳一、基本概念1. 导数的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。
()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-3．基本常见函数的导数:①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())((''x Cf x Cf =(C 为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦。
高三数学导数及其应用多选题知识归纳总结附解析
高三数学导数及其应用多选题知识归纳总结附解析一、导数及其应用多选题1．已知偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式中不成立的是（ ）A34f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()04f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭ D．63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABC 【分析】 构造函数()()cos f x g x x =，结合导数和对称性可知()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，即可得23643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而可判断ABD 选项，由()04g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭可判断C 选项.【详解】因为偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>， 所以构造函数()()cos f x g x x =，则()()2cos sin ()0cos f x x f x x g x x'+'=>， ∴()g x 为偶函数且在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，32333cos 3f g g f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4444cos 4f g g πππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，666cos 6f g f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数单调性可知643g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 对于AB，4343f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝，故AB 错误； 对于C ，()04g g π⎛⎫<⎪⎝⎭，()044f ππ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 263f fππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对应的新函数()()cos f x g x x=，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于较难题.2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．sin 2x >D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()h x =的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.3．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】 用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.4．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.5．已知()2sin x f x x x π=--.（ ）A ．()f x 的零点个数为4B ．()f x 的极值点个数为3C ．x 轴为曲线()y f x =的切线D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=【答案】BC 【分析】首先根据()0f x '=得到21cos xx π-=，分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】()21cos xf x x π'=--，令()0f x '=，得到21cos xx π-=.分别画出21xy π=-和cos y x =的图像，如图所示：由图知：21cos xx π-=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，2π，π.所以(),0x ∈-∞，()21cos 0xf x x π'=-->，()f x 为增函数，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，(),x π∈+∞，()21cos 0xf x x π'=--<，()f x 为减函数.所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2x π=时，()f x 取得极小值为14π-，当x π=时，()f x 取得极大值为0，所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202x x π<<<，且()()12f x f x =，显然122x x π+<，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.6．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0xf x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()x xF x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()xx x x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值，又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()x x F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e ππ⎛⎫≤=⎪⎝⎭，当(),x π∈-+∞时，344()2e F x e π≤≤，所以当3412e a π-<-，即34a e π>时， ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当341e a π-=时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.7．设函数()ln xf x x=，()ln g x x x =，下列命题，正确的是（ ）A ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减B ．不等关系33e e ππππ<<<成立C ．若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，则1a ≥D ．若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点，则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误；由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系，可判断B 选项的正误；分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围，可判断C 选项的正误；分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根，数形结合求出m 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x-'=. 由()0f x '>，可得0x e <<，由()0f x '>，可得x e >.所以，函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减，且4e π>>， 所以，()()4f f π>，即ln ln 44ππ>，又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>， 所以，ln ln 4143ππ>>，整理可得3e ππ>，B 选项错误； 对于C 选项，若120x x <<时，总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立，可得()()22112222g x ax g x ax ->-，构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-，则()()12s x s x >，即函数()s x 为()0,∞+上的减函数，()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()1ln x t x x +=，其中0x >，()2ln xt x x'=-. 当01x <<时，()0t x '>，此时函数()t x 单调递增； 当1x >时，()0t x '<，此时函数()t x 单调递减.所以，()()max 11t x t ==，1a ∴≥，C 选项正确；对于D 选项，()()22ln h x g x mx x x mx =-=-，则()1ln 2h x x mx '=+-，由于函数()h x 有两个极值点，令()0h x '=，可得1ln 2xm x+=， 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点， 当1x e>时，()0t x >，如下图所示：当021m <<时，即当102m <<时，函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以，实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-.所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
高三数学导数及其应用多选题知识点总结含答案
高三数学导数及其应用多选题知识点总结含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()xf x e =，()1ln22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A 、B 两点，则（ ）A ．AB 的最小值为2ln2+B ．m ∃使得曲线()f x 在A 处的切线平行于曲线()g x 在B 处的切线C ．函数()()f x g x m -+至少存在一个零点D ．m ∃使得曲线()f x 在点A 处的切线也是曲线()g x 的切线 【答案】ABD 【分析】求出A 、B 两点的坐标，得出AB 关于m 的函数表达式，利用导数求出AB 的最小值，即可判断出A 选项的正误；解方程()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误.进而得出结论. 【详解】令()xf x e m ==，得ln x m =，令()1ln22x g x m =+=，得122m x e -=， 则点()ln ,A m m 、122,m B e m -⎛⎫⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，122ln m AB e m -=-，其中0m >，令()122ln m h m em -=-，则()1212m h m em-'=-，则函数()y h m '=单调递增，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当102m <<时，0h m，当12m >时，0h m.所以，函数()122ln m h m e m -=-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， 所以，min 112ln 2ln 222AB h ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭，A 选项正确； ()x f x e =，()1ln 22x g x =+，则()x f x e '=，()1g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1212122m m g e e --⎛⎫'= ⎪⎝⎭，令()12ln 2m f m g e -⎛⎫''= ⎪⎝⎭，即1212m m e -=，即1221m me -=， 则12m =满足方程1221m me -=，所以，m ∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1ln22xx F x f x g x m e m =-+=-+-，可得()1x F x e x'=-， 函数()1xF x e x '=-在()0,∞+上为增函数，由于120F e ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()110F e -'=>，则存在1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()10t F t e t '=-=，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>.()()min 1111ln ln ln 2ln 22222t t t F x F t e m e t m t m t ∴==-+-=-++-=+++-13ln 2ln 2022m m >+-=++>，所以，函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项错误；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()(),C n g n ， 则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln ln my m ex m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以，()111ln ln 22m nn m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln 202m m m --++=，令()()11ln ln 22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x-'=--=-， 函数()y G x '=在()0,∞+上为减函数，()110G '=>，()12ln 202G '=-<，则存在()1,2s ∈，使得()1ln 0G s s s'=-=，且1s s e =. 当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<.所以，函数()y G x =在()2,+∞上为减函数，()5202G =>，()17820ln 202G =-<， 由零点存在定理知，函数()y G x =在()2,+∞上有零点， 即方程()11ln ln 202m m m --++=有解. 所以，m ∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线. 故选：ABD. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，属于难题.2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C．sin 2x >D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()h x =的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.3．下列不等式正确的有（ ） A 32ln 3< B ．ln eππ<C ．15215< D ．3ln 242e <【答案】CD 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()(23f f >、ff e π>、15)(4)f f >、8)()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.4．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.5．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x'=，()'f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点C ．当120x x e <<< 时，221212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32m ≥D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()g x ，再利用导数确定()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，得1212ln 10ln 2x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确2ln 1()x g x x+=， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得121ln 2x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<，故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在12e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >()g x ∴的大致图象为()g x ∴只有一个零点，故B 错．记2()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32m ∴≥． 故C 正确．2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个交点．()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得320x e -=，当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，332203()21202H x e e --⎡⎤⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0(0,)x x ∈时，322ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()x f x e x a =+-[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.7．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数()ln x f x x =，可得()21ln x f xx -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；又由函数()1x g x e -=，可得()1e 0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0201ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x y e =与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1， 明显不满足，排除D.故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.8．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【分析】 将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x x ϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>， 所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈.因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为k 为整数，所以0k ≤.故选：ABC【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。
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导数专题一、导数的基本应用（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法【例题1】已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-． 当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，和(1)+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，2b =时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 2b >时，函数()f x 在(1)-∞，和(1)b -+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增．【例题2】已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值. 解：（Ⅰ）由函数()f x 图象过点(1,6)--，得3m n -=-，……… ①由32()2f x x mx nx =++-，得2()32f x x mx n '=++，则2()()63(26)g x f x x x m x n '=+=+++；而()g x 图象关于y 轴对称，所以－26023m +=⨯，所以3m =-， 代入①得 0n =.于是2()363(2)f x x x x x '=-=-.由()0f x '>得2x >或0x <，故()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞； 由()0f x '<得02x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3(2)f x x x '=-，令()0f x '=得0x =或2x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：由此可得：当01a <<时，()f x 在(1,1)a a -+内有极大值(0)2f =-，无极小值；当1a =时，()f x 在(1,1)a a -+内无极值；当13a <<时，()f x 在(1,1)a a -+内有极小值(2)6f =-，无极大值； 当3a ≥时，()f x 在(1,1)a a -+内无极值.综上所述，当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或3a ≥时，()f x 无极值.点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平. 【例题3】已知函数2()1ln f x x a x x=-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性;(II)设a=3，求()f x 在区间[1，2e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. 解：（Ⅰ）由于/22()1a f x x x =+-,令1t x=得/2()21(0)f x t at t =-+≠① 当280a ∆=-≤，即0a <≤/()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数.② 当280a ∆=->，即a >由2210t at -+>得t <t >∴0x <或x >0x <<又由2210t at -+<t <<x <<综上,当0a <≤()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数；当a >()f x 在(-∞及)+∞上都是增函数，在是减函数. （2）当3a =时，由（1）知，()f x 在[1，2]上是减函数，在[22,]e 上是增函数.又2222(1)0,(2)23ln 20,()50f f f e e e ==-<=--> ∴函数()f x 在区间[1，2e ]上的值域为222[23ln 2, e 5]e---.点评：（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； （2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题4】已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若．()g x 的极值存在．．．．．，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……①又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……②联立①②，解得1,1b c =-=.所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+令21()34103g x x x m '=-++= 当函数有极值时，方程．．．．．．．．．．2134103x x m -++=有实数解．．．．.则4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤. ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故()g x 无极值②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x ==(),()g x gx '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值； 当1(23=x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值； 点评：（1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.（2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大. 【例题5】 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-． 因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．（Ⅱ） 由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5xx x =+-0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． 点评：（1）本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.（2）本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.（三）导数的几何意义 【例题6】设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. （Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-，当2x =时，12y =； 又()'2b f x a x =+，于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩， 故()3f x x x =-（Ⅱ）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'231y x =+知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为0016262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值6.二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理二次函数 （1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫. 【例题7】设函数329()62f x x x x a =-+-． （1）略；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.解：因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;所以 当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >. 点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.【例题8】已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=（1）若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值； （2）)(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点．．．．,并求出零点. 解：（1）设()2g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，解得1a = 又()g x 在1x =-取极小值，∴12b-=-，解得2b = ()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-，解得c m =；所以()()2g x mf x x x x==++， 设(),o oP x y ，则()22222000002m PQx y x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝⎭22020222m x x =++≥24∴=,解得m =；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由()()120my f x kx k x x =-=-++=，得()2120k x x m -++=()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2mx =-；当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，若0m >，11k m >-，()y f x kx =-有两个零点x 若0m <，11k m <-，()y f x kx =-有两个零点x 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=，即11k m =-,()y f x kx =-有一零点11x k =-点评：（1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；（2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题. 【例题9】已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间．．．[]1,1-上有零点．．．．，求a 的取值范围. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然函数在[]1,1-上没有零点.若0a ≠，令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -±=①当a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或 ()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或32a -<，综上，所求实数a 的取值范围是1a >或32a --≤. 点评：本题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题. 【例题10】已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解：（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ，即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a三次函数（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；（3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解. 【例题11】已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图．象有三个不同的交点．．．．．．．．．， 求m 的取值范围.解：（1）'22()333(),f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'()0,f x >所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞当0a >时，由'()0f x >解得x <x >'()0f x <解得x <<所以()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，单调减区间为(.（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值， 所以'2(1)3(1)30, 1.f a a -=⨯--=∴= 所以3'2()31,()33,f x x x f x x =--=-由'()0f x =解得121,1x x =-=.由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值1，在1x =处取得极小值-3.因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点， 所以m 的取值范围是(3,1)-.点评： （1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质.（二）不等式恒成立与存在解问题问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题基本方法： 通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究 【例题12】设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数. （Ⅱ）若'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.解：法一（变量转换，最值控制法）：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立.即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立设22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈，则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥. 即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤法二（变量分离法）：由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立.于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+.解得x 的取值范围是}{|20x x -≤≤. 点评：变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量x 分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用. 【例题13】已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值；（II ）求证：．．．f(x )．．．．≥． g(x)．．．．，其中x > 0． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数，于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数，于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=． 故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．点评：（1） 本题以曲线的切线问题的载体，在第一问中考查了函数最值的求法； （2） 第二问是恒成立问题的应用.两函数比较大小通过相减构造新函数运用导数知识 （三）“零点存在与分布问题”与“恒成立、存在解问题”之间的关系 （1） 研究对象的本质相同，因此解题方向一致：函数的极值或最值控制是解决这两类问题的通性通法，针对特殊类型的函数，如二次函数，又都可以用相应的函数性质进行研究； （2） 研究对象的载体不同，因此解题方法不同：前者是函数与其所对应的方程之间关系的问题，后者是函数与其所对应的不等式之间关系的问题；（3）原型问题是根本，转化命题是关键：二者都可以进一步衍生出其他形式的问题，因此往往需要先将题目所涉及的问题转化为原型问题，然后利用通性通法加以解决，在转化过程中应注意命题的等价性. 【例题14】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）略；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围.解：（2）12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数.函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=313223-+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=313223-+-m m（3）解：由题设， ))((31)131()(2122x x x x x m x x x x f ---=-++-=所以方程13122-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且0)1(3412>-+=∆m ，解得21)(21>-<m m ，舍 因为123,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以若0)1)(1(31)1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x 则0))((31)(21≥---==x x x x x x f 又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0，于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是031)1(2<-=m f ,解得3333<<-m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 综上，m 的取值范围是)33,21(四、其它形式的问题【例题15】设函数3222()1,()21,f x x ax a x g x ax x =+-+=-+其中实数0a ≠． （Ⅰ）若0a >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最小值时，记()g x 的最小值为()h a ，求()h a 的值域；（Ⅲ）若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）22()323()()3af x x ax a x x a '=+-=-+，又0a >，∴ 当3a x a x <->或时，()0f x '>；当3aa x -<<时，()0f x '<， ∴()f x 在(,)a -∞-和(,)3a +∞内是增函数，在(,)3aa -内是减函数．（Ⅱ）由题意知 3222121x ax a x ax x +-+=-+，即22[(2)]0x x a --=恰有一根（含重根）．∴ 22a -≤0，即2-≤a 2，又0a ≠，∴ [2,0)(0,2]a ∈．当0a >时，()g x 才存在最小值，∴2]a ∈． 211()()g x a x a a a=-+-，∴1(),2]h a a a a =-∈.∴()h a 的值域为2(,12-∞-． （Ⅲ）当0a >时，()f x 在(,)a -∞-和(,)3a+∞内是增函数，()g x 在1(,)a+∞内是增函数．由题意得031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得a ≥1；当0a <时，()f x 在(,)3a-∞和(,)a -+∞内是增函数，()g x 在1(,)a-∞内是增函数．由题意得02312a aa a a⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩，解得a ≤3-； 综上可知，实数a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞． 【例题16】已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点. （I ）证明：275c -<<；（II ）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围. 解：（I ）因为函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点， 所以32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.设32()39,g x x x x c =+-+则2()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+- 当3x <-时，()0,g x '> ()g x 在(,3)-∞-上为增函数； 当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数； 当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数； 所以函数()g x 在3x =-时取极大值，在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时，()0g x =最多只有两个不同实根. 因为()0g x =有三个不同实根，所以(3)0g ->且(1)0g <.即2727270c -+++>，且1390c +-+<，解得27,c >-且5,c <故275c -<<.（II ）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点.不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x . 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，则[],2a a +⊂1(]x -∞，, 或[],2a a +⊂23[,]x x ,若[],2a a +⊂1(]x -∞，，则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <- 若[],2a a +⊂23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+； 当5c =时，2()(5)(1)f x x x '=+-.因此，当275c -<<时，31 3.x << 所以3,a >-且2 3.a +≤即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时，总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减. 综上所述，a 的取值范围是(5)(3,1)-∞--，---精心整理，希望对您有所帮助。