高三数学导数专题例题及知识点总结-参考模板

导数专题

一、导数的基本应用

（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值

基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法

【例题1】已知函数2

2()(1)

x b

f x x -=

-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-3

2[(1)]

(1)

x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-． 当11b -=，即2b =时，2

()1

f x x =

-，所以函数()f x 在(1)-∞，和(1)+∞，上单调递减． 当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：

当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：

所以，2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，和(1)+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，

2b =时，函数()f x 在(1)-∞，

和(1)+∞，上单调递减． 2b >时，函数()f x 在(1)-∞，

和(1)b -+∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增．

【例题2】已知函数3

2

()2f x x mx nx =++-的图象过点(1,6)--，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.（Ⅰ）求m n 、的值及函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值. 解：（Ⅰ）由函数()f x 图象过点(1,6)--，得3m n -=-，……… ①

由32()2f x x mx nx =++-，得2()32f x x mx n '=++，则2

()()63(26)g x f x x x m x n '=+=+++；

而()g x 图象关于y 轴对称，所以－

26

023

m +=?，所以3m =-， 代入①得 0n =.于是2

()363(2)f x x x x x '=-=-.

由()0f x '>得2x >或0x <，故()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞； 由()0f x '<得02x <<，故()f x 的单调递减区间是(0,2). （Ⅱ）由（Ⅰ）得()3(2)f x x x '=-，令()0f x '=得0x =或2x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：

由此可得：当01a <<时，()f x 在(1,1)a a -+内有极大值(0)2f =-，无极小值；

当1a =时，()f x 在(1,1)a a -+内无极值；

当13a <<时，()f x 在(1,1)a a -+内有极小值(2)6f =-，无极大值； 当3a ≥时，()f x 在(1,1)a a -+内无极值.

综上所述，当01a <<时，()f x 有极大值2-，无极小值；当13a <<时，()f x 有极小值6-，无极大值；当1a =或

3a ≥时，()f x 无极值.

点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研

究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平. 【例题3】已知函数2

()1ln f x x a x x

=-+-，a ＞0， (I)讨论()f x 的单调性;

(II)设a=3，求()f x 在区间[1，2

e ]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. 解：（Ⅰ）由于/

2

2()1a f x x x =+

-,令1t x

=得/2

()21(0)f x t at t =-+≠

① 当2

80a ?=-≤，即0a <≤/

()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数.

② 当2

80a ?=->，即a >

由2

210t at -+>得t

∴0x <或x >0x <<

又由2

210t at -+

综上,当0a <≤()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数；

当a >()f x 在(-∞及)+∞上都是增函数，

在是减函数. （2）当3a =时，由（1）知，()f x 在[1，2]上是减函数，在[2

2,]e 上是增函数.

又2

2

2

2

(1)0,(2)23ln 20,()50f f f e e e ==-<=-

-> ∴函数()f x 在区间[1，2e ]上的值域为2

22[23ln 2, e 5]e

---.

点评：

（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； （2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围

基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等

【例题4】已知函数3

2

()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-. （I ）求函数()f x 的解析式； （II ）设函数1

()()3

g x f x mx =+，若．()g x 的极值存在．．．．．

，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值.

解：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=

……①

又2

()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……②

联立①②，解得1,1b c =-=.所以函数的解析式为3

2

()22f x x x x =-+-

（II ）因为3

2

1()223g x x x x mx =-+-+

令21()34103g x x x m '=-++= 当函数有极值时，方程．．．．．．．．．．2

134103

x x m -++=有实数解．．．．.则4(1)0m ?=-≥，得1m ≤. ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =

，在2

3

x =左右两侧均有()0g x '>，故()g x 无极值

②当1m <时，()0g x '=

有两个实数根1211

(2(2

x x =

=(),()g x g

x '情况如下表：

所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值； 当1(23=

x 时，()g x 有极大值；当1

(23

=x 时，()g x 有极小值； 点评：

（1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.

（2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大. 【例题5】 设a ∈R ，函数2

33)(x ax x f -=． （Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；

（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．

解：（Ⅰ）

2

()363(2)f x ax x x ax '=-=-． 因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =．

经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．

（Ⅱ） 由题设，

3222

()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，

上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得

6

5a ≤

反之，当

6

5a ≤

时，对任意[02]x ∈，

， 26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)

5

x

x x =+-0≤， 而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为

65?

?-∞ ???，． 点评：

（1）本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度.

（2）本题若用一般方法，则可求出g(0)=0，将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.

（三）导数的几何意义 【例题6】设函数()b

f x ax x

=-

，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. （Ⅰ）求()y f x =的解析式；

（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =

-，当2x =时，1

2

y =； 又()'

2b f x a x =+，于是12227

44

b a b a ?

-=????+=??，解得13a b =??=?， 故()3f x x x =-

（Ⅱ）设()00,P x y 为曲线上任一点，由'

2

3

1y x =+

知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ??-=+- ???

，即()00200331y x x x x x ????

--=+- ? ?????

令0x =，得06y x =-

，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ??

- ??

?； 令y x =，得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为

00

16

262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值6.

二、导数应用的变式与转化

（一）函数的零点存在与分布问题

问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法

特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理

二次函数 （1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方

法上的铺垫. 【例题7】设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-． （1）略；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.

解：因为 当1x <时, '

()0f x >;当12x <<时, '

()0f x <;当2x >时, '

()0f x >;

所以 当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =

-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52

a >

. 点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题.

【例题8】已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行，且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数x

x g x f )

()(=

（1）若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值； （2）)(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点．．．．,并求出零点. 解：（1）设()2

g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+；

又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴=，解得1a = 又()g x 在1x =-取极小值，∴12

b

-

=-，解得2b = ()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-，解得c m =；所以()()2g x m

f x x x x

=

=++， 设(

),o o

P x y ，则()

2

2

2

2

2000002m PQ

x y x x x ??=+-=++ ??

?22

020222m x x =++≥

24∴=,

解得m =；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由()()120m

y f x kx k x x =-=-+

+=，得()2120k x x m -++=()* 当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2

m

x =-；

当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->，

若0m >，11k m >-

，()y f x kx =-有两个零点

x 若0m <，11k m <-

，()y f x kx =-有两个零点

x 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=，即11k m =-

,()y f x kx =-有一零点1

1x k =-

点评：

（1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；

（2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和

重点问题. 【例题9】已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222

，如果函数()x f y =在区间．．．[]1,1-上有零点．．．．

，求a 的取值范围. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然函数在[]1,1-上没有零点.

若0a ≠，令 ()248382440a a a a ?=++=++=, 解得

32

a -±=

①当

a =

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点. ③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则

()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

??=++>?

?-<-

?

-≤?

解得5a ≥

或32a -<

，综上，所求实数a 的取值范围是1a >

或32

a --≤. 点评：本题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参

二次方程根的分布研究、零点存在性定理. 是原型问题和重点题. 【例题10】已知函数3

2

()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解：（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有

0)1()1(<'-'f f ，即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a

整理得：0)1)(1)(5(2

<-++a a a ，解得15-<<-a

三次函数

（1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；

（3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解. 【例题11】已知函数3

()31,0f x x ax a =--≠ （I ）求()f x 的单调区间；