幂法求解矩阵主特征值的加速方法研究

幂法求解矩阵主特征值的加速方法

摘要：本论文主要研究的是幂法求解矩阵的主特征值和特征向量。物理、力学和工程技术中有许多需要我们求矩阵的按模最大的特征值（及称为主特征值）和特征向量。幂法是计算一个矩阵的模最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。它最大的优点是方法简单，适合于大型稀疏矩阵的主特征值，但是收敛速度非常慢。所以我们要用加速的方法来加速收敛，加速方法包括原点平移加速、Rayleigh商加速和Aitken加速算法。

关键词：幂法；原点平移加速；Rayleigh商加速；Aitken加速算法

§1引言

我们来介绍矩阵特征值和特征向量的计算方法，大家知道求一个矩阵的特征值的问题实质上是求一个多项式的根的问题，而数学上已经证明5阶以上的多项式的根一般不能用有限次运算求得。因此，矩阵特征值的计算方法本质上都是迭代，而对于大型的稀疏矩阵就需要用幂法求解最简单。但是由于收敛速度非常的慢所以我们需要用加速的方法加快收敛速度而本次论文也是针对加速问题来通过对几种方法的研究讨论。并且通过算法的实现来说明那种加速算法收敛得快，哪个计算量比较节省。其实本文主要讨论的问题是一个应用中常见的一类数值计算问题。

§2 加速算法的背景

2.1幂法

幂法是计算一个矩阵的模最大特征值和对应的特征向量的一种迭代方法。它适用于大型稀疏矩阵。为了说明其基本思想我们先假设n n A C ⨯∈是可对角化的，即A 有如下分解

1A X X -=Λ

其中

()[]112,

,,,

,n n n diag X x x C λλ⨯Λ==∈

非奇异，再假定

12.n λλλ>≥

≥

现任取一向量0.n u C ∈由于X 的列向量构成n C 的一组基，故0u 可表示为

01122,n n u x x x ααα=++

+这里.i C α∈这样，我们有

02

1

11121n

k

k j j

j n

k j j j

j k

n j k

j j j A u A x x x x ααλλλααλ=====⎛⎫⎛⎫ ⎪

=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∑∑∑

由此可知 0

111

lim

.k k

k A u x αλ

→∞

=

这表明，当10α≠而且k 充分大时，向量0

1

k k k A u u λ

=

这是A 的一个很好的近似特

征向量。然而，实际计算时，这是行不通的，其原因有二：一是我们事先并不知道A 的特征值1λ；二是对充分大的k 计算k A 的工作量太大。所以找出一种工作量较小的方法，而幂法求解收敛速度很慢所以我们还要找出一种加快速度的算法。 迭代格式： 1,k k y Au -=

()(),k k k j j μζζ=是k y 的模最大分量，

,k

k k y u μ=

其中0n u C ∈是任意给定的初始向量，通常要求0 1.u ∞=

定理 2.1.1 设n n A R ⨯∈有n 个线性无关的特征向量，主特征值1λ满足

12,n λλλ>≥

≥则对任何非零初始向量()0010,v u α=≠按下面构造的向量序

列{}{},:k k u v

()0010,,1,2,,max(),,

k k k k k k k v u v Au k v v u μμ-=≠⎧⎪=⎪⎪

==⎨⎪⎪=⎪⎩

则有

(1)()

1

1lim ,max k k x u x →∞

=

(2)1lim .k k μλ→∞

=

(注：此定理证明参阅文献[5])

例1． 计算矩阵41405130102A -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

的主特征值。 用幂法求解矩阵A 的计算结果如下表

6.0000003831.λ=

2.2幂法的应用

物理，力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值问题。例如，振动问题（大型桥梁或建筑物的振动，机械振动，电磁振荡等），物理学中某些临界值得确定，这些问题都归结为求矩阵的特征值的数学问题。而幂法求解实际应用矩阵特征值是十分有效方法之一，但是收敛速度太慢，所以在实际应用中它所需要的时间非常的长，而且计算过程中所消耗的时间造成了实际问题的完成进度。因而我们需要通过用加速算法来加快收敛速度，让实际问题提前或者按时完成。为了加快幂法求解矩阵主特征值的收敛速度，让幂法更有效广泛的运用在实际应用生活中，我们现在就来认识几种加速方法，如原点平移法、Rayleigh 商加速、Aitken 加速算法、一种改进的Aitken 加速算法和一种新的改进的Aitken 加速算法并且对他们进行比较，看哪种加速方法收敛得快，哪种计算量比较节省等。下面我们就来说说这几种加速方法。

§3 常见的几种加速算法

3.1原点平移法

定理 3.1.1 设n n A C ⨯∈,p 个互不相同的特征值满足12,n λλλ>≥

≥并且模

最大特征值1λ是半单的（即1λ的几何重数等于它的代数重数）。如果初始向量0u 在1λ的特征子空间上的投影不为零，则定理（2.1.2）产生的向量序列

{}k u 收敛到1λ的一个特征向量1x ，而且由定理（2.1.2）产生的数值序列{}

k μ收敛到1λ。

（注：此定理证明参阅[1]）

由定理（2.1.1）可知幂法的收敛速度主要取决于

2

1

λλ的大小。在定