高中数学新课标人教A版高中数学知识点总结专题1函数

壹专题一函数知识点总结【知识概要】一、映射●映射：映射是两个集合A 、B 间一种特殊的对应，:f A B →表示对集合A 中的任何一个元素，在集合B 中有唯一确定的元素与之对应。

如果a A ∈，b B ∈，且元素a 和元素b 对应，那么，元素a 叫做元素b 的原像，元素b 叫做元素a 的像，记为()b f a =。

【特别提醒】：（1）映射由三要素组成，集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ，集合A 、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合。

对于A 中每一个元素，在B 中有且只有一个元素和它对应。

（2）A 中的不同元素允许对应B 中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”。

B 中的元素可以在A 中没有元素和它对应。

二、函数的概念●1. 函数的定义：如果A 、B 都是非空的数集，映射:f A B →就叫做A 到B 的函数，记作：()y f x =，x A ∈，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}|()y y f x x A =∈叫做函数的值域．如果用()f A 表示值域，则有()f A B ⊆。

通常()y f x =表示“y 是x 的函数”，简记作函数()f x 。

●2. 函数的三要素：定义域A ，对应法则f ，值域()f A 。

●3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法：（1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法；（2）换元法. 已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围；（3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出()f x 。

（4）直接法.变形后直接代换【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。

分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。

贰复合函数：如果(),()y f u u g x ==，则称函数(())y f g x =为f 和g 构成的复合函数，其中(),y f u =()u g x =分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层函数的定义域。

●4. 函数的基本性质：（1）单调性：设函数的定义域为A ，区间I A ⊆。

如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间I 上是单调减函数．区间I 叫做()f x 的单调减区间；如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间I 上是单调增函数．区间I 叫做()f x 的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。

单调性的求解方法：①定义法:取值——作差——变形——定号——判断 ②复合函数：“同增异减”（2）最大（小）值：设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）；②存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么我们称M 是函数()y f x =的最大（或小）值。

求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数法。

函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。

（3）奇偶性： 如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

奇函数的图象关于原点对称。

如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。

偶函数的图象关于y 轴对称。

奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：()()f x f x -=±()()0f x f x ⇔-±=，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶叁性。

【特别提醒】（1）若()0f x =，则()f x 既是奇函数又是偶函数，()(0)f x a a =≠，则()f x 是偶函数；若()f x 是奇函数且在0x =处有定义，则(0)0f =.（3）函数的奇偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考查的热点。

（4）周期性： 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数。

非零常数T 叫做这个函数的周期。

对于常数T ，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数()f x 的最小正周期。

【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有机组合，由性质看图象，由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。

●5. 一些有用的结论：①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

②在公共定义域内：增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；③函数(0,0)b y ax a b x=+>>的单调性：单调增区间是：(,]b a-∞-和[,)b a+∞；单调减区间是：[,0)b a-和(0,]b a。

④如果函数()y f x =对于一切x R ∈，都有()()f a x f a x +=-，那么函数()y f x =的图象关于直线x a =对称。

⑤函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =对称； 函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于坐标原点对称。

三、初等函数 ●1. 二次函数（1）二次函数的三种表示形式： ①标准式：()20y ax bx c a =++≠；肆②顶点式：()2y a x m n =-+，顶点(),m n ()0a ≠； ③零点式：()()12y a x x x x =-- ()0a ≠。

（2）二次函数的图象：图象是抛物线，其对称轴方程为2b x a=-．当0a >时，开口向上；当0a <时，开口向下。

（3）二次函数的性质①0a >时，单调递减区间(,]2b a -∞-；单调递增区间[,)2b a -+∞，2min 44ac b y a-=。

②0a <时，单调递增区间(,]2b a -∞-；单调递减区间[,)2b a -+∞，2max 44ac b y a-=。

（4）求解二次函数在限定区间上的最大（小）值要抓住四点：①图象的开口方向；②顶点；③区间与对称轴的位置关系；④区间端点函数值。

●2. 指数函数和对数函数 （1）指数和对数指 数对 数定 义 nx a =（a 叫做x 的n 次幂） log a N b =（b 叫做以a 为底N 的对数） 关系式log b a a N N b =⇔= ()0, 1 , 0a a N >≠>运算 性质r s r s a a a +⋅=()sr rs a a =()r r r ab a b =()0 , 0 , , a b r s Q >>∈()log log log a a a MN M N =+log log log a a a M M N N =-log log n a a M n M =()0 , 0 , 0 , 1M N a a >>>≠ ①根式：如果n x a =（1n >，且*n N ∈），那么x 叫做a 的n 次方根，记作n a 。

式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．根式的性质有：（i ）()n n a a =（1n >，且*n N ∈）；（ii ）当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，()(){00n n a a a a a ≥=-<。

②分数指数幂伍11（i ）m n m n a a = （ii ）1mn m na a -=（*0 , , a m n N >∈，且1n >）；（iii ）0的正分数指数幂等于0，0的负数指数幂、零指数幂没有意义。

③lg N 叫做常用对数，ln N 叫做自然对数，其底数分别为10和 2.71828e =L ④对数的换底公式及它的变形：log log ,log log (0,1,0,1,0)log n n c a a a c bb b b a ac c b a==>≠>≠>。

⑤对数恒等式：log (0,1,0)ab a b a a b =>≠>。

（2）指数函数和对数函数 指数函数 对数函数(0 , 1)x y a a a =>≠ log (0 , 1)a y x a a =>≠图 像性质①定义域：R ②值域：(0,)+∞ ③过(0, 1)点，即0x =时，1y = ④当1a >时，在R 上是增函数； 当01a <<时，在R 是减函数．①定义域：(0,)+∞ ②值域：R③过(0, 1)点，即1x =时，0y = ④当1a >时，在(0,)+∞上是增函数； 当01a <<时，在(0,)+∞是减函数．关系x y a =与log a y x =（0,1a a >≠）互为反函数，其图象关于y x =对称 ●3. 幂函数y x α=（x 是自变量，α是常数）oxy()1x y a a =>()01x y a a =<<xyo()log 1a y x a =>()log 01a y x a =<<陆四、函数与方程●1. 函数的零点：()y f x =有零点⇔()y f x =的图象与x 轴有交点⇔方程()0f x =有实根。

●2. 函数零点的存在性：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 就是方程的根． 注意：①上述判定方法中在(,)a b 内的零点不一定唯一；②逆命题不成立。

●3. 二分法求方程近似解（1）确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε； （2）求区间(,)a b 的中点1x ；（3）计算1()f x ：①若1()0f x =，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x ⋅<，则令1b x =，此时零点01(,)x a x ∈； ③若1()()0f x f b ⋅<，则令1a x =，此时零点01(,)x x b ∈。