史上最全的数列通项公式的求法13种
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史上最全的数列通项公式的求法13种(总6页)
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最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法
根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式
⎩⎨
⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2
1
11n S S n S a n n n 求解. (注意:求完后一定要考虑合并通项)
例2.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式.
②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2
1n S n n =+-,求数列{}n a 的通项公式.
③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10< 21+++=n n n a a b ,求数列 {}n b 的通项公式。 ③解析:由题意,321++++=n n n a a b ,又{}n a 是等比数列,公比为q ∴ q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2 13 21,故数列{}n b 是等比数列,)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b , ∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n 三、归纳猜想法 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律,然后正面证明。 四、累加(乘)法 对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列,我们可以根据递推公式,写出n 取1到n 时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。 例4. 若在数列{}n a 中,31=a ,n a a n n +=+1,求通项n a 。 例5. 在数列{}n a 中,11=a ,n n n a a 21=+(*N n ∈),求通项n a 。 五、取倒(对)数法 a 、r n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1,再利用待定系数法求解 b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系,可在等式两边同乘以 ,11-n n a a 先求出.,1 n n a a 再求得 c 、) ()()(1n h a n g a n f a n n n += +解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。 例6..设数列}{n a 满足,21=a ),N (3 1∈+= +n a a a n n n 求.n a 例7 设正项数列{}n a 满足11=a ,2 12-=n n a a (n ≥2).求数列{}n a 的通项公式. 解:两边取对数得:122log 21log -+=n n a a ,)1(log 21log 122+=+-n n a a ,设1log 2+=n a n b , 则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列,11log 121=+=b . 11221--=⨯=n n n b ,1221log -=+n a n ,12 log 12-=-n a n , ∴1 21 2--=n n a 变式: 1.已知数列{a n }满足:a 1=3 2 ,且a n =n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈--(,)+- 求数列{a n }的通项公式; 2、若数列的递推公式为1111 3, 2()n n a n a a +==-∈,则求这个数列的通项公式。 3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时,n n n n a a a a 112--=-,求通项公式。 4、已知数列{a n }满足:1,1 3111 =+⋅= --a a a a n n n ,求数列{a n }的通项公式。 5、若数列{a n }中,a 1=1,a 1+n =2 2+n n a a n ∈N +,求通项a n . 六、迭代法 迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算. 七、待定系数法: 1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如a 1+n =p a n +q (p ≠1,pq ≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q 分解法:设a 1+n +k=p (a n +k )与原式比较系数可得pk -k=q ,即k= 1 -p q ,从而得等比数列{a n +k}。 例9、数列{a n }满足a 1=1,a n = 2 1 a 1-n +1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式。 说明:通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解决问题的目的。 练习、1数列{a n }满足a 1=1,0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。 2、已知数列{}n a 满足11=a ,且132n n a a +=+,求n a . 2、递推式为11+++=n n n q pa a (p 、q 为常数)时,可同除1+n q ,得 111+⋅=++n n n n q a q p q a ,令n n n q a b = 从而化归为q pa a n n +=+1(p 、q 为常数)型. 、 例10.已知数列{}n a 满足11=a ,123-+=n n n a a )2(≥n ,求n a . 解:将123-+=n n n a a 两边同除n 3,得n n n n a a 32131-+=⇒1 1 33213 --+=n n n n a a 设n n n a b 3 =,则1321-+=n n b b .令)(321t b t b n n -=--⇒t b b n n 31 321+=- ⇒3=t .条件可化成)3(3 231-=--n n b b ,数列{}3-n b 是以38 33311-=-=-a b 为首项, 32为公比的等比数列.1)32 (383-⨯-=-n n b .因n n n a b 3 =, )3)3 2 (38(331+⨯-==∴-n n n n n b a ⇒2123++-=n n n a . 3、形如b an pa a n n ++=+1)001 (≠≠,a 、p 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++,与已知递推式比较,解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是 公比为p 的等比数列。 例11:设数列{}n a :)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ,求n a . 解:令 1(1)3()n n a x n y a xn y ++++=++ 化简得: 1322n n a a xn y x +=++- 所以2221x y x =⎧⎨-=-⎩ 解得1 0x y =⎧⎨ =⎩ ,所以1(1)3()n n a n a n +++=+ 又因为 115a +=,所以数列{}n a n +是以5为首项,3为公比的等比数列。 从而可得 11 53,53-n n n n a n a n --+=⨯=⨯所以 4、形如2 1n n a pa an bn c +=+++)001 (≠≠,a 、p