北邮数理方程课件 第三章 分离变量法
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（7）
其中A，B为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
（8）
由（8）得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故不可能有 。
(2)当 时，（6）式中方程的通解是
由边界条件得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故也不可能有 。
（3）当 时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
代入条件（6）中边界条件，得
比较系数
代入方程（9），导体周围的电势分布
(10)
例6长为l的理想传输线，一端接于电动势为 的交流电源，另一端开路，求解线上的稳恒电振荡．
解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，所以叫稳恒振荡．因此是没有初始条件的问题：
为了计算方便，将电动势 写成 ，最后将得到的解取虚部．
方程(4)，(6)构成本征值问题，解之
即
方程(5)可以写成
(7)
为欧拉方程．作变换 化成常系数线性微分方程，其通解为
于是得到极坐标系中Laplace方程的本征解
一般解应叠加
(8)
由边界条件(2)，有
一个Fourier级数为零，各系数为零，即
由此
于是将解化简为
(9)
再由边界条件(3)，对于 略去 及 项，即
由 得 ，由 得 ，得 ，
即 ．
由此可见，本征值为
本征函数为
将 的值代入式(4)，解得
故问题的一般解为
(7)
由边界条件 得到
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零，故
(8)
又由 得
将Ay展开成Fourier余弦级数，并比较系数有
故
(9)
从式(8)和(9)中解得
代入式(7)并整理得
(10)
例5带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是垂直的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
解：将 代入原方程及边界条件得
（1）
（2）
解(2)第一式可得
由（2）的第二式得
，
将 代入（1）并解得
由初始条件得
所以
从而
例3求解细杆的导热问题，杆长 ，两端保持零度，初始温度分布 .
解：该问题的定解问题为
（1）
令 , 代入(1)第一式可得，
（2）
（3）
由(2)得
（4）
由(1)第三式可得
，
由 得 ，
由 ， 得 ， 于是有
， ，
因此
，
将 作Fourier展开得
其中
于是
因此
例4在矩形域 内求Laplace方程
（1）
的解，使其满足边界条件
解：令 ，代入式(1)，有
（4） （5）
又由边界条件(3)得
(6)
当 时，式(5)的通解为
由式(6)有
由此得 ，即式(5)、(6)无非零解．
当 时，式(5)的通解为
由 ，得 ．
当 时，式(5)的通解为
代入式(1)并整理得到
比较两端关于 的系数，可得
(3)
(4)
(5)
再由条件(2)得
方程(4)与(5)都是齐次的欧拉方程，它们的通解分别为
其中 都是任意常数．由条件(6)与(7)可得
下面的任务就是要确定 ．
方程(3)是一个非齐次的欧拉方程，利用待定系数法可求得它的一个特解
所以，它的通解为
由条件(6)确定 ，得
由于 ，故 ，即
从而得到一系列固有值与固有函数
与这些固有值相对应的方程（3）的通解为
于是，所求定解问题的解可表示为
利用初始条件确定其中的任意常数 ，得
故所求的解为
例2演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦
长为 ，被拨开的点在弦长的 ( 为正整数)处，拨开距离为 ，试求解弦的振动，即求解定解问题
因此
原定解问题的解为
例9求解一端固定，一端作周期运动 的弦的振动问题．
解法一：令
取 (1)
则定解问题转化为
(2)
又令
其中 分别满足
(3)
(4)
由分离变量法求解式(3)，得
(5)
用固有函数法求解问题(4)，即设
其中
代入方程(4)，得
由参数变易法，得
因此
(6)
其中
原定解问题的解为
解法二：取
则原问题化为
(7)wenku.baidu.com
代入上述方程和初始条件得
即
其中
（3）
求解 式得到
（4）
将 式代入 式得
故得原定解问题的解为
即
例8在环形域 内求解下列定解问题．
解：由于求解区域式环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标系与极坐标系之间的关系
可将上述定解问题用极坐标 表示：
这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题．采用固有函数法，并注意到圆域内Laplace方程所对应的固有函数，可令问题(1)--(2)的解的形式为
解：化成定解问题，取柱轴为z轴，设导线“无限长”，那么场强和电势都与z无关，只需在x，y平面上讨论．如图3-2所示，圆柱在x，y平面的截面是圆周 作为静电场的边界，所以我们采用极坐标．柱外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程 ，化成极坐标为
(1)
边界条件：导体中的电荷不再移动，说明导体中电势相同，又因为电势具有相对意义，可以把导体的电势当作零，故
(2)
“无穷远”处也为一个边界（圆内则考虑圆心点），“无穷远”处静电场仍为匀强静电场 ，由于选取了x轴平行 ，故有
即
因此有
(3)
图3-2输电线对带电云和大地之间电场的影响
分离变量，令
代入方程(1)，得
(4)
(5)
因为极角具有周期性， 应表示一个点，同一处的u应该相同，故有
即
所以有 (6)
方程(6)称为自然周期条件．
由于振荡完全由交流电源引起，当然可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令
代入方程得
即
其通解为
故有
由 得
(1)
及
得 (2)
从式(1)，(2)中解出
带入解的表达式，得
取虚部，并以 代入，得传输线内稳恒的电振荡
例7试解出具有放射衰变的热传导方程
已知边界条件为
初始条件为
解令 ，定解问题可以化为
由于对应的齐次问题具有第一类边界条件，故令
第三章分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1例题分析
例1解下列定解问题：
（1）
解：分离变量，即令
（2）
代入方程（（1）中第一式），得
（3）
（4）
其中 为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
（5）
相应的本证值问题为求
（6）
的非零解．下面针对 的取值情况进行讨论：
（1）当 时，（6）式中方程的通解是
注意到方程和边界条件同时齐次化了．
用分离变量法解方程(7)，得
其中
原定解问题的解为
应当指出，同两种方法得到的定解问题的解在形式上不一样，但可以证明它们是等价的，这是由定解问题解的唯一性决定的．
其中A，B为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得
（8）
由（8）得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故不可能有 。
(2)当 时，（6）式中方程的通解是
由边界条件得A=B=0，得X（x）=0，为平凡解，故也不可能有 。
（3）当 时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
代入条件（6）中边界条件，得
比较系数
代入方程（9），导体周围的电势分布
(10)
例6长为l的理想传输线，一端接于电动势为 的交流电源，另一端开路，求解线上的稳恒电振荡．
解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，所以叫稳恒振荡．因此是没有初始条件的问题：
为了计算方便，将电动势 写成 ，最后将得到的解取虚部．
方程(4)，(6)构成本征值问题，解之
即
方程(5)可以写成
(7)
为欧拉方程．作变换 化成常系数线性微分方程，其通解为
于是得到极坐标系中Laplace方程的本征解
一般解应叠加
(8)
由边界条件(2)，有
一个Fourier级数为零，各系数为零，即
由此
于是将解化简为
(9)
再由边界条件(3)，对于 略去 及 项，即
由 得 ，由 得 ，得 ，
即 ．
由此可见，本征值为
本征函数为
将 的值代入式(4)，解得
故问题的一般解为
(7)
由边界条件 得到
一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零，故
(8)
又由 得
将Ay展开成Fourier余弦级数，并比较系数有
故
(9)
从式(8)和(9)中解得
代入式(7)并整理得
(10)
例5带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是垂直的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．
解：将 代入原方程及边界条件得
（1）
（2）
解(2)第一式可得
由（2）的第二式得
，
将 代入（1）并解得
由初始条件得
所以
从而
例3求解细杆的导热问题，杆长 ，两端保持零度，初始温度分布 .
解：该问题的定解问题为
（1）
令 , 代入(1)第一式可得，
（2）
（3）
由(2)得
（4）
由(1)第三式可得
，
由 得 ，
由 ， 得 ， 于是有
， ，
因此
，
将 作Fourier展开得
其中
于是
因此
例4在矩形域 内求Laplace方程
（1）
的解，使其满足边界条件
解：令 ，代入式(1)，有
（4） （5）
又由边界条件(3)得
(6)
当 时，式(5)的通解为
由式(6)有
由此得 ，即式(5)、(6)无非零解．
当 时，式(5)的通解为
由 ，得 ．
当 时，式(5)的通解为
代入式(1)并整理得到
比较两端关于 的系数，可得
(3)
(4)
(5)
再由条件(2)得
方程(4)与(5)都是齐次的欧拉方程，它们的通解分别为
其中 都是任意常数．由条件(6)与(7)可得
下面的任务就是要确定 ．
方程(3)是一个非齐次的欧拉方程，利用待定系数法可求得它的一个特解
所以，它的通解为
由条件(6)确定 ，得
由于 ，故 ，即
从而得到一系列固有值与固有函数
与这些固有值相对应的方程（3）的通解为
于是，所求定解问题的解可表示为
利用初始条件确定其中的任意常数 ，得
故所求的解为
例2演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦
长为 ，被拨开的点在弦长的 ( 为正整数)处，拨开距离为 ，试求解弦的振动，即求解定解问题
因此
原定解问题的解为
例9求解一端固定，一端作周期运动 的弦的振动问题．
解法一：令
取 (1)
则定解问题转化为
(2)
又令
其中 分别满足
(3)
(4)
由分离变量法求解式(3)，得
(5)
用固有函数法求解问题(4)，即设
其中
代入方程(4)，得
由参数变易法，得
因此
(6)
其中
原定解问题的解为
解法二：取
则原问题化为
(7)wenku.baidu.com
代入上述方程和初始条件得
即
其中
（3）
求解 式得到
（4）
将 式代入 式得
故得原定解问题的解为
即
例8在环形域 内求解下列定解问题．
解：由于求解区域式环形区域，所以我们选用平面极坐标系，利用直角坐标系与极坐标系之间的关系
可将上述定解问题用极坐标 表示：
这是一个非齐次方程附有齐次边界条件的定解问题．采用固有函数法，并注意到圆域内Laplace方程所对应的固有函数，可令问题(1)--(2)的解的形式为
解：化成定解问题，取柱轴为z轴，设导线“无限长”，那么场强和电势都与z无关，只需在x，y平面上讨论．如图3-2所示，圆柱在x，y平面的截面是圆周 作为静电场的边界，所以我们采用极坐标．柱外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程 ，化成极坐标为
(1)
边界条件：导体中的电荷不再移动，说明导体中电势相同，又因为电势具有相对意义，可以把导体的电势当作零，故
(2)
“无穷远”处也为一个边界（圆内则考虑圆心点），“无穷远”处静电场仍为匀强静电场 ，由于选取了x轴平行 ，故有
即
因此有
(3)
图3-2输电线对带电云和大地之间电场的影响
分离变量，令
代入方程(1)，得
(4)
(5)
因为极角具有周期性， 应表示一个点，同一处的u应该相同，故有
即
所以有 (6)
方程(6)称为自然周期条件．
由于振荡完全由交流电源引起，当然可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令
代入方程得
即
其通解为
故有
由 得
(1)
及
得 (2)
从式(1)，(2)中解出
带入解的表达式，得
取虚部，并以 代入，得传输线内稳恒的电振荡
例7试解出具有放射衰变的热传导方程
已知边界条件为
初始条件为
解令 ，定解问题可以化为
由于对应的齐次问题具有第一类边界条件，故令
第三章分离变量法
3。2 基础训练
3.2.1例题分析
例1解下列定解问题：
（1）
解：分离变量，即令
（2）
代入方程（（1）中第一式），得
（3）
（4）
其中 为分离常数。（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得
（5）
相应的本证值问题为求
（6）
的非零解．下面针对 的取值情况进行讨论：
（1）当 时，（6）式中方程的通解是
注意到方程和边界条件同时齐次化了．
用分离变量法解方程(7)，得
其中
原定解问题的解为
应当指出，同两种方法得到的定解问题的解在形式上不一样，但可以证明它们是等价的，这是由定解问题解的唯一性决定的．