高中数学压轴题系列——导数专题——零点与交点.docx

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高中数学压轴题系列——导数专题——零点与交点

1.(2015?新课标Ⅰ)设函数f(x)=e2x﹣ alnx.

(Ⅰ)讨论 f( x)的导函数 f ′(x)零点的个数;(Ⅱ)证明:当a> 0 时, f(x)≥ 2a+aln .解:(Ⅰ) f(x)=e2x﹣alnx 的定义域为( 0,+∞),∴ f ′( x) =2e2x﹣.

当a≤0 时, f ′(x)> 0 恒成立,故 f ′(x)没有零点,

当a>0 时,∵ y=e2x为单调递增, y=﹣单调递增,∴ f ′(x)在( 0,+∞)单调递增,又 f ′(a)> 0,假设存在 b 满足 0<b<ln时,且b<,f′(b)<0,故当a>0时,导函数f′(x)存在唯一的零点,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可设导函数 f ′( x)在( 0,+∞)上的唯一零点为x0,

当x∈( 0, x0)时, f ′( x)< 0,当 x∈( x0+∞)时, f ′(x)

> 0,故 f(x)在( 0, x0)单调递减,在( x0+∞)单调递增,

所欲当 x=x0时, f(x)取得最小值,最小值为 f(x0),

由于﹣=0,所以 f( x0) =+2ax0+aln≥2a+aln.故当a>0时,f(x)≥ 2a+aln.

(陕西)已知函数

f ()x, x∈ R.

2.2013?x=e

(Ⅰ)若直线 y=kx+1 与 f(x)的反函数 g(x)=lnx 的图象相切,求实数 k 的值;

(Ⅱ)设 x> 0,讨论曲线 y=f (x)与曲线 y=mx2( m>0)公共点的个数.

(Ⅲ)设 a<b,比较与的大小,并说明理由.

解:( I)函数 f( x)=e x的反函数为 g(x)=lnx,∴.

设直线 y=kx+1 与 g( x)的图象相切于点P(x0, y0),则,

解得, k=e﹣2,∴ k=e﹣2.

(II)当 x> 0, m>0 时,令 f(x)=mx2,化为 m=,令h(x)=,则,

则x∈( 0, 2)时, h′( x)< 0,h(x)单调递减;∴当 x=2 时, h( x)取得极小值即最小值,x∈( 2,+∞)时, h′( x)> 0,h(x)单调递增..

∴当时,曲线 y=f (x)与曲线 y=mx2( m>0)公共点的个数为0;

当时,曲线 y=f ( x)与曲线 y=mx2( m> 0)公共点的个数为 1;

当时,曲线 y=f (x)与曲线 y=mx2(m>0)公共点个数为 2.

(Ⅲ)==

=,

令 g( x)=x+2+( x﹣2)e x(x>0),则 g′( x) =1+(x﹣ 1) e x.

′′x

g (x)=xe > 0,∴ g′(x)在( 0,+∞)上单调递增,且

g′( 0) =0,

∴g′(x)> 0,∴ g(x)在( 0,+∞)上单调递增,

而 g( 0)=0,∴在( 0,+∞)上,有 g( x)> g( 0) =0.

∵当 x> 0 时, g(x)=x+2+(x﹣ 2) ?e x> 0,且 a<b,∴,

即当 a< b 时,.

3.(2016?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2.

(Ⅰ)讨论 f( x)的单调性;(Ⅱ)若 f( x)有两个零点,求 a 的取值范围.

解:(Ⅰ)由 f(x)=(x﹣ 2)e x+a( x﹣ 1)2,可得 f ′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)( e x+2a),①当 a≥ 0 时,由 f ′(x)> 0,可得 x>1;由 f ′( x)< 0,可得 x<1,

即有 f( x)在(﹣∞, 1)递减;在( 1,+∞)递增(如右上图);

②当 a< 0 时,(如右下图)若 a=﹣,则f′(x)≥ 0恒成立,即有f(x)在R上递增;

若 a<﹣时,由f′(x)>0,可得x<1或x>ln(﹣2a);由f′(x)<0,可得1<x<ln(﹣2a).

即有 f( x)在(﹣∞, 1),(ln(﹣ 2a),+∞)递增;在( 1,ln(﹣ 2a))递减;

若﹣<a<0,由 f ′( x)> 0,可得 x< ln(﹣ 2a)或 x> 1;由 f ′(x)< 0,可得 ln(﹣ 2a)< x< 1.即有 f( x)在(﹣∞, ln(﹣ 2a)),(1,+∞)递增;在( ln(﹣ 2a),1)递减;

(Ⅱ)①由(Ⅰ)可得当a> 0 时, f(x)在(﹣∞, 1)递减;在( 1,+∞)递增,

且f(1)=﹣e<0, x→+∞, f( x)→+∞; x→﹣∞, f( x)→+∞. f( x)有两个零

点;②当 a=0 时, f( x)=(x﹣2) e x,所以 f( x)只有一个零点 x=2;

③当 a< 0 时,若 a<﹣时, f( x)在( 1,ln(﹣ 2a))递减,

在(﹣∞, 1),( ln(﹣ 2a),+∞)递增,

又当 x≤ 1 时, f(x)< 0,所以 f(x)不存在两个零点;

当 a≥﹣时,在(﹣∞,ln(﹣2a))单调增,在(1,+∞)单调增,在(1n(﹣2a),1)单调减,

只有 f( ln(﹣ 2a))等于 0 才有两个零点而 f( x)小于零所以只有一个零点不符题意.

综上可得, f( x)有两个零点时, a 的取值范围为( 0,+∞).

4.(2015?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx

(i)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y=f(x)的切线;

(ii)用 min { m,n }表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x)=min { f(x),g( x)}(x> 0),讨论 h(x)零点的个数.

解:( i) f ′(x) =3x2+a.设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0, 0),则 f( x0) =0,f (′ x0) =0,∴,解得,a=.因此当a=﹣时,x轴为曲线y=f(x)的切线;

(i i)当 x∈( 1,+∞)时, g( x) =﹣ lnx< 0,∴函数 h(x)=min { f( x),g(x)}

< 0,故 h( x)在 x∈( 1,+∞)时无零点.当 x=1时,若 a≥﹣,则 f(1)=a+≥ 0,

∴h(x)=min { f(1), g(1)} =g( 1) =0,故 x=1 是函数 h(x)的一个零点;

若a<﹣,则 f( 1) =a+<0,∴ h(x)=min { f(1),g(1)} =f(1)< 0,

故 x=1 不是函数 h( x)的零点;

当 x∈( 0, 1)时, g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑 f( x)在( 0,1)内的零点个数即可.

①当 a≤﹣ 3 或 a≥ 0 时, f ′(x)=3x2+a 在( 0,1)内无零点,因此f(x)在区间( 0,1)内单调,而 f(0)=,f(1)=a+,∴当a≤﹣3时,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点,

当 a≥0 时,函数 f( x)在区间( 0,1)内没有零点.

②当﹣ 3<a< 0 时,函数 f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,f( x)取得最小值=.

若>0,即,则f(x)在(0,1)内无零点.

若=0,即 a=﹣,则f(x)在(0,1)内有唯一零点.

若<0,即,由f(0)=,f(1)=a+,

∴当时, f( x)在( 0,1)内有两个零点.

当﹣ 3< a时,f(x)在(0,1)内有一个零点.

综上可得:a<时,函数h(x)有一个零点.当时, h( x)有一个零点;

当a=或时, h( x)有两个零点;当时,函数h(x)有三个零点.

5.(2017?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+( a﹣ 2)e x﹣ x.

(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f( x)有两个零点,求 a 的取值范围.

解:( 1)由 f( x) =ae2x+(a﹣2) e x﹣ x,求导 f ′( x)=2ae2x+(a﹣ 2) e x﹣ 1,

当a=0 时, f ′(x)=﹣2e x﹣1< 0,∴当 x∈R,f(x)单调递减,

当a>0 时, f ′(x)=(2e x+1)(ae x﹣1) =2a(e x+)(e x﹣),

令 f ′( x)=0,解得: x=ln ,当 f ′(x)> 0,解得: x>ln ,当 f ′( x)< 0,解得: x< ln ,∴x∈(﹣∞, ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,+∞)单调递增;

当 a<0 时, f ′(x)=2a(e x+)(e x﹣)<0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,

综上可知:当 a≤0 时, f(x)在 R 单调减函数,

当 a>0 时, f( x)在(﹣∞, ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数;

(2)①若 a≤0 时,由( 1)可知: f( x)最多有一个零点,

当 a>0 时, f( x) =ae2x+( a﹣ 2) e x﹣ x,当 x→﹣∞时, e2x→0, e x→0,

∴当 x→﹣∞时, f( x)→+∞,当 x→∞, e2x→ ∞,且远远大于x和 x,∴当 x→∞, f(x)→+∞,

+e

∴函数有两个零点, f(x)的最小值小于 0 即可,

由 f(x)在(﹣∞, ln)是减函数,在( ln, +∞)是增函数,

∴f(x)min()×()(﹣)× ﹣

ln <,∴ ﹣﹣

ln

,即

ln +

﹣>,

=f ln=a+ a 201 1 0

设 t= ,则 g( t) =lnt+t﹣1,( t>0),求导 g′(t)=+1,由g(1)=0,∴t=> 1,解得: 0<a<1,∴a 的取值范围( 0, 1).

方法二:(1)由 f(x)=ae2x+( a﹣ 2)e x﹣x,求导 f ′(x)=2ae2x+(a﹣2)e x﹣ 1,

当a=0 时, f ′(x)=﹣2e x﹣1< 0,∴当 x∈R,f(x)单调递减,

当a>0 时, f ′(x)=(2e x+1)(ae x﹣1) =2a(e x+)(e x﹣),

令 f ′( x)=0,解得: x=﹣ lna,当 f ′(x)> 0,解得: x>﹣ lna,当 f ′( x)< 0,解得: x

<﹣ lna,∴x∈(﹣∞,﹣ lna)时, f(x)单调递减, x∈(﹣ lna,+∞)单调递增;

当 a<0 时, f ′(x)=2a(e x+)(e x﹣)<0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,

综上可知:当 a≤0 时, f(x)在 R 单调减函数,

当a>0 时, f( x)在(﹣∞,﹣ lna)是减函数,在(﹣ lna,+∞)是增函数;

(2)①若 a≤0 时,由( 1)可知: f( x)最多有一个零点,

②当 a> 0 时,由( 1)可知:当 x=﹣lna 时, f( x)取得最小值, f(x)min=f(﹣ lna)=1﹣﹣ln ,当a=1,时, f(﹣ lna)=0,故 f( x)只有一个零点,

当a∈( 1,+∞)时,由 1﹣﹣ ln >0,即 f(﹣ lna)> 0,故 f(x)没有零点,

当a∈( 0, 1)时, 1﹣﹣ ln < 0,f(﹣ lna)< 0,由 f(﹣ 2)=ae﹣4+( a﹣2)e﹣2+2>﹣ 2e﹣2+2> 0,

故 f(x)在(﹣∞,﹣ lna)有一个零点,

假设存在正整数n0,满足 n0>ln(﹣1),则f(n0)=(a+a﹣2)﹣n0>﹣n0>﹣n0>0,

由ln(﹣1)>﹣ lna,因此在(﹣ lna,+∞)有一个零

点.∴a 的取值范围( 0, 1).

导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版

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而==1, 故a≤1, 综上:a=1; (2)证明:由(1)f(x)=e x(e x﹣x﹣1), 故f'(x)=e x(2e x﹣x﹣2),令h(x)=2e x﹣x﹣2,h'(x)=2e x﹣1, 所以h(x)在(﹣∞,ln)单调递减,在(ln,+∞)单调递增, h(0)=0,h(ln)=2eln﹣ln﹣2=ln2﹣1<0,h(﹣2)=2e﹣2﹣(﹣2)﹣2=>0, ∵h(﹣2)h(ln)<0由零点存在定理及h(x)的单调性知, 方程h(x)=0在(﹣2,ln)有唯一根, 设为x0且2e x0﹣x0﹣2=0,从而h(x)有两个零点x0和0, 所以f(x)在(﹣∞,x0)单调递增,在(x0,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增, 从而f(x)存在唯一的极大值点x0即证, 由2e x0﹣x0﹣2=0得e x0=,x0≠﹣1, ∴f(x0)=e x0(e x0﹣x0﹣1)=(﹣x0﹣1)=(﹣x0)(2+x0)≤() 2=, 取等不成立,所以f(x0)<得证, 又∵﹣2<x0<ln,f(x)在(﹣∞,x0)单调递增 所以f(x0)>f(﹣2)=e﹣2[e﹣2﹣(﹣2)﹣1]=e﹣4+e﹣2>e﹣2>0得证, 从而0<f(x0)<成立. 2.已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R) (1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围; (2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,

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底面边长为( ). (A).3V (B).32V (C).34V (D).32V 6.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). (A).18 (B). 3 38 (C). 3 16 (D).16 7.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1,则=a _________ 。 8.已知抛物线2y x bx c =++在点(12),处的切线与直线20x y ++=垂直,求函数2y x bx c =++的最值. 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

函数导数压轴题隐零点的处理技巧

函数导数压轴题隐零点的处理技巧 些年高考压轴题中,用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题,最终都会归结于函数的单调性的判断,而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系,可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念,经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出,我们把它分为两类:一类是在数值上可以准确求出的,不妨称之为显性零点;另一类是依据有关理论(如函数零点的存在性定理)或函数的图象,能够判断出零点确实存在,但是无法直接求出,不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析: 1.求参数的最值或取值范围 例1(2012年全国I卷)设函数f(x)=e x﹣ax﹣2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值. 解析:(1)(略解)若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在R上单调递增; 若a>0,则f(x)的单调减区间是(﹣∞,ln a),增区间是(ln a,+∞). (2)由于a=1,所以(x﹣k)f′(x)+x+1=(x﹣k)(e x﹣1)+x+1. 故当x>0时,(x﹣k)f′(x)+x+1>0等价于k< 1 1 x x e + - +x(x>0)(*), 令g(x)= 1 1 x x e + - +x,则g′(x)= 2 (2) (1) x x x e e x e -- - , 而函数f(x)=e x﹣x﹣2在(0,+∞)上单调递增,①f(1)<0,f(2)>0, 所以f(x)在(0,+∞)存在唯一的零点.故g′(x)在(0,+∞)存在唯一的零点. 设此零点为a,则a∈(1,2).当x∈(0,a)时,g′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(a). ③所以g(a)=a+1∈(2,3).由于(*)式等价于k<g(a),故整数k的最大值为2. 点评:从第2问解答过程可以看出,处理函数隐性零点三个步骤: ①确定零点的存在范围(本题是由零点的存在性定理及单调性确定); ②根据零点的意义进行代数式的替换; ③结合前两步,确定目标式的范围。

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. (1) 若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥. (2) 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点,求a . 题目分析: 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用,综合考察学生化归与分类讨论的数学思想,题目设置相对较易,利于选拔不同能力层次的学生。第1小问,通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式,这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数,指数函数的系数为代数函数,非常容易求解零点,并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意,对以后导数命题有着很大的指引作用。但是,这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此,以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论,始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点,力求完整的解答该类题目。 题目解答: (1)若1a =,2()x f x e x =-,()2x f x e x '=-,()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增; 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->,从而()f x 在[0,)+∞单调递增;所以()(0)1f x f ≥=,得证. (2)当0a ≤时,()0f x >恒成立,无零点,不合题意. 当0a >时,()2x f x e ax '=-,()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时,()0f x ''<,()f x '单调递减;当(ln 2,)x a ∈+∞时,()0f x ''>,()f x '单调递增;所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时,()0f x '≥,从而()f x 在[0,)+∞单调递增,()(0)1f x f ≥=,在(0,)+∞无零点,不合题意.

高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)

高中数学函数的单调性与导数测试题(附答 案) 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是() A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c D.b2-3ac0 [答案] D [解析]∵a0,f(x)为增函数, f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立, =(2b)2-43ac=4b2-12ac0,b2-3ac0. 2.(2009广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) [答案] D [解析]考查导数的简单应用. f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex, 令f(x)0,解得x2,故选D. 3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k =(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为() A.[-1,+) B.(-,2]

C.(-,-1)和(1,2) D.[2,+) [答案] B [解析]令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-,2]. 4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数,因此否定A、B、D故选C. 5.函数y=xsinx+cosx,x(-)的单调增区间是() A.-,-2和0,2 B.-2,0和0,2 C.-,-2, D.-2,0和 [答案] A [解析]y=xcosx,当-x2时, cosx0,y=xcosx0, 当02时,cosx0,y=xcosx0. 6.下列命题成立的是() A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x(a,b),都有f(x)0

高中数学导数经典习题

导数经典习题 选择题: 1.已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时, (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ,那么正确的说法是( ) A .9.8/m s 是在0~1s 这一段时间内的平均速度 B .9.8/m s 是在1~(1+t ?)s 这段时间内的速度 C .9.8/m s 是物体从1s 到(1+t ?)s 这段时间内的平均速度 D .9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒, 那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) A .7米/秒 B .6米/秒 C .5米/秒 D .8米/秒 3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f /(x)的图象是( ) 4.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)( x f y =在这点取极值的( ) A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .必要非充分条件 5.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A .()f x =()g x B .()f x -()g x 为常数函数 C .()f x =()0g x = D .()f x +()g x 为常数函数 6.. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+ D .2sin α 7. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是( ) A .),3[]3,(+∞--∞Y B .]3,3[- A x D C x B

专题03 导数与函数零点(精讲篇)-用思维导图突破导数压轴题

用思维导图突破导数压轴题 专题3 导数与函数零点 () f x() f x() f x () f x y h x =()y g x =() 求函数f(x)的零点 :求导判断f(x)的单调性,适当选取区间,确定端点函数值异号 :a=g(x)或h(x)=q(x)判断相应函数单调性、值域,确定零点个数或范围 结合具体问题运用分析法和相关性质确定端点(一般不唯一,见例2等)结合图象确定零点范围(见例3、例6),有时还需证明(见例1)

()sin (1) f x x ln x =-+() f x '() f x ()f x '(1,) 2 π -() f x 思路点拨 第(1)题:若1 ()cos 1f x x x '=- +在区间(1,)2 π -的极大值点x 0,则在x 0左边,() f x '递增,在x 0右边()f x '递减.这需要考虑()f x ''在x 0左边为正,右边为负,也就是说x 0是() f x '的零点,从而()f x '在0(1,)x -上单调递增;在0(x ,)2 π 上()f x ''<0,可得()f x '单调递减. 第(2)结论等价于方程sinx=ln(1+x)有且仅有两个不等的实数根.在同一坐标系中分别作出图象可知一根为0,另 一根介于(2]2 π ,之间. 从图象可以看出当(1,0)x ∈-和 (0,)2 π 时,sin ln(1)0x x -+>,即()0f x >;当[2,)x ∈+∞,()0f x <. 这就需要考虑f ′(x )在(?1,0)、 (0,π 2]、(π 2,2]、(2,+∞)单调性以及端点值的正负.由于x 0位于(0,x 0)和(x 0,π 2),还有对这两个区间作相应讨论. 第(2)的思维导图: f '(x) -1 y x π2 x 0 2y =ln(1+x ) y =sin x -1y x 0π2 已知f (x )=sin x -ln(1+x ) 结论: f (x )有且仅有2个零点 sinx=ln(1+x)有两个不等实数根 数形结合:一根为0,一根在 当和时, f (x )>0;当 x ∈?2,+∞)时,f (x )<0 当 x ∈?2,+∞)时, f (x )<0 等价转化

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数综合大题 【2007新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数2()ln()f x x a x =++ (I )若当1x =-时,()f x 取得极值,求a 的值,并讨论()f x 的单调性; (II )若()f x 存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于e ln 2 . 【解析】(Ⅰ)1()2f x x x a '= ++,依题意有(1)0f '-=,故32a =. 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ,∞,当312x -<<-时,()0f x '>; 当1 12 x -<<-时,()0f x '<; 当1 2 x >- 时,()0f x '>. 从而,()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????,,, ∞单调增加,在区间112?? -- ??? ,单调减少. (Ⅱ)()f x 的定义域为()a -+,∞,2221 ()x ax f x x a ++'=+. 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-. (ⅰ)若0?< ,即a << ()f x 的定义域内()0f x '>,故()f x 的极值. (ⅱ)若0?= ,则a a = 若a = ()x ∈+ ,2 ()f x '= . 当x =时,()0f x '=,

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ,∞时, ()0f x '>,所以()f x 无极值. 若a =)x ∈+,()0f x '= >,()f x 也无极值. (ⅲ)若0?>,即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-,,从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点, 故()f x 无极值. 当a > 1x a >-,2x a >-,()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==,取得极值. 综上,()f x 存在极值时,a 的取值范围为)+. ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=. 【2008新课标卷(海南宁夏卷)】 21.(本小题满分12分) 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为y =3. (Ⅰ)求()f x 的解析式: (Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 21.解:(Ⅰ)2 1 ()() f x a x b '=- +,

(完整)高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题 题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 (1)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (3)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围 解:(1)极值的求法与极值的性质 (2)由导数求最值 (3)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 2. 已知).(3232)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当4 1||≤ a 时, 求证:)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 解:(1)单调区间 零点 驻点 拐点————草图 (2)草图——讨论 题型二:利用导数解决恒成立的问题 例1:已知322()69f x x ax a x =-+(a ∈R ). (Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ)当0a >时,若对[]0,3x ?∈有()4f x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.

例2:已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++,1()()2 g x f x '=. (1)证明:当22t <时,()g x 在R 上是增函数; (2)对于给定的闭区间[]a b ,,试说明存在实数 k ,当t k >时,()g x 在闭区间[]a b , 上是减函数; (3)证明:3()2 f x ≥. 解:g(x)=2e^(2x)-te^x+1 令a=e^x 则g(x)=2a^2-ta+1 (a>0) (3)f(x)=(e^x-t)^2+(x-t)^2+1 讨论太难 分界线即1-t^2/8=0 做不出来问问别人,我也没做出来 例3:已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f (1)求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 (2)对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围 解:讨论点x=1/e 1/e

导数压轴题处理专题讲解

导数压轴题处理专题讲解(上) 专题一双变量同构式(含拉格朗日中值定理)..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立(含洛必达法则).................................... - 4 -专题三导数与零点问题(如何取点) .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -

专题一 双变量同构式(含拉格朗日中值定理) 例1. 已知(1)讨论的单调性 (2)设,求证:例2. 已知函数,。(1)讨论函数的单调性;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)证明:若,则对任意x ,x ,x x ,有 。 例3. 设函数. (1)当(为自然对数的底数)时,求的最小值; (2)讨论函数零点的个数; (3)若对任意恒成立,求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m

高三数学导数压轴题

导数压轴 一.解答题(共20小题) 1.已知函数f(x)=e x(1+alnx),设f'(x)为f(x)的导函数. (1)设g(x)=e﹣x f(x)+x2﹣x在区间[1,2]上单调递增,求a的取值范围; (2)若a>2时,函数f(x)的零点为x0,函f′(x)的极小值点为x1,求证:x0>x1. 2.设. (1)求证:当x≥1时,f(x)≥0恒成立; (2)讨论关于x的方程根的个数. 3.已知函数f(x)=﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1(a∈R).

(1)当a=1时,判断g(x)=e x f(x)的单调性; (2)若函数f(x)无零点,求a的取值范围. 4.已知函数. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若存在成立,求整数a的最小值.5.已知函数f(x)=e x﹣lnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)当a=﹣e+1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a≥﹣1时,求证:f(x)>0. 6.已知函数f(x)=e x﹣x2﹣ax﹣1. (Ⅰ)若f(x)在定义域内单调递增,求实数a的范围; (Ⅱ)设函数g(x)=xf(x)﹣e x+x3+x,若g(x)至多有一个极值点,求a的取值集合.7.已知函数f(x)=x﹣1﹣lnx﹣a(x﹣1)2(a∈R).

(2)若对?x∈(0,+∞),f(x)≥0,求实数a的取值范围. 8.设f′(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f′(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=. (Ⅰ)若0是函数f(x)的好点,求a; (Ⅱ)若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围. 9.已知函数f(x)=lnx+ax2+(a+2)x+2(a为常数).

(完整版)高二数学导数大题练习详细答案

1.已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示. (I )求d c ,的值; (II )若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式; (III )在(II )的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围. 2.已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I )求函数)(x f 的单调区间; (II )函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 3.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根,求)(x f 的解析式; (III )对于(II )中的函数)(x f ,对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . 4.已知常数0>a ,e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(,x a x x g ln )(2-=. (I )写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >; (II )讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数.

5.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I )当1k =时,求函数()f x 的最大值; (II )若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围; 6.已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(???=718.2e ). (I )求实数a 的值; (II )求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值. 7.已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I )当a=18时,求函数)(x f 的单调区间; (II )求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值. 8.已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有...单调性. (I )求实数a 的取值范围; (II )若()f x '是()f x 的导函数,设2 2 ()()6g x f x x '=+- ,试证明:对任意两个不相 等正数12x x 、,不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立.

函数与导数压轴题中零点问题

导数压轴题零点问题练习题 一、解答题 1.(2020·省高三考试)设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈,()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. (1)如果()10f =,求()F x 的解析式; (2)若()f x 为偶函数,且()()g x f x kx =-有零点,数k 的取值围. 【答案】(1)()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- (1) 若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >时,()0f x >; (2) 若0x =是()f x 的极大值点,求a . 考点分析 综合历年试题来看,全国卷理科数学题目中,全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中,很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问,主要通过函数的单调性证明不等式,第2小问以函数极值点的判断为切入点,综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题,对思维能力(化归思想与分类讨论)的要求较高。 具体而言,第1问,给定参数a 的值,证明函数值与0这一特殊值的大小关系,结合函数以及其导函数的单调性,比较容易证明,这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式,比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点,把ln(1)x +前面的系数化为1,判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系,仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数,解法更加容易,思维比较巧妙。总体来讲,题目设置比较灵活,不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系:对于任意函数,在极值点,导函数一定等于0么(存在不存在)?导函数等于0的点一定是函数的极值点么?因此,任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中,0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增),对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减),因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围,所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上,可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求,难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况,非常巧妙,但是思维跨度比较大,在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是,官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视,这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现,这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势,对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高,符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

高中数学导数练习题(有答案)

导数练习题(含答案) 【编著】黄勇权 一、求下函数的导数 (1)f (x )=2x 2+3x+2 (2)f (x )=3sinx+7x 2 (3)f (x )=lnx+2x (4)f (x )=2x +6x (5)f (x )=4cosx -7 (6)f (x )=7e x +9x (7)f (x )=x 3+4x 2+6 (8)f (x )=2sinx -4cosx (9)f (x )=log2x (10)f (x )= x 1 (11)f (x )=lnx+3e x (12)f (x )=2x x (13)f (x )=sinx 2 (14)f (x )=ln (2x 2+6x ) (15)f (x )=x 1x 3x 2++ (16)f (x )=xlnx+9x (17)f (x )= x sinx lnx + (18)f (x )=tanx (19)f (x )=x x e 1e 1-+ (20) f (x )=(x 2-x )3 【答案】 一、求下函数的导数 (1)f /=4x+3 (2)f /=3cos+14x (3)f /=x 1+2 (4)f /=2x ln2+6 (5)f /= -4sinx (6)f /=7e x (7)f /=3x 2+8x (8)f /=2cosx+4sinx

(9)因为f (x )=log2x =2ln lnx =lnx 2 ln 1? 所以:f /=(lnx 2ln 1?)/ =(2ln 1)?(lnx )/ =2ln 1?x 1 =ln2 x 1? (10)因为:f (x )=x 1 f /=2x x 1x 1) ()()('?-?'= x x 1210?- = x x 21- = 2x 2x - (11)f /= x e 3x 1+ (12)f (x )= 2x x =23x - f /=(2 3-)25x -= 3 x 2x 3- (13)f /=(sinx 2)/?(x 2)/=cosx 2?(2x )=2x ?cosx 2 (14)f /=[ln (2x 2+6x )]/?(2x 2+6x)/ = x 6x 212+? (4x+6) = x 3x 3x 22++ (15)f (x )=x 1x 3x 2++ = x+3+x 1 f /=(x+3+x 1)/= 1+0 -2x 1 =22x 1-x (16)f /=(x )/(lnx )+(x )(lnx )/+9 =lnx+x 1x ?+9 =lnx+10

(完整word)高中数学导数练习题

专题8:导数(文) 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析:()2'2 +=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 解析:因为21= k ,所以()2 1 1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()2 5 1=f ,所以()()31'1=+f f 答案:3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 解析:443'2 --=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x 点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 解析:Θ直线过原点,则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02030023x x x y +-=,∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ,∴

高二数学导数测试题(经典版)

一、选择题(每小题5分,共70分.每小题只有一项就是符合要求得) 1.设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A.'(1)f B.3'(1)f C.1 '(1)3f D.以上都不对 2.已知物体得运动方程就是4321 4164 S t t t =-+(t 表示时间,S 表示位移),则瞬时速度 为0得时刻就是( ). A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 3.若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处得切线互相垂直,则0x 等于( ). C.23 D.23或0 4.若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动,经过点P 得切线得倾斜角为α,则角α得取值范围就是( ). A.[0,]π B.2[0,)[,)23 ππ π C.2[,)3ππ D.2[0,)(,)223 πππ 5.设'()f x 就是函数()f x 得导数,'()y f x =得图像如图 所示,则()y f x =得图像最有可能得就是 3x ))-7.已知函数3 2 ()f x x px qx =--分别为( ). A.427 ,0 B.0,427 C.427- ,0 D.0,427 - 8.由直线21=x ,2=x ,曲线x y 1 =及x 轴所围图形得面积就是( ). A 、 415 B 、 417 C 、 2ln 21 D 、 2ln 2 9.函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ). A.01b << B.1b < C.0b > D.1 2 b < 10.21y ax =+得图像与直线y x =相切,则a 得值为( ). A.18 B.14 C.1 2 D.1

(完整版)导数压轴题分类(6)---函数的隐零点问题(含答案)

导数压轴分类(6)---函数的隐零点问题 任务一、完成下面问题,总结隐零点问题的解题方法。 例1. [2013湖北理10] 已知a 为常数,函数)(ln )(ax x x x f -=有两个极值点21x x ,,且21x x <,则( ) A.)(1x f >0,)(2x f >21- B. )(1x f <0,)(2x f <2 1- C. )(1x f >0,)(2x f <21- D . )(1x f <0,)(2x f >21- 例2. [2012全国文21] 设函数2)(--=ax e x f x . (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若1=a ,k 为整数,且当x >0时,1)(')(++-x x f k x >0,求k 的最大值。 k 的最大值=2 任务二、完成下面问题,体验隐零点问题的解题方法的应用。 2.1 [2015北京海淀二模理18] 设函数2ln 1)(x x x f -=. (Ⅰ)求函数)(x f 的零点及单调区间; (Ⅱ)求证:曲线x x y ln = 存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标0y <1- 提示解析:(Ⅰ)函数)(x f 的零点为x e =,单调减区间32(0,)e ;单调增区间32(,)e +∞; (Ⅱ)x x y ln =存在斜率为6的切线即存在点000ln (,)x x x 处导数为6,于是020 1ln 6x x -=,即2001ln 60x x --=,令2()1ln 6f x x x =--为增函数,易判断所以01(,1)2x ∈,所以20000000 ln 1616x x y x x x x -===-为减函数,所以0001 2|231x y y =<=-=-

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