高考数学压轴题集锦
1.选择题
1.(安徽)12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A .2
2
83C A
B .26
86C A
C .22
86C A
D .22
85C A
2.(北京)如图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ,.设BP x =,MN y =,则函数()y f x =的图象大致是( )
3.(福建)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如图,那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是( )
4.(广东)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延
长线与CD 交于点F .若AC =u u u r a ,BD =u u u r b ,则AF =u u u r
( )
A .
1142
+a b B .
21
33
+a b C .
11
24
+a b
D .1
233
+
a b 5.(宁夏)
,在该几何体的正视图中,
的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a +b 的最大值为( ) A
.
B
.C .4
D
.6.(湖北)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:
)
x
A .
B .
C .
D . A
B
C D
M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1
①1122a c a c +=+;②1122a c a c -=-;③1212c a a c >;④
11c a <2
2
c a . 其中正确式子的序号是( )
A .①③
B .②③
C .①④
D .②④
7.(湖南)设[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]22=,514
??=????
).对于给定的n ∈*
N ,
定义
(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=
--+L L ,[)1x ∈+,∞,则当332x ??
∈????
,
时,函数x n C 的值域是( ) A .16283???
???, B .16563??
??
??
, C .[)28428563?
? ???
U ,,
D .162842833????
??????
U ,,
8.(江西)已知函数2
()22(4)1f x mx m x =+-+,()g x mx =,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( ) A .(02),
B .(08),
C .(28),
D .(0)-∞,
9.(辽宁)设()f x 是连续的偶函数,且当x >0时()f x 是单调函数,则满足3()4x f x f x +??
=
?+??
的所有x 之和为( ) A .3- B .3 C .8- D .8 10.(全国1)如图,一环形花坛分成A B C D ,,,四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )
A .96
B .84
C .60
D .48
11.(全国2)已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( ) A .1
B .2
C .3
D .2
12.(山东)设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-?
-+??+-?
,,≥≥≤所表示的平面区域为M ,使函数
(01)x y a a a =>≠,的图象过区域M 的a 的取值范围是( )
A .[13],
B .[2
C .[29],
D .
13.(陕西)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据
组成传输信息.设定原信息为012i a a a a ,{01}∈,(012i =,,),传输信息为00121h a a a h ,其中001102h a a h h a =⊕=⊕,,⊕运算规则为:000⊕=,011⊕=,101⊕=,110⊕=,
例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A .11010 B .01100 C .10111 D .00011 14.(上海)如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域(含边界),A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点,若点P(x ,y )、P ’(x ’,y ’)
满足x ≤x ’ 且y ≥y ’,则称P 优于P ’,如果Ω中的点Q 满足:不存在Ω
的其它点优于Q ,那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( ) A . AB ︵ B . BC ︵ C . CD ︵ D . DA ︵
15.(四川)已知抛物线2
8C y x =:的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且
|||AK AF =,则AFK △的面积为( )
A .4
B .8
C .16
D .32
16.(天津)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有..中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( ) A .1344种 B .1248种 C .1056种 D .960种 17.(浙江)如图,AB 是平面α的斜线段...,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .一条直线 D .两条平行直线
18.(重庆)函数()2π)f x x =
≤≤的值域是( )
A .02??
-????
B .[10]-,
C .[
D .[ A B P α
(第10题)
2.填空题
1.(安徽)已知点A ,B ,C ,D 在同一个球面上,AB ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,若AB =6,AC =132,AD =8,则B ,C 两点间的球面距离是 .
2.(北京)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k 棵树种植在点()k k k P x y ,处,其中11x =,11y =,当2k ≥时,
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ???????????
--?????=+- ? ???????
,. ()T a 表示非负实数a 的整数部分,例如(2.6)2T =,(0.2)0T =.
按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 . 3.(福建)设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a b P ∈,,都有a b +,a b -,
ab ,
a
b
∈P (除数0b ≠)
,则称P 是一个数域.例如有理数集Q
是数域;数集{}
F a b =+∈Q ,也是数域.有下列命题:
①整数集是数域;②若有理数集M ?Q ,则数集M 必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上) 4.(广东)已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-,x ∈R ,则()f x 的最小正周期是 . 5.(湖北)观察下列等式:
21
2
3213
4321
11
22111326111424n
i n
i n
i i n n i n n n i n n n ====
+=++=++∑∑∑,,, 45431
111152330n
i i n n n n ==++-∑, 56542
11151621212n
i i n n n n ==
++-∑, 676531
11111722642
n
i i n n n n n ==
++-+∑,
……………………………………
112112101
n
k
k k k k k k k k i i
a n a n a n a n a n a +--+--==++++???++∑,
可以推测,当2k ≥(*
k ∈N )时,1111
12
k k k a a a k +-=
==+,, , 2k a -= .
6.(湖南)对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,…,n }进行抽样,先将总体分成两个子总体{1,2,…,m }和{m +1,m +2,…,n }(m 是给定的正整数,且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率,则1m P = ;所有(1)if P
i j n <≤≤的和等于 . 7.(江苏)()3
31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立,则a = .
8.(江西)如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底的正四棱锥形
实心装饰块,容器内盛有a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点P .如果将容器倒置,水面也恰好过点P (图2).
有下列四个命题:
A .正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B .将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点P
C .任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点P
D .若往容器内再注入a 升水,则容器恰好能装满
其中真命题的代号是: (写出所有真命题的代号) 9.(辽宁)已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ?
?
????=+
>= ? ? ???????,,且()f x 在区间63ππ??
???
,有最小值,无最大值,则ω=__________.
10.(全国1)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D --的余弦值
为
,M N ,分别是AC BC ,的中点,则EM AN ,所成角的余弦值等于 . 11.(全国2)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,
图1
图2
类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)
12.(山东)若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,
则b 的取值范围为 . 13.(陕西)某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.(用数字作答). 14.(上海)方程x 2+2x -1=0的解可视为函数y =x +2的图像与函数y =1
x 的图像交点的横
坐标,若x 4+ax -4=0的各个实根x 1,x 2,…,x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4
x i )(i =1,2,…,k )
均在直线y =x 的同侧,则实数a 的取值范围是
15.(四川)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若451015S S ≥,≤,则4a 的最大值为 .
16.(天津)设1a >,若仅有一个常数c 使得对于任意的[]2x a a ∈,,都有2
y a a ??∈??,满
足方程log log a a x y c +=,这时a 的取值的集合为 .
17.(浙江)若00a b ,≥≥,且当001x y x y ??
??+?
,
,≥≥≤时,恒有1ax by +≤,则以a b ,为坐标
的点()P a b ,所形成的平面区域的面积等于 .
18.(重庆)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图所示的6个点111A B C A B C ,,,,,上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个
的安装方法共有 种.(用数字作答)
A 1
B 1
C 1
A
B
C
题(18)图
3.解答题
1.(安徽)设椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>:
过点M
,且左焦点为1(F .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)当过点(41)P ,的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ,B 时,在线段AB 上取点Q ,
满足AP QB AQ PB =u u u r u u u r u u u r u u u r
g g .证明:点Q 总在某定直线上.
2.(北京)对于每项均是正整数的数列12n A a a a L :,,
,,定义变换1T ,1T 将数列A 变换成数列
1()T A :12111n n a a a ---L ,,,,.
对于每项均是非负整数的数列12m B b b b L :,,,,定义变换2T ,2T 将数列B 各项从大到小
排列,然后去掉所有为零的项,得到数列2()T B ;
又定义222
1212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++L L .
设0A 是每项均为正整数的有穷数列,令121(())(012)k k A T T A k +==L ,
,,. (Ⅰ)如果数列0A 为5,3,2,写出数列12A A ,;
(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列A ,证明1(())()S T A S A =;
(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ,存在正整数K ,当k K ≥时, 3.(福建)已知函数()ln(1)f x x x =+-. (Ⅰ)求f (x )的单调区间;
(Ⅱ)记f (x )在区间[]0π,(n ∈*N )上的最小值为n b ,令ln(1)n n a n b =+-. (Ⅲ)如果对一切n
<
恒成立,求实数c 的取值范围; (Ⅳ)求证:
13
132112242421n n
a a a a a a a a a a a a -+++<……… 4.(广东)设p q ,为实数,αβ,是方程2
0x px q -+=的两个实根,数列{}n x 满足1x p =,
22x p q =-,12n n n x px qx --=-(34n =,,
…).(1)证明:p αβ+=,q αβ=;(2)求
数列{}n x 的通项公式;
(3)若1p =,1
4
q =,求{}n x 的前n 项和n S . 5.(宁夏)设函数1
()()f x ax a b x b
=+∈+Z ,,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方
程为y =3.
(Ⅰ)求()f x 的解析式:
(Ⅱ)证明:函数()y f x =的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;
(Ⅲ)证明:曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
6.(湖北)已知数列{}n a 和{}n b 满足:1a λ=,12
43
n n a a n +=
+-,
(1)(321)n n n b a n =--+,其中λ为实数,n 为正整数.
(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{}n a 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设0a b <<,S n 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ,使得对任意正整数n ,都有n a S b <
7.(湖南)已知函数2
2
()ln (1)1x f x x x
=+-+.
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若不等式11e n n α
+??
+ ?
??
≤对任意的n ∈*N 都成立(其中e 是自然对数的底数)
. 求α的最大值. 8.(江苏)若()1
13x p f x -=,()2
223
x p f x -=g ,12,,x R p p ∈为常数,
且()()()()()()
()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤??=?
>??
(Ⅰ)求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件(用12,p p 表示); (Ⅱ)设,a b 为两实数,a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b =
求证:()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为
2
b a
-(闭区间[],m n 的长度定义为n m -).
9.
(江西)已知函数()(0)f x x =
∈+∞,.
(1) 当8a =时,求()f x 的单调区间; (2)对任意正数a ,证明:1()2f x <<. 10.(辽宁)设函数ln ()ln ln(1)1x
f x x x x
=
-+++. (Ⅰ)求f (x )的单调区间和极值;
(Ⅱ)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,+∞)?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.
11.(全国1)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<,1()n n a f a +=. (Ⅰ)证明:函数()f x 在区间(01),是增函数; (Ⅱ)证明:11n n a a +<<;
(Ⅲ)设1(1)b a ∈,
,整数11ln a b
k a b
-≥.证明:1k a b +>. 12.(全国2)设函数sin ()2cos x
f x x
=
+.
(Ⅰ)求()f x 的单调区间;
(Ⅱ)如果对任何0x ≥,都有()f x ax ≤,求a 的取值范围.
13.(山东)如图,设抛物线方程为2
2(0)x py p =>,M 为直线2y p =-上任意一点,过
M 引抛物线的切线,切点分别为A B ,. (Ⅰ)求证:A M B ,,三点的横坐标成等差数列;
(Ⅱ)已知当M 点的坐标为(22)p -,
时,AB = (Ⅲ)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2
2(0)x py p =>上,
其中,点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r
(O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的
坐标;若不存在,请说明理由.
14.(陕西)已知数列{}n a 的首项13
5
a =,1321n n n a a a +=+,12n =L ,,.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的0x >,21121(1)3n n
a x x x ??-- ?++??
≥
,12n =L ,,; (Ⅲ)证明:2
121
n n a a a n +++>+L .
15.(上海)(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足:a n +1=?
????a n +c ,a n <3
a n d , a n ≥3
⑴当a 1=1,c =1,d =3时,求数列{a n }的通项公式
⑵当0<a 1<1,c =1,d =3时,试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100
⑶当0<a 1<1m (m 是正整数),c =1m ,d ≥3m 时,求证:数列a 2-1m ,a 3m+2-1m ,a 6m+2-1
m ,
a 9m+2-1
m
成等比数列当且仅当d =3m
16.(四川)已知3x =是函数2
()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点. (Ⅰ)求a ;
(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅲ)若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点,求b 的取值范围.
17.(天津)在数列{}n a 与{}n b 中,11a =,14b =,数列{}n a 的前n 项和n S 满足
1(3)0n n nS n S +-+=,12n a +为n b 与1n b +的等比中项,n ∈*N .
(Ⅰ)求2a ,2b 的值;
(Ⅱ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;
(Ⅲ)设1212(1)(1)(1)n a
a
a
n n T b b b n =-+-++-∈*N …,,证明2
23n T n n <,≥. 18.(浙江)已知数列{}n a ,0n a ≥,10a =,22*
111()n n n a a a n +++-=∈N .
记:12n n S a a a =+++L ,11212111
1(1)(1)(1)(1)(1)
n n T a a a a a a =
+++++++++L L . 求证:当*
n ∈N 时, (Ⅰ)1n n a a +<; (Ⅱ)2n S n >-; (Ⅲ)3n T <
19.(重庆)设各项均为正数的数列{}n a 满足12a =,3
2
12
n n n a a a ++=*()n ∈N
(Ⅰ)若21
4
a =
,求34a a ,,并猜想2008a 的值(不需证明); (Ⅱ)记12n n b a a a =L *
()n ∈N
,若n b ≥2n ≥恒成立,求2a 的值及数列{}n b
的通项公式.