14江苏高考真题汇编-压轴题

08-14江苏高考数列与函数

一 概述

以08-14近六年高考的江苏真题为背景，研究数列与函数两个部分解答题的命题特点，解题思路，解答技巧。 二 真题方法提炼

1 数列

（08）19．（1）设

是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，

且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．

（i ）当4n =时，求1a

d

的数值；

（ii ）求n 的所有可能值．

（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列

12b b ，，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．

初等数论的简单应用

（09）17．（本小题满分14分）

设

{}

n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前

n 项和，满足

2222234577a a a a ,S +=+=

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得1

2

m m m a a a ++为数列{}n a 中的项. 简单的分离常数，整体法

（10）19．（16

分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

3122a a a +=，数列

{}n

S 是公差为d 的等差数列.

①求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）

②设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式

k n m cS S S >+都成立。求证：c 的最大值为

2

9

基本不等式，初等数论的简单应用

（12）20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n

a 和{}n

b 满

足：1n a n *+=

∈N ．

（1）设11n n n

b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2

n

n b a ???????? ???????

是等差数列；

（2

）设1n

n n

b b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 基本不等式与函数单调性的应用

（13）19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n

}是首项为a ，公差

为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2

n n nS b n c

=

+，n ∈N *

，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.

待定系数法求解

（11）20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n

a 的首项11

=a

，前n 项

和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立 （1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式

（14）20.(本小题满分16分)

设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得

m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.

(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *

),证明: }{n a 是“H 数列”;

(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0

(3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得

n n n c b a +=

(∈n N *

)成立.

2 函数

（08）20．已知函数1

1

()3

x p f x -=，22()23x p f x -=?（12,,x R p p ∈为常数）．函

数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212

(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?>?若若

（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）； （2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数

()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为

2

b a

-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -）

用到不等式的知识 利用图像进行讨论

（09）20．(本小题满分16分)

设a 为实数，函数2

()2()||f x x x a x a =+--. (1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围； (2)求()f x 的最小值；

(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．

(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.

利用图像分析求解

（10）20.（16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .

如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得

)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P .

(1)设函数)(x f )1(1

2

)(>+++

=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P ②求函数)(x f 的单调区间 (2)

已

知

函

数

)

(x g 具有性质)2(P ，给定

为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且

1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围 先讨论内容较少，较易拿分的

深刻理解题目的含义，利用不等式的传递性，放缩的思想

（12）18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数

32()f x x ax bx =++的两个极值点．

（1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．

找特殊点，待定系数法求高次多项式的根 利用图像找零点

（11）19、已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23

bx x x g ax x

x f +=+= )(x f '和)

(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在

区间I 上单调性一致

（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；

（2）设,0

找特殊点，缩小范围

（13）20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．

(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；

(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．

常规方法

先找较易求解的进行讨论，同时结合图像

（14）19.(本小题满分16分)

已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；

(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；

(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(03

0x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.