2022年上海市普陀区中考数学二模试卷及答案解析

2022年上海市普陀区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 多边形的外角和等于( )
A. 360°
B. 270°
C. 180°
D. 90°
2. 在平面直角坐标系中，直线y=x+1不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 如图，直线l1//l2，如果∠l=25°，∠2=20°，那么∠3的度数是( )
A. 55°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
4. 已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且b⃗ 与a⃗的方向相反，那么下列结论中正确的是( )
A. a⃗=2b⃗
B. a⃗=−2b⃗
C. b⃗ =2a⃗
D. b⃗ =−2a⃗
5. 如图，已知直线l1//l2//l3，它们依次交直线l4、l5于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是( )
A. AC
AE =CD
EF
B. AB
CD
=CD
EF
C. AC
AE
=BD
BF
D. AC
EC
=DF
BD
6. 顺次联结直角梯形各边中点所得到的四边形可能是( )
A. 菱形
B. 矩形
C. 梯形
D. 正方形
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7. 已知f(x)=x3−1，那么f(2)=______．
8. 已知正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而______.(填“增大”或“减小”)
9. 在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有______(填序号)．
10. 如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么cotB的值为______．
11. 正十边形的中心角等于______ 度．
12. 菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为______．
13. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，AC=5，BC=12，那么CD=______．
14. 如图，线段AD与BC相交于点G，AB//CD，AB
CD =1
2
，设GB
⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，GA
⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，那么向量CD
⃗⃗⃗⃗⃗ 用
向量a⃗、b⃗ 表示是______．
15. 已知在等边△ABC中，AB=2，如果以点C为圆心的圆与边AB有且只有一个公共点，那么⊙C的半径是______．
16. 已知两圆的半径长分别为2和5，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是______．
17. 如图，▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB：S四边形FEDC的值为______．
18. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F.如果∠DAB=∠BAF，那么BF=______．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 计算：2713+|2−√3|−(√5−√2)0+2cos30°．
四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题10.0分)
(k≠0)的图象与正比例函数y=2x的图象如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k
x
的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1．
(1)求点A的坐标和反比例函数的解析式；
(2)点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B.如果点B的纵坐标为1，求△PAB的面积．
21. (本小题10.0分)
如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长．
22. (本小题10.0分)
某山山脚到山顶有一条登山路，登山爱好者小李沿此路上山走到山顶，休息了一会儿后再原路返回．在下山途中，小李收到消息，需及时回到山脚，于是加速下山．小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为2：3.其间小李离开山脚的路程y(米)与离开山脚的时间x(分)(x>0)之间的函数关系如图中折线OABCD所示．根据图象提供的信息，回答下列问题：
(1)这条登山路的全长为______米；小李在山顶休息了______分钟；
(2)如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚．
23. (本小题12.0分)
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，联结EM并延长，交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F．
(1)求证：ME=MF；
(2)联结DF，如果AB2=EB⋅BD.求证：四边形DECF是正方形．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=x2−bx+c经过A(−1,2)、B(0,−1)两点．
(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
(2)将抛物线y=x2−bx+c向左平移(√3+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P′．
①求∠BP′P的度数；
②将线段P′B绕点B按逆时针方向旋转150后，点P′落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
25. (本小题14.0分)
在等腰梯形ABCD中，DC//AB，AB=6，tanB=2√2，过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
(1)当点C与点H重合时(如图1)，求线段BC的长；
(2)当点C不与点H重合时，联结AC，作△ACH的外接圆O．
①当点C在BH的延长线上时(如图2)，设CH=x，CD=y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
②延长CD交圆O于点G，如果△ACH与△ACG全等，求CD的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：多边形的外角和是360°．
故选：A．
根据多边形的外角和解答．
本题考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和是360°是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵直线y=x+1中，k=1>0，b=1>0，
∴直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
根据一次函数解析式可得k>0，b>0，即可确定函数图象不经过的象限．
本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象与系数之间的关系是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：过∠3的顶点作l1的平行线m，
∴∠1=∠4，
∵l1//l2
∴m//l2，
∴∠2=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=∠1+∠2=45°，
故选：B．
要求∠3的值需要在∠3的顶点作l1的平行线．
本题考查了平行线的性质和判定，运用了转化的数学思想．
4.【答案】D
【解析】解：∵|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且b⃗ 与a⃗的方向相反，
∴b⃗ =−2a⃗，
故选：D．
根据平面向量的性质即可解决问题．
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】C
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴AC AE =BD
BF
，AC
EC
=BD
DF
，
∴选项A、D错误，选项C正确；设直线l4、l5相交于点O，如图．∵l1//l2//l3，
∴AB CD =OA
OC
，CD
EF
=OC
OE
，
∴选项B错误．
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可判断．
本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例以及推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接AC，BD，AC，BD交于O，
根据三角形中位线定理，EF=GH=1
2BD，FG=EH=1
2
AC，EF//BD，
GH//BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH不可能是梯形，故选项C不符合题意；∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AC≠BD，
∴EF=GH≠FG=EH，
∴四边形EFGH为不可能正方形和菱形，故选项A，D不符合题意；
当AB=AD，CB=CD时，AC是BD的垂直平分线，
∴FE⊥EH，
∴∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是矩形，故选项B符合题意；
故选：B．
根据三角形中位线定理即可得到四边形EFGH是平行四边形，可判断C；由四边形ABCD为直角梯形得到AC≠BD，可判断A，D当AB=AD，CB=CD时，AC是BD的垂直平分线，可判断B．
本题主要考查了中点四边形，矩形、菱形、正方形的判定，直角梯形的性质，熟练掌握中点四边形的性质和直角梯形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】7
【解析】解：把x=−2代入f(x)=x3−1得f(2)=23−1=7．
故答案为：7．
计算自变量为2对应的函数值即可．
本题考查了函数值．解题的关键是明确函数图象上点的坐标特征：函数图象上点的坐标满足其解析式．
8.【答案】减小
【解析】解：函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
根据正比例函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当k<0时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
9.【答案】②③④
【解析】解：在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，
一定是轴对称图形的有：②③④．
故答案为：②③④．
直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，分析得出答案．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
10.【答案】4
3
【解析】解：如图：
在Rt△ABD中，AD=3，BD=4，
∴cotB=BD
AD =4
3
，
故答案为：4
3
．
在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】36
【解析】
【分析】
此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义，根据正多边形的圆心角定
义可知：正n边形的圆中心角为：360°
n
，则代入求解即可．
【解答】
解：正十边形的中心角为360°
10
=36°．
故答案为36°．
12.【答案】30
【解析】解：菱形的面积为：12
×5×12=30． 故答案为：30．
因为菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
本题考查菱形的性质，关键知道菱形的对角线互相垂直，然后根据面积等于对角线的一半求出结果．
13.【答案】6013
【解析】解：∵∠C =90°，AC =5，BC =12，
∴AB =√AC 2+BC 2=√52+122=13，
∵CD 是斜边AB 上的高，
∴AC⋅BC 2
=AB⋅CD 2， 即5×122=13⋅CD 2
， 解得CD =6013
， 故答案为：6013．
根据勾股定理可以求得AB 的长，然后根据等面积法即可求得CD 的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出AB 的长，会用等面积法求斜边上的高．
14.【答案】2a ⃗ −2b
⃗ 【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +a ⃗ ，
∵AB//CD ，CD =2AB ，
∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(−b ⃗ +a ⃗ )=2a ⃗ −2b ⃗ ，
故答案为：2a ⃗ −2b ⃗ ．
利用三角形法则求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用平行线的性质求解即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量，三角形法则等知识，解题关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
15.【答案】√3
【解析】解：设⊙C与AB的交点为D，连接CD，
∵以点C为圆心的圆与斜边AB有且只有一个交点，
∴AB与⊙C相切，
∴CD⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=2，∠ACD=1
2
∠ACB30°，
∴CD=√3
2
AC=√3，
即⊙C的半径是√3
故答案为：√3．
设⊙C与AB的交点为D，连接CD，根据切线的定义得到AB与⊙C相切，根据切线的性质得到CD⊥
AB，根据等边三角形的性质得到AC=BC=AB=2，∠ACD=1
2
∠ACB30°，于是得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的性质，直角三角形的性质，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
16.【答案】0≤d<3或d>7
【解析】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足d>7；
内含时的数量关系应满足0≤d<3．
故答案为：0≤d<3或d>7．
若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围．
本题考查了两圆的位置关系和数量关系之间的等价关系，牢记两圆的半径与圆心距之间的关系是解答此题的关键．
17.【答案】2：5
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=DE，
∴AF CF =EF
BF
=AE
BC
=1
2
，
∴S△BCF=2S△ABF=2S△AEF，
设S△AEF=m，则S△ABF=2m，S△CBF=4m，∴S△ACB=S△ADC=6m，
∴S
四边形FEDC
=6m−m=5m，
∴S△AFB：S四边形FEDC=2：5；
故答案为：2：5．
证明AF
CF =EF
BF
=AE
BC
=1
2
，推出S△BCF=2S△ABF=2S△AEF，设S△AEF=m，则S△ABF=2m，S△CBF=4m，
求出四边形FEDC的面积，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
18.【答案】2√3−2
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，
∴∠CAD=∠C′AD，
∵∠DAB=∠BAF，
∴∠BAD=1
2∠DAC=1
3
∠BAC=15°，
∵∠ABF=135°，∴∠F=30°，
∴CF=AC
tan30∘=2
√3
3
=2√3，
∴BF=CF−BC=2√3−2．
故答案为：2√3−2．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，得到∠CAB=∠ABC=45°，由△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，求出∠CAD=∠C′AD，于是得到∠ABF=135°，求得∠F=30°，根据直角三角形的性质即可得到结果．
本题考查了翻折变换−折叠问题，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，正确的作出图形是解
题的关键．
19.【答案】解：原式=3+2−√3−1+2×√3
2
=5−√3−1+√3
=4．
【解析】根据零指数幂、绝对值、三角函数值计算即可．
本题考查了零指数幂、绝对值、三角函数值，掌握零指数幂、绝对值、三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：(1)设点A的横坐标为m，则点A的纵坐标为m+1，
∵点A在正比例函数y=2x上，
∴2m=m+1，
解得m=1．
∴A(1,2)．
∵点A在反比例函数y=k
x
上，
∴k=1×2=2．
∴反比例函数的解析式为：y=2
x
．
(2)∵点B在反比例函数y=2
x
的图象上，且点B的纵坐标为1
∴B(2,1)，
∴P(2,4)．
∴PB=3．
∴S△PAB=1
2×3×1=3
2
．
【解析】(1)设点A的横坐标为m，则点A的纵坐标为m+1，代入正比例函数解析式可求出m，即可求出点A的坐标；再代入反比例函数可求出k；
(2)由点B的纵坐标为1，可求出点B的横坐标，进而求出点P的坐标，由三角形的面积公式可得出结论．
本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，能求出各个点的坐标是解此题的关键．
21.【答案】解：过点O作OD⊥BC，
∴∠CDO=∠BDO=90°，
∵∠OPB=45°，
∴∠POD=45°，
∴OD=DP，
设OD=x，则DP=x，
∵PC=1，
∴CD=1+x，
∵BC是⊙O的弦，OD⊥BC，
∴CD=BD=1+x，
∵⊙O的直径AB=10，
∴OB=5，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+BD2，
即52=x2+(1+x)2，
∴x=3或x=−4(舍去)，
即OD=3，
∴BD=CD=4，
∴BC=8．
【解析】过点O作OD⊥BC，利用垂径定理即勾股定理求解即可．
此题考查了垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键．
22.【答案】60010
【解析】解：(1)由图象可得：这条登山路的全长为600米，小李在山顶休息了30−20=10(分钟)，
故答案为：600，10；
(2)由题意可知：如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，则下山所需时间
为：48−30
2
×(2+3)=45(分钟)，
而由图象知，实际小李在下山所用时间为60−30=30(分钟)，
∴小李实际提前了45−30=15(分钟)回到山脚．
(1)由图象直接可得答案；
(2)根据小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为2：3，可得下山的速度一直保持不变所需时间，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确识图．
23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD=1
2
∠BCD，∠CED=90°，
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF=1
2
∠DCN，
∴∠ECF=1
2
∠BCN=90°，
∵点M为CD的中点，
∴EM=CM，
∴∠MEC=∠MCE，
∴∠MCF=∠F，
∴MC=MF，
∴ME=MF；
(2)∵AB2=EB⋅BD，
∴AB EB =BD
AB
，
又∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，
∴∠AEB=∠DAB，
∵四边形ABCD是菱形，∴AE⊥BE，
∴∠DAB =∠AEB =90°，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴ED =FC ，
由(1)知，EM =MD =MF =MC ，
∴EF =CD ，
∴四边形DECF 是矩形，
∵ED =EC ，
∴四边形DECF 是正方形．
【解析】(1)根据菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质可得EM =CM ，再根据角平分线定义得∠ECF =12
∠BCN =90°，即可证明结论；
(2)首先证明△ABE∽△DBA ，得∠AEB =∠DAB ，则∠BAD =90°，可知四边形ABCD 是正方形，得出CE =DE ，从而证明结论．
本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将A(−1,2)、B(0,−1)代入y =x 2−bx +c 得，
{1+b +c =2c =−1
， 解得：{b =2c =−1
， ∴y =x 2−2x −1=(x −1)2−2，
∴抛物线的表达式为y =x 2−2x −1，顶点P 坐标为(1,−2)；
(2)①将抛物线向左平移(√3+1)个单位，则平移后的顶点P′的坐标为(1−√3−1,−2)，即(−√3,−2)，
∵PP′在一条平行于x 轴的直线上，
∴PP′⊥y 轴，
设PP′与y 轴的交点为D ，如图，连接BP′，
′
∴tan∠BP′P=BD
P′D =
√3
=√3
3
，
∴∠BP′P=30°；
②∵∠BP′P=30°，
∴∠P′BD=90°−∠BP′P=90°−30°=60°，∵BM是BP′绕B点逆时针方向旋转150°得到的，即∠P′BM=∠P′BD+90°=60°+90°=150°，∴BM//x轴，
BM=BP′=√P′D2+BD2=√(√3)2+12=2，设△MNB中BM边所对应的高为ℎ，
则S△MNB=1
2BM⋅ℎ=1
2
×2ℎ=1，
∴ℎ=1，
∴点N的纵坐标为−1±1，即0或−2，
又∵平移后的抛物线表达式为y=(x+√3)2−2，
∴当y=−2时，(x+√3)2−2=−2，
解得：x=−√3，
当y=0时，即(x+√3)2−2=0，
解得：x=−√3±√2，
∴点N的坐标为(−√3,−2)或(−√3+√2,0)或(−√3−√2,0)．
【解析】(1)根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P的坐标；(2)①连接PP′，则PP⊥y轴，设交点为D，则D(0,−2)，根据平移求得点P′的坐标，进而即可求得∠BP′P的度数，
②根据题意可知BM//x轴且BM=BP′=2，根据△MNB的面积为1，求出点N的纵坐标，再把点N 的纵坐标代入平移后的抛物线解析式即可求得点N的横坐标．
本题考查了二次函数图象与平移变换，待定系数法求解析式，面积问题，勾股定理解直角三角形，旋转的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当点C与点H重合时，BH=BC．
∵AH⊥BC，
∴AC⊥BC．
=2√2．
∴tanB=AC
BC
设BC=a，则AC=2√2a.
∵AC2+BC2=AB2，
∴(2√2a)2+a2=62．
解得：a=±2．
∵a>0，
∴a=2．
∴BC=2．
(2)①设AB与△ACH的外接圆O交于点E，连接CE，过点D作DF⊥AB于点F，如图，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC=90°．
∴AC为圆O的直径．
∴CE⊥AB，
∵DC//AB，
∴四边形DFEC为矩形．
∴DF=CE，EF=CD=AB−BE−AF．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC．
∴Rt△ADF≌Rt△BCE(HL)．
∴AF=BE．
在Rt△BCE中，tanB=CE
BE
=2√2．设BE=b，则EC=2√2b，AF=b．∴BC=√BE2+EC2=3b．
利用(1)中的方法可求BH=2．
∵BC=BH+CH，
∴BC=2+x=3b．
∴b=1
3
(x+2)．
∵AB=6，CD=AB−BE−AF，
∴y=6−2b=6−2
3(x+2)=−2
3
x+14
3
．
∵CD=y≥0，
∴−2
3x+14
3
≥0．
∴x≤7．
∴0≤x≤7．
∴y与x的函数解析式为y=−2
3x+14
3
，定义域为0≤x≤7；
②如图，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC=90°．
∴AC为圆O的直径．∴∠AGC=90°．
∵△ACH与△ACG全等，
∴CG=CH=x．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC=2+x，∠DAB=∠B．∵CD//AB，
∴∠GDA=∠DAB．
∴∠GDA=∠B．
∴tan∠GDA=tanB=2√2．
∴tan∠GDA=AG
GD
=2√2．
∴GD AD =1
3
．
∴GD=1
3AD=1
3
(2+x)．
∵CD=CG−GD=x−1
3
(x+2)，
∴−2
3x+14
3
=x−1
3
(x+2)，
解得：x=4．
∴CD=−2
3x+14
3
=−2
3
×4+14
3
=2．
【解析】(1)利用直角三角形的边角关系与勾股定理，设BC=a，则AC=2√2a，列出方程解答即可；
(2)①设AB与△ACH的外接圆O交于点E，连接CE，过点D作DF⊥AB于点F，由已知设BE=b，则EC=2√2b，AF=b，利用
CD=AB−BE−AF，将x，y的关系式代入整理即可得出结论；
②利用含有x的代数式表示出CD的长度，利用①的结论得到关于x的方程，解方程求得x的值，将x值代入①的关系式计算即可得出结论．
本题主要考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，等腰梯形的性质，三角形的全等的判定与性质，一元一次不等式的解法，圆周角定理及其推论，过梯形上底的两个端点作两底上的高线是解决此类问题常添加的辅助线．
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