高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数压轴题专题

训练

Newly compiled on November 23, 2020

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴）

一．选择题（共30小题）

1．（2013文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）

A．B．C．D．

考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化．

专题：计算题；压轴题；数形结合．

分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论．

解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，

∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2

∵x1，x2是原函数的极值点

所以有x1+x2=，，

故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==．

故选 D．

点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题．

2．（2013乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g

（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为

（）

A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α

考点：导数的运算．

专题：压轴题；新定义．

分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．

解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，

由题意得：

α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，

①∵ln（β+1）=，

∴（β+1）β+1=e，

当β≥1时，β+1≥2，

∴β+1≤＜2，

∴β＜1，这与β≥1矛盾，

∴0＜β＜1；

②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，

∴3γ2＞0

∴γ3＞1，

∴γ＞1．

∴γ＞α＞β．

故选C．

点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．

3．（2013山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线

交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）

A．B．C．D．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．

专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数

在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到

交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．

解答：解：由，得x2=2py（p＞0），

所以抛物线的焦点坐标为F（）．

由，得，．

所以双曲线的右焦点为（2，0）．

则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，

即①．

设该直线交抛物线于M（），则C1在点M处的切线的斜率为．

由题意可知，得，代入M点得M（）

把M点代入①得：．

解得p=．

故选D．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．

4．（2013安徽）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x

的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（）

A．3B．4C．5D．6

考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．

专题：压轴题；导数的综合应用．

分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．

解答：解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，

∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，

∴△=4a2﹣12b＞0．解得=．

∵x1＜x2，∴，．

而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，∴此方程有两解且f（x）=x1或x2．

不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．

①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两

解．

②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知

方程f（x）=x2只有一解．

综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．

故选A．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．

5．（2013湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．

专题：压轴题；导数的综合应用．

分析：先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．

解答：解：∵=lnx+1﹣2ax，（x＞0）

令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点

g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．

．

①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍

去．

②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，

∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g

（x）单调递减．

∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，

∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．

∵，f′（x1）=lnx1+1﹣2ax1=0，f′（x2）=lnx2+1﹣2ax2=0．

且f（x1）=x1（lnx1﹣ax1）=x1（2ax1﹣1﹣ax1）=x1（ax1﹣1）＜x1（﹣ax1）=＜0，

f（x2）=x2（lnx2﹣ax2）=x2（ax2﹣1）＞=﹣．（）．

故选D．

点评：熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键．

6．（2013辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）

（）

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值

考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．

专题：压轴题；导数的综合应用．

分析：先利用导数的运算法则，确定f（x）的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．

解答：

解：∵函数f（x）满足，

∴

∴x＞0时，dx

∴

∴

令g（x）=，则

令g′（x）=0，则x=2，∴x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数单调递减，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增

∴g（x）在x=2时取得最小值

∵f（2）=，∴g（2）==0

∴g（x）≥g（2）=0

∴≥0

即x＞0时，f（x）单调递增

∴f（x）既无极大值也无极小值

故选D．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．7．（2013安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3

（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）

A．3B．4C．5D．6

考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．

专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．

分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af （x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．

解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，

由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），

如下示意图象：

如图有三个交点，

故选A．

点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．

8．（2014海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有

恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）

A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，

+∞）

D．（﹣∞，﹣2）∪（0，

2）

考点：函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法．专题：综合题；压轴题．

分析：

首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；

最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0f（x）＞0的解集即可求得．

解答：

解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，

所以在（0，+∞）内单调递减．

因为f（2）=0，

所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．

又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．

所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．

故选D．

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．

9．（2014重庆三模）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f

（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为

函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数

都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）

+=（）

A．2011 B．2012 C．2013 D．2014

考点：导数的运算；函数的值；数列的求和．

专题：压轴题；导数的概念及应用．

分析：正确求出对称中心，利用对称中心的性质即可求出．

解答：解：由题意，g′（x）=x2﹣x+3，∴g″（x）=2x﹣1，

令g″（x）=0，解得，

又，∴函数g（x）的对称中心为．

∴，，…

∴g（）+=2012．

故选B．

点评：正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键．

10．（2014上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有

＞2恒成立，则a的取值范围是（）

A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）

考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．

专题：计算题；压轴题．

分析：

先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'

（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．

解答：

解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立

则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立

f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立

则a≥（2x﹣x2）max=1

故选D．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．

11．（2012桂林模拟）已知在（﹣∞，+∞）上

是增函数，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，1]B．[﹣1，4]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，1）

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：计算题；压轴题．

分析：要是一个分段函数在实数上是一个增函数，需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x小于0时，要使的函数是一个减函数，求导以后导函数横小于0，注意两个端点处的大小关系．

解答：解：∵要是一个分段函数在实数上是一个增函数．

需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，

当x＜0时，y′=3x2﹣（a﹣1）＞0恒成立，

∴a﹣1＜3x2

∴a﹣1≤0

∴a≤1，

当x=0时，a2﹣3a﹣4≤0

∴﹣1≤a≤4，

综上可知﹣1≤a≤1

故选C．

点评：本题考查函数的单调性，分段函数的单调性，解题的关键是在两个函数的分界处，两个函数的大小关系一定要写清楚．

12．（2012河北模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；

②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直

线上，则c等于（）

A．1B．2C．1或2 D．4或2

考点：利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用．

专题：计算题；压轴题．

分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2

当1≤x＜2时，2≤2x＜4，

则f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]

此时当x=时，函数取极大值

当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2

此时当x=3时，函数取极大值1

当4＜x≤8时，2＜x≤4

则f（x）=cf（x）=c（1﹣（x﹣3）2，

此时当x=6时，函数取极大值c

∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，

即点（，），（3，1），（6，c）共线，

∴

解得c=1或2．

故选C

点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．

13．（2012桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e x+ae﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若

曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）

A．l n2 B．﹣ln2 C．D．

考点：简单复合函数的导数．

专题：压轴题．

分析：已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，

我们可从奇函数入手求出切线的方程．

解答：解：

对f（x）=e x+ae﹣x求导得

f′（x）=e x﹣ae﹣x

又f′（x）是奇函数，故

f′（0）=1﹣a=0

解得a=1，故有

f′（x）=e x﹣e﹣x，

设切点为（x0，y0），则

，

得或（舍去），

得x0=ln2．

点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点．

14．（2012太原模拟）已知定义在R上的函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且x∈（﹣

∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是f（x）的导函数），a=（）f（），b=

（logπ3）．f（logπ3），则a，b，c的大小关系是（）

A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b

考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的乘法与除法法则．

专题：计算题；压轴题．

分析：由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较的大小即可．

解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立

即：（xf（x））′＜0，

∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，

∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，

∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数

∴xf（x）是定义在R上的偶函数

∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．

又∵=﹣2，

2=．

∴＞f（）＞（logπ3）f（logπ3）

即＞f（）＞（logπ3）f（logπ3）

即：c＞a＞b

故选C．

点评：本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．

15．（2012广东模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于

x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则（）

A．f（1）＞ef（0），f（2012）＞e2012f（0）B．f（1）＜ef（0），f（2012）＞e2012f（0）

C．f（1）＞ef（0），f（2012）＜e2012f（0）D．f（1）＜ef（0），f（2012）＜e2012f（0）

考点：导数的运算．

专题：计算题；压轴题．

分析：

构造函数y=的导数形式，并判断增减性，从而得到答案．

解答：

解：∵f（x）＜f'（x）从而 f'（x）﹣f（x）＞0 从而＞0

即＞0，所以函数y=单调递增，

故当x＞0时，=f（0），整理得出f（x）＞e x f（0）

当x=1时f（1）＞ef（0），

当x=2012时f（2012）＞e2012f（0）．

故选A．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的关系，函数单调性的关系，考查转化、构造、计算能力．16．（2012无为县模拟）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g

（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N*）的前n项和等于，则n等于（）

A．4B．5C．6D．7

考点：导数的运算；数列的求和．

专题：压轴题．

分析：利用导数研究函数的单调性得到a的范围，再利用等比数列前n项和公式即可得出．

解答：

解：∵=，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

∴=＜0，即函数单调递减，∴0＜a＜1．

又，即，即，解得a=2（舍去）或．

∴，即数列是首项为，公比的等比数列，

∴==，

由解得n=5，

故选B．

点评：熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n项和公式是解题的关键．

17．（2012福建）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有

则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]

上具有性质P，现给出如下命题：

①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；

②f（x2）在[1，]上具有性质P；

③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；

④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f

（x4）]

其中真命题的序号是（）

A．①②B．①③C．②④D．③④

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性．

专题：压轴题；新定义．

分析：根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．

解答：

解：在①中，反例：f（x）=在[1，3]上满足性质P，

但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；

在②中，反例：f（x）=﹣x在[1，3]上满足性质P，但f（x2）=﹣x2在[1，]上不满足性质P，

故②不成立；

在③中：在[1，3]上，f（2）=f（）≤，

∴，

故f（x）=1，

∴对任意的x1，x2∈[1，3]，f（x）=1，

故③成立；

在④中，对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，

有=

≤

≤

=[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，

∴[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，

故④成立．

故选D．

点评：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．

18．（2013文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则

|MN|的最小值为（）

A．B．C．D．l n3﹣1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：计算题；压轴题．

分析：构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），求出导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于0求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值．

解答：解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离．

设F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣lnx，

求导得：F'（x）=．

令F′（x）＞0得x＞；令F′（x）＜0得0＜x＜，

所以当x=时，F（x）有最小值为F（）=+ln3=（1+ln3），

故选A

点评：求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值．

19．（2011枣庄二模）设f′（x）是函数f（x）的导函数，有下列命题：

①存在函数f（x），使函数y=f（x）﹣f′（x）为偶函数；

②存在函数f（x）f′（x）≠0，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同；

③存在函数f（x）f′（x）≠0使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称．

其中真命题的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

考点：导数的运算；函数奇偶性的判断．

专题：计算题；压轴题．

分析：对于三个命题分别寻找满足条件的函数，三个函数分别是f（x）=0，f（x）=e x，f（x）=e﹣x，从而得到结论．

解答：解：存在函数f（x）=0，使函数y=f（x）﹣f′（x）=0为偶函数，故①正确

存在函数f（x）=e x，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同，故②正确

存在函数f（x）=e﹣x使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称，故③正确．

故选D．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及函数图象的对称性，解题的关键就是寻找满足条件的函数，属于基础题．

20．（2011武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′

（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（）

A．B．C．（﹣1，10）D．（﹣∞，﹣1）

考点：函数的单调性与导数的关系；斜率的计算公式．

专题：计算题；压轴题；数形结合．

分析：先由导函数f′（x）是过原点的二次函数入手，再结合f（x）是定义域为R的奇函数求出f（x）；然后根据a、b的约束条件画出可行域，最后利用的几何意义解决问题．

解答：解：由f（x）的导函数f′（x）的图象，设f′（x）=mx2，则f（x）=+n．

∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即n=0．

又f（﹣4）=m×（﹣64）=﹣1，∴f（x）=x3=．

且f（a+2b）=＜1，∴＜1，即a+2b＜4．

又a＞0，b＞0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示．

而可视为可行域内的点（b，a）与点M（﹣2，﹣2）连线的斜率．

又因为k AM=3，k BM=，所以＜＜3．

故选B．

点评：

数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到的代数式要考虑点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．

21．（2011雅安三模）下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是

2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满

足a + b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x0）=0是函数y=f（x）在x=x0

处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（）

A．①②③④B．①④C．②③④D．②③

考点：函数在某点取得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用．

专题：常规题型；压轴题．

分析：根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则三角形形状可判断出．构造函数y=，根据函数的单调性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．

解答：解：①f（x）=sinx+≥2，当sinx=时取等号，而sinx的最大值是1，故不正确；

②∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0

∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B

∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；

③可构造函数y=，该函数在（0．+∞）上单调递增，a+b＞c则+＞，故正确；

④∵f（x）是定义在R上的可导函数，

当f′（x0）=0时，x0可能f（x）极值点，也可能不是f（x）极值点，

当x0为f（x）极值点时，f′（x0）=0一定成立，

故f′（x0）=0是x0为f（x）极值点的必要不充分条件，故④正确；

故选C．

点评：考查学生会利用基本不等式解题，注意等号成立的条件，同时考查了极值的有关问题，属于综合题．22．（2011万州区一模）已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函

数在[﹣2，2]上的最小值是（）

A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对

考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：常规题型；压轴题．

分析：先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．

解答：解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），

∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，

∴当x=0时，f（x）=m最大，

∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．

∴最小值为﹣37．

故选：A

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，属于基础题．

23．（2010河东区一模）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（2）=0，当x＞0时有

，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）

A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，

2）

C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，2）∪（2，

+∞）

考点：函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．

专题：计算题；压轴题．

分析：

首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；

最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0f（x）＞0的解集即可求得．

解答：

解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，

所以在（0，+∞）内单调递减．

因为f（2）=0，

所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．

又因为f（x）是定义在R上的奇函数，

所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．

又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．

所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．

故选B．

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．24．（2010惠州模拟）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在

D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上

恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（）

A．f（x）=sinx+cosx B．f（x）=lnx﹣2x C．f（x）=﹣x3+2x﹣1 D．f（x）=﹣xe﹣x

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：压轴题．

分析：对ABCD分别求二次导数，逐一排除可得答案．

解答：解：对于f（x）=sinx+cosx，f′（x）=cosx﹣sinx，f″（x）=﹣sinx﹣cosx，当x∈时，f″（x）＜

0，故为凸函数，排除A；

对于f（x）=lnx﹣2x，f′（x）=，f″（x）=﹣，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函数，排除B；

对于f（x）=﹣x3+2x﹣1，f′（x）=﹣3x2+2，f″（x）=﹣6x，当x∈时，f″（x）＜0，故为凸函

数，排除C；

故选D．

点评：本题主要考查函数的求导公式．属基础题．

25．（2010黄冈模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于

x∈R恒成立，则（）

A．f（2）＞e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）B．f（2）＜e2f（0），f（2010）＞e2010f（0）

C．f（2）＞e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）D．f（2）＜e2f（0），f（2010）＜e2010f（0）

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：压轴题．

分析：

先转化为函数y=的导数形式，再判断增减性，从而得到答案．

解答：

解：∵f（x）＜f'（x）从而 f'（x）﹣f（x）＞0 从而＞0

从而＞0 从而函数y=单调递增，故 x=2时函数的值大于x=0时函数的值，

即所以f（2）＞e2f（0）．

同理f（2010）＞e2010f（0）；

故选A．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．

26．（2010龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）

＜0，f（x）g（x）=a x，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f

（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（）

A．B．C．D．

考点：利用导数研究函数的单调性；几何概型．

专题：计算题；压轴题．

分析：根据函数积的导数公式，可知函数f（x）g（x）在R上是减函数，根据f（x）g（x）=a x，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．我们可以求出函数解析式，从而可求出f（x）g（x）的值介于4到8之间时，变量的范围，利用几何概型的概率公式即可求得．

解答：解：由题意，∵f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，

∴[f（x）g（x）]'＜0，

∴函数f（x）g（x）在R上是减函数

∵f（x）g（x）=a x，

∴0＜a＜1

∵f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．

∴

∴

∵f（x）g（x）的值介于4到8

∴x∈[﹣3，﹣2]

∴在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是

故选A．

点评：本题的考点是利用导数确定函数的单调性，主要考查积的导数的运算公式，考查几何概型，解题的关键是确定函数的解析式，利用几何概型求解．

27．（2010成都一模）已知函数在区间（1，2）内是增函数，则实

数m的取值范围是（）

A．B．C．（0，1]D．

考点：利用导数研究函数的单调性．

专题：压轴题．

分析：首先求出函数的导数，然后根据导数与函数增减性的关系求出m的范围．

解答：解：由题得f′（x）=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣3m）（x+m），

∵函数在区间（1，2）内是增函数，

∴f′（x）＞0，

当m≥0时，3m≤1，

∴0≤m≤，

当m＜0时，﹣m≤1，

∴﹣1≤m＜0，

∴m∈[﹣1，]．

故选D．

点评：掌握函数的导数与单调性的关系．

28．（2009安徽）设函数f（x）=x3+x2+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的

取值范围是（）

A．[﹣2，2]B．[，]C．[，2]D．[，2]

考点：导数的运算．

专题：压轴题．

分析：利用基本求导公式先求出f′（x），然后令x=1，求出f′（1）的表达式，从而转化为三角函数求值域问题，求解即可．

解答：解：∵f′（x）=sinθx2+cosθx，

∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）．

∵θ∈[0，]，

∴θ+∈[，]．

∴sin（θ+）∈[，1]．

∴2sin（θ+）∈[，2]．

故选D．

点评：本题综合考查了导数的运算和三角函数求值域问题，熟记公式是解题的关键．

29．（2009天津）设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）＞x2，下面的不等

式在R内恒成立的是（）

A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）＞x D．f（x）＜x

考点：导数的运算．

专题：压轴题．

分析：对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法．

解答：解：∵2f（x）+xf′（x）＞x2，

令x=0，则f（x）＞0，故可排除B，D．

如果 f（x）=x2+，时已知条件 2f（x）+xf′（x）＞x2成立，

但f（x）＞x 未必成立，所以C也是错的，故选 A

故选A．

点评：本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．

30．（2009陕西）设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则

x1x2…x n的值为（）

A．B．C．D．1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率．

专题：计算题；压轴题．

分析：欲判x1x2…x n的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答：解：对y=x n+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）x n，

令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点

（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），

不妨设y=0，

则x1x2x3…x n=××，

故选B．

点评：本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

高中数学导数尖子生辅导（解答题）

一．解答题（共30小题）

1．（2014遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，

（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：f（x2）＞．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．

专题：计算题；证明题；压轴题．

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ

（x）＜0，求出单调区间；

（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．

解答：

解：（I）

令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．

由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，

其充要条件为，得

（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；

（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；

（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；

（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）

∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）

设，

则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）

（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；

（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递

减．∴

故．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题．2．（2014武汉模拟）己知函数f（x）=x2e﹣x

（Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．

考点：利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：综合题；压轴题；转化思想；导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；

（Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x，∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2），

令f′（x）=0，解得x=0或x=2，

令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，

故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数．

∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=．

故f（x）的极小值和极大值分别为0，．

（II）设切点为（），

则切线方程为y﹣=（x﹣x0），

令y=0，解得x==，

因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，∴（＜0，∴x0＜0或x0＞2，

令，

则=．

①当x0＜0时，0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）

＜f（0）=0；

②当x 0＞2时，令f′（x0）=0，解得．

当时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减．

故当时，函数f（x 0）取得极小值，也即最小值，且=．

综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪．

点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力．

3．（2014四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2．

（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；

（Ⅲ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且

2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴若能，求出该切线方程；

若不能，请说明理由．

考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：计算题；压轴题；导数的概念及应用．

分析：（Ⅰ）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即

由此即可求得实数a的取值范围；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用换元法令t=e x，则t∈[1，2]，则h（t）=t3﹣3at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；

（Ⅲ）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx ﹣x2﹣kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛

盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，

由题意知，g′（x）≥0，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，即

又∵x＞0，，当且仅当时等号成立

∴，可得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令t=e x，则t∈[1，2]，则

h（t）=t3﹣3at，

由h′（t）=0，得或（舍去），

∵，∴

若，则h′（t）＜0，h（t）单调递减；若，则h′（t）＞0，h（t）单调递增

∴当时，h（t）取得极小值，极小值为

（Ⅲ）设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx

结合题意，有

①﹣②得

所以，由④得

所以

设，⑤式变为

设，

所以函数在（0，1）上单调递增，

因此，y＜y|u=1=0，即，也就是此式与⑤矛盾

所以F（x）在（x0，F（x0））的切线不能平行于x轴

点评：此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．

4．（2014河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f′

（1）=0，且f′（x）≥0在R上恒成立．

（1）求a，c，d的值；

（2）若，解不等式f′（x）+h（x）＜0；

（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5若存在，请求

出实数m的值；若不存在，请说明理由．

考点：导数的运算；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法．

专题：计算题；压轴题．

分析：（1）待定系数法求函数解析式，由f（0）=0，f'（1）=0，且f'（x）≥0在R上恒成立列出三个方程，解出

a、b、c

（2）一元二次不等式解法，注意根之间比较，考查分类讨论思想

（3）考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对m进行讨论，看对称轴与区间的关系．

解答：解：（1）∵f（0）=0，∴d=0

∴x+c及f'（1）=0，有

∵f'（x）≥0在R上恒成立，即恒成立

显然a=0时，上式不能恒成立∴a≠0，函数f'（x）=a是二次函数

由于对一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函数的性质可得

即，即，解得：a=，．

（2）∵．∴．

∴由f'（x）+h（x）＜0，即

即＜0，即

当时，解集为（，b），当b＜时，解集为（b，），当b=时，解集为．

（3）∵，∴f'（x）=

∴．

该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．

假设存在实数m使函数区间[m．m+2]上有最小值﹣5．

①当m＜﹣1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的．

∴g（m）=﹣5，即．

解得．∵，∴舍去

②当﹣1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+2，函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，

而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，∴g（2m+1）=﹣5．

即

解得或m=﹣，均应舍去

③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上递减的∴g（m+2）=﹣5

即．

解得或m=﹣1+2．其中m=﹣1﹣2应舍去．

综上可得，当m=﹣3或m=﹣1+2时，函数g（x）=f'（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．点评：本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题．

5．（2014天津三模）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x．（a∈R，e为自然

对数的底数）

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；

（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g

（x0）成立，求a的取值范围．

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．