数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

数列的通项公式练习题(通项式考试专题)
数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

(Ⅰ)求{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ??

????

的前n 项和n S .

2、(){213}.n

n n -?求数列前项和

3、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令211

n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 的前n 项和n T .

4、已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为-4。(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)设1*

(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列{}n b 的前n 项和n S

5、等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +

∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x

y b r b =+>且1,,b b r

数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法 的方法和习题

数列专题 1、数列的通项公式与前n 项的和的关系 11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 2、等差数列的通项公式 *11(1)() n a a n d dn a d n N =+-=+-∈; 3、等差数列其前n 项和公式为 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式 1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈; 5、等比数列前n 项的和公式为 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1 n n a a q q q s na q -?≠? -=??=?. 常用数列不等式证明中的裂项形式: (1)( 1111n n =-+n(n+1)1111 ()1 k n k =-+n(n+k);

(2) 211111()1211 k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k - =<<=-++-- (4) 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=- ??+++++?? ; (5) ()()11 1!!1! n n n n =- ++ (6) = < <=1(1)n n >+) 一.数列的通项公式的求法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列, 2 55a S =.求数列{}n a 的通项公式. 解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴9123a a a =, 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d , ∴d a =1………………………………①

求数列通项公式专题典型例题精校版

数列的通项公式专题 题型一【积差求商】形如1 1++?=-n n n n a ka a a 例1:已知数列}{n a 满足112++?=-n n n n a a a a ,且2 11=a ,求数列}{n a 的通项公式.变式训练1:已知数列}{n a 满足113++?=-n n n n a a a a ,且911=a ,求数列}{n a 的通项公式.变式训练2:已知数列}{n a 满足113++?=-n n n n a a a a ,且21=a ,求数列}{n a 的通项公式.题型二【n a 与n S 】 例2:已知数列}{n a 的前n 项和22+=n S n ,求数列}{n a 的通项公式.

变式训练1:已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ,求数列}{n a 的通项公式.变式训练2:已知数列}{n a 的前n 和为n S ,21=a ,且)1(1++=+n n S na n n ,求n a .变式训练3:已知数列}{n a 的前n 和为n S ,且满足21),2(,0211=≥=?+-a n S S a n n n ,求n a .变式训练4:已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足2)1(4 1+=n n a S 且0>n a ,求}{n a 通项公式.变式训练5:数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=,求n a .

题型三【累加法】形如已知1a 且()1n n a a f n +-=(()f n 为可求和的数列)的形式均可用累加法。例3:已知数列}{n a ,且21=a ,n a a n n =-+1,求通项公式n a .变式训练1:已知数列}{n a 满足21=a ,231++=+n a a n n ,求}{n a 的通项公式.变式训练2:已知数列}{n a ,且21=a ,n n n a a 21+=+,求通项公式n a .变式训练3:数列{}n a 中已知11=a ,3231+++=+n a a n n n ,求{}n a 的通项公式.

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】:“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.(1)已知正数数列{} n a的前n项的和为n S, 且对任意的正整数n满足1 n a =+,求数列{} n a的通项公式。 (2)数列{} n a中,1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=,求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1- 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈,求数列{}n a的通 项公式.

(二).累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ,用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 1()n n a a f n --=, 12(1)n n a a f n ---=-, ……, 21(2)a a f -=2n ≥, 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +,检验1n =的情 况 ()f n =,用累乘法求通项公式(推导等比 数列通项公式的方法) 【方法】2n ≥, 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

(完整版)求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法:已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列,根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1:已知{}n a 是一个等差数列,且5,152-==a a ,求{}n a 的通项公式. 分析:设数列{}n a 的公差为d ,则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式,求n a . 例2:已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ,求通项n a . 分析:当2≥n 时,1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式,() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法:已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式,求n a . 例3:已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +,其中11=a ,求n a . 分析:Θ 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注:解决这类问题的方法,用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”,由n s 与n a 的关系式,类比出1-n a 与1 -n s 的关系式,然后两式作差,最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法:当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1,即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时,就 可以用这种方法. 例4: ()12,011-+==+n a a a n n ,求通项n a 分析:Θ 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n Λ ()2≥n 又01=a ,所以()2 1-=n a n ()2≥n ,而01=a 也适合上式, ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=,即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时,就可以用这种方法. 例5:111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析:Q 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===-g g g g L g g g g L g () 2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式,所以() n a n n N *=∈ 六、构造法: ㈠、一次函数法:在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+(,k b 均为常数且0k ≠),从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式,这时用下面的方法: 一般化方法:设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k = - 故111n n b b a k a k k -? ?+=+ ?--? ?

数列的通项公式练习题通项式考试专题

数列的通项公式练习题通项式考试专题 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

数列求和公式练习 1、 设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=, 5313 a b += (Ⅰ)求{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ?? ????的前n 项和n S . 2、(){213}.n n n -?求数列前项和 3、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)求n a 及 n S ;(Ⅱ)令2 1 1 n n b a = -(n N +∈),求数列{}n b 的前n 项和n T . 4、已知等差数列{}n a 的前3项和为6,前8项和为-4。(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列{}n b 的前n 项和n S 5、等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +∈ ,点(,)n n S ,均在函数 (0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.(1)求r 的值;(2)当b=2时,记 1 ()4n n n b n N a ++= ∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 6、在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ,,其中0λ>.(Ⅰ)求数列 {}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ; 7、已知数列{n a }满足:}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+?-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222?-+=.

数列专题五构造法求通项公式

1.已知数列{a n}中,a1 =1,a n+1=2a n+4,,求数列{a n}的通项公式。 2.已知数列{a n}中,a1 =1,a n+1=3a n+4n+1,求数列{a n}的通项公式。 3.已知数列{a n}中,a1 =1,3a n a n+1+2a n+1- a n=0, 求数列{a n}的通项公式。4.[2012·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n,满足2S n=a n+1-2n+1+1,n∈N*,且a1,a2+5,a3成等差数列. (1)求a1的值; (2)求数列{a n}的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有1 a1+1 a2+…+ 1 a n< 3 2.

5.2010全国(20)设数列满足且 . (1)求的通项公式; (Ⅱ)设. 6.2011广东20. 设数列满足, (1)求数列的通项公式; (2)证明:对于一切正整数n,. {}n a 10a =111111n n a a +-=--{}n a 1,1n n n k n k b b S == =<∑记S 证明:0,b >{}n a 111=,(2)22 n n n nba a b a n a n --= ≥+-{}n a 1 112 n n n b a ++≤+

7.(2010全国)已知数列{}n a 中,1111,n n a a c a +==- . (Ⅰ)设51,22 n n c b a ==-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 8. [2012·全国卷] 函数f (x )=x 2-2x -3.定义数列{x n }如下:x 1=2,x n +1是过两点P (4,5)、Q n (x n ,f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标. (1)证明:2≤x n

数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

求数列通项公式专题练习 1、 设n S 就是等差数列}{n a 得前n 项与,已知 331S 与441S 得等差中项就是1,而551S 就是331S 与44 1 S 得等比中项,求数列}{n a 得通项公式 2、已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项与n S 与n a 得关系就是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。 3、已知数列{}n a 中,11=a ,前n 项与n S 与通项n a 满足)2,(,1 222 ≥∈-=n N n S S a n n n ,求通项n a 得表达式、 4、在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 得表达式。 5、已知数}{n a 得递推关系为43 2 1+=+n n a a ,且11=a 求通项n a 。 6、已知数列{}a n 得前n 项与S n b n n =+()1,其中{}b n 就是首项为1,公差为2得等差数列,数列{}a n 得通项公式 7、已知等差数列{a n }得首项a 1 = 1,公差d > 0,且第二项、第五项、第十四项分别就是等比数列{b n }得第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }得通项公式;lTsK3。 8、已知数列}{n a 得前n 项与为n S ,且满足322-=+n a S n n )(* N n ∈.(Ⅰ)求数列}{n a 得通项公式; 9、设数列{}n a 满足2 1 123333 3 n n n a a a a -++++= …,n ∈* N .(Ⅰ)求数列{}n a 得通项; 10、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+,,求数列}a {n 得通项公式。 11、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+,,求数列}a {n 得通项公式。 数列求与公式练习 1、 设{}n a 就是等差数列,{}n b 就是各项都为正数得等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b += (Ⅰ)求{}n a ,{}n b 得通项公式;(Ⅱ)求数列n n a b ?? ???? 得前n 项与n S . 2、(){213}.n n n -?求数列前项和 3、已知等差数列{}n a 满足:37a =,5726a a +=、{}n a 得前n 项与为n S 、(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令2 1 1 n n b a =-(n N +∈),求数列{}n b 得前n 项与n T 、 4、已知等差数列{}n a 得前3项与为6,前8项与为-4。(Ⅰ)求数列{}n a 得通项公式; (Ⅱ)设1* (4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈,求数列{}n b 得前n 项与n S 5、等比数列{n a }得前n 项与为n S , 已知对任意得n N + ∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为 常数)得图像上、(1)求r 得值;(2)当b=2时,记 1 ()4n n n b n N a ++= ∈ 求数列{}n b 得前n 项与n T lJ30p 。

数列的通项公式练习题(通项式考试专题)

2010届高考数学快速提升成绩题型训练 ——数列求通项公式 在数列{n a }中,1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ,求n a 的表达式。 已知数列{}n a 中,3 1 1= a ,前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ,试求通项公式n a 。 已知数}{n a 的递推关系为43 2 1+= +n n a a ,且11=a 求通项n a 。 在数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a 。 已知数列{n a }中11=a 且1 1+=+n n n a a a (N n ∈),,求数列的通项公式。 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1,其中{}b n 是首项为1,公差为2的等差数列. (1)求数列{}a n 的通项公式; 已知等差数列{a n }的首项a 1 = 1,公差d > 0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项. (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式; 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足 322-=+n a S n n )(*N n ∈. (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; 设数列{}n a 满足2 1 123333 3 n n n a a a a -++++= …,n ∈* N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项;

数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ; 已知数列{}n a 和{}n b 满足:11a =,22a =,0n a >,1 n n n b a a +=(*n ∈N ),且{}n b 是以q 为公比的等比数列. (I )证明:22n n a a q +=; (II )若2122n n n c a a -=+,证明数列{}n c 是等比数列; 1. 设数列{a n }的前项的和S n = 3 1(a n -1) (n * ∈N ). (Ⅰ)求a 1;a 2; (Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列. 3. 已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点,其导函数为 '()62f x x =-,数列{}n a 的 前n 项和为n S ,点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; 7. 已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足2(1),1n n n S a n =+-≥. (Ⅰ)写出数列{}n a 的前3项;,,321a a a (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式. 8. 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+,2a 1=,求数列}a {n 的通项公式。 9. 已知数列}a {n 满足1a 1 n 2a a 1n 1n =++=+,,求数列}a {n 的通项公式。 10. 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+,,求数列}a {n 的通项公式。 11. 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+,,求数列}a {n 的通项公式。

高考数学数列通项公式专题复习

【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点,不论是选择题或填空题中对基础知识的考查,还是压轴题中与其他章节知识的综合,抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法,因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。 【方法点评】 方法一 数学归纳法 解题模板:第一步 求出数列的前几项,并猜想出数列的通项; 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例1 若数列{}n a 的前n 项和为n s ,且方程2 0n n x a x a --=有一个根为n s -1,n=1,2,3.. (1) 求12,a a ;(2)猜想数列{}n S 的通项公式,并用数学归纳法证明 【解析】(1)1211 ,26 a a = = (2)第一步,求出数列的前几项,并猜想出数列的通项; 由2(1)(1)0n n n n S a S a ----=知2 210n n n n S S a S -+-= 1(2)n n n a S S n -=-≥代入2210n n n n S S a S -+-=

1210n n n S S S --+=(2)n ≥………(*) 第二步,使用数学归纳法证明通项公式是成立的.学&科网 【变式演练1】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,求数列错误!未找到引用源。的通项公式。

错误!未找 到引用源。错误!未找到引用源。 由此可知,当错误!未找到引用源。时等式也成立。 根据(1),(2)可知,等式对任何错误!未找到引用源。都成立。 方法二 n S 法 使用情景:已知错误!未找到引用源。()()n n n S f a S f n ==或 解题模板:第一步 利用n S 满足条件p ,写出当2n ≥时,1n S -的表达式; 第二步 利用1(2)n n n a S S n -=-≥,求出n a 或者转化为n a 的递推公式的形式; 第三步 根据11a S =求出1a ,并代入{}n a 的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式或根据1a 和{}n a 的递推公式求出n a . 例2 在数列{}n a 中,已知其前n 项和为23n n S =+,则n a =__________. 【答案】1 5,1 { 2,2 n n n a n -==≥ 【解析】第一步,利用n S 满足条件p ,写出当2n ≥时,1n S -的表达式; 当2n ≥时,321 1+=--n n s ;

专题一 求数列的通项公式

数列专题1:求数列的通项公式 一、观察法 例1、用观察法写出下列数列的一个通项公式: (1)1,6,15,28,45,… (2)5,55,555,5555,55555,… (3)1,2+3,3+4+5,4+5+6+7,5+6+7+8+9,… (4)21,65-,1211,2019-,30 29 ,… 二、由n S 求n a (作差法) 给出数列{}n a 的前n 项和为n S 或1+n S 与n S 的递推关系,或者给出数列{}n a 的前n 项和 n S 与n a 的递推关系,求通项n a 型一:2 111 ≥=?? ?-=-n n S S S a n n n 【法一】“1--n n S S ”代入消元消n a ; 【法二】写多一项,作差消元消n S . 【注意】检验1=n 的值,若1a 的值适合n a 的表达式,应把1a 合并到n a 中去,否则应 写成分段形式. 型二:??? ??≥==-)2( ) 1( 1 1n T T n T a n n n 【法一】“ 1 -n n T T ”代入消元消n a , 【法二】写多一项,作商消元消n T . 例2、(1)若)1(21+-=+n n S n n ,求n a ; (2)若11=a ,)(12 3 *1N n S S n n ∈+=+,求n a .

【变式2】设数列{}n a 的前n 项和为n S (1)若)(3*2N n n n S n ∈-=,求n a . (2)若n n a S 31+=(* N n ∈),0≠n a ,求n a . 三、累加、类乘法 型一:)(1n f a a n n =--或)(1n f a a n n +=+,用累加法求通项公式 ) 1()2()2()1(1223211f a a f a a n f a a n f a a n n n n +=+=-+=-+=--- ? 的情况 检验,1) () 1()2()2()1(21 1 11=+=-+-++++=≥∑-=n i f a n f n f f f a a n n i n 型二: )(1 n f a a n n =-或n n a n f a )(1=+,用累乘法求通项公式 )1()2()2()1(1 223211f f n f n f a a a a a a a a n n n n ???-?-=????--- 1)1()2()2()1(,2a f f n f n f a n n ????-?-=≥ 检验1=n 的情况 ?

求数列通项公式的各种方法(非常全)

龙文教育-------您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文教育个性化辅导授课教案 教师: 学生: 时间: 年 月 日 段 课题:数列的通项公式 教学目标:掌握数列通项公式的求法 教学重难点:构造等差等比数列 一、教学内容: 一、利用{ 1(2) 1(1) n n S S n S n n a --≥== 例1.若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和,对任意正整数 2(1)n a n =-+,34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式; 解: 22(1) 4 231 a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习:1. 已知正项数列{a n },其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列,求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3 又10S n -1=a n -12+5a n -1+6(n ≥2),② 由①-②得 10a n =(a n 2-a n -12)+6(a n -a n -1),即(a n +a n -1)(a n -a n -1-5)=0 ∵a n +a n -1>0 , ∴a n -a n -1=5 (n ≥2) 当a 1=3时,a 3=13,a 15=73 a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n -3 2.设数列{}n a 的前n 项的和 1 4122 333 n n n S a += - ?+ ,1,2,3,n = (Ⅰ)求首项1a 与通项n a ; (Ⅱ)设2 n n n T S = ,1,2,3,n = ,证明:1 32 n i i T =< ∑ 解:(I ) 2 11141223 3 3 a S a == - ?+ ,解得:2a =

高考数学玩转压轴题专题复杂数列的通项公式求解问题

专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题 一.方法综述 数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数表)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析. 二.解题策略 类型一 数阵(数表)中涉及到的数列通项公式问题 【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在图中出现的次数为____. 【答案】12 【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列,先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1??=j A j 的通项公式,再把第一行的数当成首项,再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(??=i A ij ,最后根据整数解方程的解法列举所有解即可. 2.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要

明确“行”与“列”的概念.横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示,其中i 代表行,j 代表列.例如:34a 表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n 行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列. 【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得到如图乙三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列{}n a ,若2015n a =,则n =__________. 【答案】1030 类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y L L 顺次为直线11 412 y x = + 上的点,点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x L L 顺次为x 轴上的点,其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈,点

专题一 数列通项公式的求法含答案

专题一 数列通项公式的求法 各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本节总结几种求解数列通项公式的方法。 一、用观察法求数列的通项: 例1:根据数列的前几项,写出它的一个通项公式; (1) 1716 ,109,54,21 (2) 1,0,,0 1 (3) 32 31,1615,87,43 二、定义法: 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目. 例2.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S , 且931,,a a a 成等比数列,2 55a S =.求数列{}n a 的 通项公式. 解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴9123 a a a =, 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d , ∴d a =1………………………………① ∵ 2 5 5a S = ∴ 2 11)4(2 455d a d a +=??+ …………② 由①②得:5 31= a ,5 3 = d ∴n n a n 5 3 53)1(53=?-+= 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错 定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 三、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系,求数列 {} n a 的通项 n a 可用公式 ???≥???????-=????????????????=-2 111n S S n S a n n n 求解。 例3:已知数列{}n a 的前n 项和为322 ++=n n S n , 求数列的通项公式。(名49例2) 变式训练:已知数列{}n a 的前n 项和为 323 -= n n a S ,求数列的通项公式。(名师一号P70) 点评:利用公式???≥???????-=????????????????=-2 1 1n S S n S a n n n n 求解 时,要注意对n 分类讨论,但若能合写时一定要合并. 四、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且 (1)(2)...(1)f f f n +++-可求,则用累加法 求n a 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例4:在数列{n a }中,1a =1, 11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ,求{n a }的通项公式。 解:∵111n a ==时, 213243121 2 3.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=? ? -=?? -=??? -=-?? 时, 这n-1个等式累加得: 112...n a a -=+++(n-1)= (1)2 n n -

数列求通项专项训练

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 31、32班数列求通项专项训练第II 卷(非选择题) 评卷人 得分 一、解答题(题型注释) 1.已知等差数列{}n a 满足20a =,6810a a +=-. (I )求数列 {}n a 的通项公式; (II )求数列12n n a -???? ??的前n 项和. 2.已知数列 {}n a 满足 211232222n n n a a a a -++++= ,*n N ∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设 ()21n n b n a =-,求数列 {}n b 的前n 项和n S . 3.等差数列{am}的前m 项和为Sm ,已知S3=22 a ,且S1,S2,S 4成等比数列, (1)求数列{am}的通项公式. (2)若{am}又是等比数列,令bm=19n n S S +? ,求数列{bm}的前m 项和Tm. 4.已知点(1,2)是函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象上一点,数列{a n }的前n 项和S n =f (n )-1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =l og a a n +1,求数列{a n b n }的前n 项和T n . 5.数列 } {n a 满足11=a , 121+= +n n n a a a (*N n ∈). (1)求证1n a ??????是等差数列;(要指出首项与公差); (2) 求数列 } {n a 的通项公式; (3)若Tn= + +3221a a a a … 1 ++n n a a ,求证: 21< n T .

专题由递推关系求数列的通项公式含答案

专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题,掌握由递推关系求数列通项的常用方法: 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点,也是一个难点,高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力,求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形,推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列,把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法:利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =,2 +2n s n =,求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥,对n=1要验证。 2、累加法:利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法(其中数列(){}f n 的前n 项和可求)。 例2 已知数列{n a }中112a = ,121 ++32 n n a a n n +=+,求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项,而(f n )可求和则易得n a 3、.累乘法:利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积 例3 已知数列{n a }中1n n s na =- ,求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键是化 ()1 n n a g n a -=,且式子右边累乘时可求积,而左边中间项可消。 4、转化法:通过变换递推关系,将非等差(等比)数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法 称为转化法。常用的转化途径有: ⑴凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式1n n a qa d +=+(q, d 为常数,0,1q q ≠≠)通过凑配变成 11n d a q ++ -=1n d q a q ??+ ?-?? ,或消常数项转化为()211n n n n a a q a a +++-=- 例4、已知数列{n a }中,11a =,()1212n n a a n -=+≥,求数列{n a }的通项公式 点评: 此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列

专题求数列的通项公式

专题.数列的通项的求法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列, 2 55a S =.求数列{}n a 的通项公式. 解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴912 3a a a =, 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12 =? ∵0≠d , ∴d a =1………………………………① ∵2 55a S = ∴211)4(2 4 55d a d a +=??+ …………② 由①②得:531=a ,53=d ∴n n a n 5 3 53)1(53=?-+= 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 练一练:已知数列 ,32 1 9,1617,815,413 试写出其一个通项公式:__________; 2.公式法:(1)已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法: {11 ,(1),(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通 项公式。 解:由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时,有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?- ,)1(22221----?+=n n n a a ……,.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?- ].)1(2[3 2 3 ] )2(1[2) 1(2 )]2()2()2[()1(21211 211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n 经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3 212 ---+= n n n a 点评:利用公式?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 1n S S n S a n n n n 求解时,要注意对n 分类讨论,但若 能合写时一定要合并. 练一练:①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+,求n a ; ②数列{}n a 满足1115 4,3 n n n a S S a ++=+= ,求n a ; (2)已知 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

数列求通项公式方法大全(新)

求数列通项公式方法 一、公式法(定义法) 根据等差数列、等比数列的定义求通项( 、 ) 1、数列{}n a 满足1a =8,022124=+-=++n n n a a a a ,且 (*∈N n ),求数列{}n a 的通项公式; 2 3式; 4 d a a n n =--1q b b n n =-1

二、累加法 适用于: ) (1n f a a n n +=+,如 2 21++=+n a a n n 、 n n n a a 21+=+等 若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= n 1、 2、 3

三、累乘法 适用于: n n a n f a )(1=+,即 若 1()n n a f n a +=,则31212 (1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===,,, 两边分别相乘得,1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 1n 2(1)n a ++-公式。 3 )(1 n f a a n n =+

四、待定系数法 适用于 ) (1n f qa a n n +=+ 解题基本步骤: I 、确定()f n II 、设等比数列{}1()n a f n λ+,公比为 III 、列出关系式)]([)1(1211n f a n f a n n λλλ+=+++ IV 、比较系数求1λ,2λ V 、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式 VI 、解得数列{}n a 的通项公式 1、已知数列{} n a 满足 2 231-+=+n a a n n ,21=a ,求n a ; 2、已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式; 3、已知数列{} n a 满足 112356 n n n a a a +=+?=,,求数列 {}n a 的通项公式。

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