上海高中数学-复数讲义

复数

一、知识点梳理： 1、i 的周期性：

i 4=1，所以，i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1()n Z ∈

()44142430n n n n i i i i n Z ++++++=∈

2、复数的代数形式：(),a bi a b R +∈，a 叫实部，b 叫虚部，实部和虚部都是实数。

{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。N Z Q R C.

3、复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ；00a bi a +=⇔=且b=0

4、复数的分类：0,0)0)0,0)Z a bi a a ⎧⎪

=+≠≠⎧⎨≠⎨⎪

≠=⎩⎩

实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b

虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62i i ++也没有大小。

5、复数的模：若向量u u r OZ 表示复数z ，则称u u r

OZ 的模r 为复数z 的模， 22||z a bi a b =+=

+ 积或商的模可利用模的性质（1）112n n z z z z z ⋅=⋅⋅⋅L L ，（2）()11

2

22

0z z z

z z =≠

6、复数的几何意义：

复数(),z a bi a b R =+∈←−−−

→一一对应

复平面内的点(,)Z a b (),Z a bi a b R =+∈↔u u r

一一对应

复数平面向量OZ ，

7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，

y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

8、复数代数形式的加减运算

复数z 1与z 2的和：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数z 1与z 2的差：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的加法运算满足交换律和结合律

数加法的几何意义：复数z 1=a +bi ，z 2=c +di (),,,a b c d R ∈；OZ =

1OZ +2OZ =(a ，

b )+(

c ，

d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i

复数减法的几何意义：复数z 1-z 2的差(a －c )+(b －d )i 对应由于1212Z Z OZ OZ =-u u r u r u u u u r u u u u r

，两个

复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

9. 特别地，AB z =u u u r z B －z A .，B A AB

z AB z z ==-u u u r 为两点间的距离。 12||||z z z z -=-z 对应的点的轨迹是线段12Z Z 的垂直平分线；0||z z r -=， z 对应的点的

轨迹是一个圆；()

1212||||22z z z z a Z Z a -+-=<， z 对应的点的轨迹是一个椭圆；

()1212||||22z z z z a Z Z a ---=>， z 对应的点的轨迹是双曲线。

10、显然有公式：

(

)

1212122

2

22

121212

2z z z z z z z z z z z z -≤±≤+++-=+

11、复数的乘除法运算：

复数的乘法：z 1z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . (),,,a b c d R ∈ 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对z 1,z 2,z 3∈C 及m,n ∈N *

有:

z m z n =z m+n , (z m )n =z mn , (z 1z 2)n =z 1n z 2n .

复数的除法：

12z z =(a+bi)÷(c+di)=di c bi a ++=2222ac bd bc ad

i c d c d

+-+++ (),,,a b c d R ∈，分母实数化是常规方法

12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；

(),,z a bi z a bi a b R =+=-∈，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称

。||z z ==

2

2

22

,z z a b R z z z z ⋅=+∈⋅==，111212121222

,

,

z z z z z z z z z z z z ⎛⎫±=±⋅=⋅= ⎪⎝⎭ 13、熟记常用算式：1i i

=-，i i 2)1(2=+，i i 2)1(2

-=-，i i i =-+11，i i

i

-=+-11 14、复数的代数式运算技巧：

（1）①i i 2)1(2

=+ ②i i 2)1(2

-=- ③i i i =-+11 ④i

i i

-=+-11

（2）“1”的立方根

i

232

1

±

-=ω的性质：

①13=ω ②ωω=2 ③012

=++ωω ④

1

1

-=+

ω

ω ⑤ω

ω

=1

15、实系数一元二次方程的根问题：

（1）当042≥-=∆ac b 时，方程有两个实根 21,x x 。

（2）当042<-=∆ac b 时，方程有两个共轭虚根，其中 21x x =。

此时有 a

c

x x x x =

==212

2

2

1且a i b x 22,1∆-±-=。

注意两种题型：21x x (1)- 21x x (2)+

虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。

已知12x x -是实系数一元二次方程0c bx ax 2

=++的两个根，求12x x -的方法： （1）当042

≥-=∆ac b 时，

a

ac

b x x x x x x 44)(2212

2112-=-+=-

(2)当042

<-=∆ac b 时，

a

b a

c x x x x x x 2

212

211244)(-=

-+=-

已知21x ,x 是实系数一元二次方程0c bx ax 2

=++的两个根，求12x x +的方法：

（1）当042≥-=∆ac b 时，