2019年中考数学(宜宾专版)总复习知识梳理第3章 第11讲二次函数及其应用第2课时二次函数的应用精讲练习

第2课时 二次函数的应用
宜宾中考考情与预测

宜宾考题感知与试做
（2018·宜宾模拟）某广告公司设计一幅周长为16 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2 000元.设矩
形一边长为x m，面积为S m2.
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设计费能达到24 000元吗？为什么？
（3）当x是多少时，设计费最多？最多是多少元？
解：（1）∵矩形的一边为x m，周长为16 m，
∴另一边长为（8－x） m，
∴S＝x（8－x）＝－x2＋8x，其中0＜x＜8，
即S＝－x2＋8x（0＜x＜8）；
（2）能.理由如下：
当设计费为24 000元时，
面积为24 000÷2 000＝12（m2），
即－x2＋8x＝12，解得x＝2或x＝6，
∴设计费能达到24 000元；
（3）∵S＝－x2＋8x＝－（x－4）2＋16，0∴当x＝4时，S最大值＝16，
∴当x＝4时，矩形的最大面积为16 m2，设计费最多，最多是2 000×16＝32 000（元）.
宜宾中考考点梳理

二次函数的实际应用
1.应用二次函数解决实际问题的解题方法
（1）设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的函数；
（2）列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式；
（3）定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围；
（4）解：利用相关性质解决问题；
（5）答：检验后写出合适的答案.

二次函数的综合应用
2.二次函数的常见题型
（1）抛物线型
解决此类问题的关键是选择合理的位置建立直角坐标系.建立直角坐标系的原则：
①所建立的直角坐标系要使求出的二次函数解析式比较简单；
②使已知点所在的位置适当（如在x轴、y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数的解析式和之后的计算
求解.
（2）结合几何图形型
解决此类问题一般是根据几何图形的性质，找自变量与该图形面积（或周长）之间的关系，用自变量表示出
其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意和二次函数的性质解题即可.
（3）最值型
①列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
②配方或利用公式求顶点坐标；
③检查顶点是否在自变量的取值范围内.若在，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若不在，则在自变量的
取值范围的两端点处，根据函数增减性确定最值.
【温馨提示】解决最值问题要注意两点：（1）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（或最小）”的设
问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）最值的求解，依据配方法或者最值公式，而不是解方程.

1.（2018·北京中考）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的
一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后
飞行到最高点时，水平距离为（ B ）
A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m
2.（2018·滨州中考）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果
不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y＝－5x2＋20x.请根
据要求解答下列问题：
（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：（1）当y＝15时，15＝－5x2＋20x，

解得x1＝1，x2＝3.
答：飞行时间是1 s或3 s；
（2）当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4.
∴x2－x1＝4.
答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s；
（3）y＝－5x2＋20x＝－5（x－2）2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝20.
答：在飞行过程中，小球飞行高度第2 s时最大，最大高度是20 m.
中考典题精讲精练

二次函数的实际应用
【典例1】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气
阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h/m 0 8 14 18 20 20 18 14 …

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝92；③足球被踢出9 s时
落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是（ B ）
A.1 B.2 C.3 D
.4

【解析】由表格数据可推知，抛物线经过（0，0），（9，0），可以假抛物线的解析式为h＝at（t－9），把
（1，8）代入解析式可得a值，从而可得解析式，再配方即可一一判断.
由表格数据可设抛物线的解析式为h＝at（t－9），把（1，8）代入解析式可得a＝－1，
∴h＝－t2＋9t＝－（t－4.5）2＋20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；
抛物线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确；
∵当t＝9时，h＝0，
∴足球被踢出9 s时落地，故③正确；
∵当t＝1.5时，h＝11.25，故④错误.
【点评】本题考查二次函数的应用，求出抛物线的解析式是解题的关键.
【典例2】某网店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖300件.为了促销，该网店决定降价销售.市
场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价为40元.设该款童装每件售价为x元，
每星期的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？
【解析】（1）根据销售量y（件）与售价x（元/件）之间的数量关系即可得出结果；（2）设每星期利润为W
元，构建二次函数，利用其性质解决问题；（3）列出方程并根据二次函数的图象求出售价的范围，再确定销售量
即可解决问题.
【解答】解：（1）y＝300＋30（60－x）＝－30x＋2 100；
（2）设每星期的销售利润为W元，依题意，得
W1＝（x－40）（－30x＋2 100）＝－30x2＋3 300x－84 000＝－30（x－55）2＋6 750.
∵－30＜0， ∴当x＝55时，W最大值＝6 750（元）.
即每件售价定为55元时，每星期销售的利润最大，最大利润为6 750元.
（3）由题意，得－30（x－55）2＋6 750＝6 480，
解得x1＝52，x2＝58.
∵抛物线W＝－30（x－55）2＋6 750的开口向下，
∴当52≤x≤58时，每星期销售童装的利润不低于6 480元.∵在y＝－30x＋2 100中，－30＜0，y随x的
增大而减小，∴当x＝58时，y最小值＝－30×58＋2 100＝360.
即每星期至少要销售该童装360件.

1.（2018·连云港中考）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表
达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是（ D ）
A.点火后9 s和点火后13 s
的升空高度相同

B.点火后24 s
火箭落于地面

C.点火后10 s的升空高度为139 m
D.火箭升空的最大高度为145 m
2.（2018·贺州中考）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且
x为整数）出售，可卖出（30－x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为 25 元.

3.（2018·沈阳中考）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知
篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝ 150 m时，矩形土地ABCD的面积最大.
4.（2018·十堰中考）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游
业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的
房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支
出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？

解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，则70k＋b＝75，80k＋b＝70，解得k＝－0.5，b＝110，
即y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110；
（2）设合作社每天获得的利润为w元，则
w＝x（－0.5x＋110）－20（－0.5x＋110）＝－0.5x2＋120x－2 200＝－0.5（x－120）2＋5 000.
∵60≤x≤150，
∴当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5 000.
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5 000元.