北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷B(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第四章图形的相似自主学习培优测试卷B （附答案详解） 1．如图，D 为ABC ∆的边AB 上一点，,3cm,4cm ABC ACD AD AB ∠=∠==，则AC 长为（ ）A ．12cmB ．23cmC ．3cmD ．2cm2．下列四条线段中，不能成比例的是（ ） A ．a=3，b=6，c=2，d=4 B ．a=1，b=2，c=22，d=4 C ．a=4，b=5，c=8，d=10 D ．a=2，b=3，c=4，d=53．若-x x y ＝2，则xy的值( ) A ．12 B ．32C ．23D ．24．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，下面四个结论： ①AOB COD ∽②AOD BOC ∽③::DOCBOAS SDC AB =④AODBOCSS=．其中结论始终正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，要使△ACD ∽△ABC ，需要补充的一个条件是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 两点分别在AB 、DC 上．若4AE =，6EB =，2DF =，3FC =，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为何？（ ）A ．1:2B ．2:3C ．2:5D ．4:97．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在CD 边上，CF ：DF=1：2，则S △CEF ：S △AEB 等于（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：98．在△ABC 中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是( ) A ．2B ．2C ．4D ．229．小明在离路灯底部6m 处测得自己的影子长为1.2m ，小明的身高为1.6m ，那么路灯的高度为（ ） A ．9.6mB ．8mC ．7.2mD ．6m10．用同一张底片洗出两张照片，一张为2寸，另一张为6寸，则这两张照片上的图像的大小比例为( ) A ．13B ．23C ．12D ．不能确定11．如图，若BC ∥DE ，23AB AD =，S △ABC =4，则S △ADE =_____．12．两个相似三角形面积比为2，周长比为K ，则2k=________． 13．已知线段a=4，b=1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c=_____． 14．如图，90ABC D ∠=∠=，9AC cm =，6BC cm =，则当BD =________cm 时，ABC CDB ∽．15．已知x ，0y ≥满足231x y==，则x y +=________．16．如果0.2m,4cm a b ==，则:a b =______． 17．若345a b c==，则分式222ab bc aca b c -+++=_____．18．一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为________．19．如图1，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的中点，DE ⊥AB 交AC 于E, 连EB 、CD ，线段CD 与BF 交于点F.若tanA=12,则CFDF =_____.如图2，点D 为直角三角形ABC 的斜边AB 上的一点，DE ⊥AB 交AC 于E, 连EB 、CD ；线段CD 与BF 交于点F.若13AD DB =，tanA=12，则CFDF =____.20．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA•PB 的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”（1）⊙O 的半径为6，OP=4．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为_____；②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O 的半径为r ，OP=d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；（3）在平面直角坐标系xOy 中，C （1，0），⊙C 的半径为3，若在直线y=3x+b 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的“幂值”为6，请直接写出b 的取值范围_____．21．如图，在方格纸中，点A，D都在格点上，作三角形ABC，使其满足下列条件.（点B，C不与点D重合）（1）在图甲中，作格点等腰△ABC，使AD为△ABC的高线.（2）在图乙中，作格点钝角△ABC，使AD为△ABC的角平分线22．如图(1)，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=5，OC=4，在OC 边上取一点D，将将纸片沿AD 翻转，使点O 落在BC 边上的点E 处．(1)求D、E 两点的坐标；(2)如图(2)，若AE 上有一动点P（不与A，E 重合），自点A 沿AE 方向向点E 做匀速运动，运动的速度为每秒1 个单位长度，设运动时间为t 秒，过点P作ED 的平行线交AD 于点M，过点M 作AE 平行线交DE 于点N．求四边形PMNE 的面积S 与时间t 之间的函数关系式；当t 取何值时，s 有最大值，最大值是多少？(3)请探究：在(2)的条件下，当t 为何值时，以A，M，E 为顶点的三角形是等腰三角形？23．如图，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N，动点P在线段BA上以每秒3cm的速度由点B向点A运动．同时，动点Q在线段AC上由点N向点C运动，且始终保持MQ⊥MP．一个点到终点时两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒(t＞0)．(1)求证：△PBM∽△QNM．(2)若∠ABC＝60°，AB＝43cm，①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(cm2)，求S与t的等量关系式(不必写出t的取值范围)．25．如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，以AD为斜边作△ADC，使∠C=90°，∠CAD=∠DAB（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB=9，AD=6，求DC的长．26．已知ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且AD AEnBD CE==，CD交BE于O，连AO并延长交BC于F．（1）当12 n=时，求AOOF的值；（2）当1n=时，求证：BF CF=；（3）当n=________时，O为AF中点．27．如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．参考答案1．B【解析】【分析】由ABC ACD∠=∠且∠A=∠A可证△ACD≌△ABC，则通过其比例关系可得：AC2=AD×AB.【详解】∵∠A=∠A，ABC ACD∠=∠∴△ACD≌△ABC，∴AC AB AD AC=,∴AC2=AD×AB=3×4=12∴AC=23cm故选择B.【点睛】本题考察了“有两角对应相等的三角形相似”的判定方法及相似三角形的性质. 2．D【解析】试题解析：A、2×6=3×4，能成比例；B、4×1=2×22，能成比例；C、4×10=5×8，能成比例；D、2×5≠3×4，不能成比例．故选D．3．D【解析】由＝2去分母得，再整理即可得到结果。

∵＝2，∴，，，则，故选D.4．B【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行验证，从而得到最后答案．【详解】∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD（①正确），∴S△DOC：S△BOA=(CDAB)2（③不正确），∵△ABD与△ABC等高同底，∴S△ABD=S△ABC，∴S△ABD-S△AOB=S△ABC-S△AOB，即S△AOD=S△BOC（④正确），∴共有2个正确的，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．相似三角形的对应高、对应中线，对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方．熟练掌握相似三角形的判定方法及性质是解题关键.5．D【解析】【分析】由于两三角形有公共角，若根据有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件，则∠ACD=∠B；若根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似添加条件，则，然后对各选项进行判断．【详解】∵∠CAD=∠BAC，∴当∠ACD=∠B时,△ACD∽△ABC；当,即时,△ACD∽△ABC.故选:D.【点睛】考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.6．C【解析】【分析】根据两个梯形相似，则对应边的比成比例，即可求解．【详解】解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，且DF：FC=2：3，∴AD：EF=EF：BC=2：3，∴AD=23EF，BC=32EF，∴AD：EF：BC=23：1：32=4：6：9，∴AD：BC=4：9．故选D．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，正确理解性质是关键．7．D【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得△CEF∽△AEB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S △CEF ：S △ABE =1：9， 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB=CD ， ∴△CEF ∽△AEB ， ∴CE ：AE=CF ：AB ， ∵CF ：DF=1：2，∴CF ：CD=CF ：AB=1：3， ∴S △CEF ：S △ABE =1：9， 故选D ． 【点睛】此题考查平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 8．A 【解析】根据相似三角形对应边成比例，得：△A ′B ′C ′的三边比为2:3:4，由于两边长为1和1.5，即2:3，则第三边为1.5423⨯=，故选A. 9．A 【解析】试题解析：如图， 1.66 1.2AB m DB m BE m ===，，， EAB ECD ∽，∴,AB EBCD ED = 即：1.6 1.2,7.2CD = 解得：CD =9.6米， 故选A ．点睛：相似三角形对应边成比例.10．A【解析】试题分析：根据题意可知两张照片上的图像的大小比例为2：6=1：3，故选A．11．9．【解析】【分析】首先判定△ACB∽△AED，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案．【详解】∵BC∥DE，∴△ACB∽△AED，∵23 ABAD＝，∴49ABCADESS=，∵S△ABC=4，∴S△ADE=9，故答案为：9．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．12【解析】【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比解答．【详解】∵两个相似三角形面积比为2，，∴周长比为K=∴2K【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方.13．2【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【详解】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 则c 2=4×1，c =±2，（线段是正数，负值舍去），故c =2．故答案为2．【点睛】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．14．4【解析】【分析】△ABC 和△CDB 中，已知了∠ABC=∠D=90°，如果两三角形相似，那么两三角形的直角边应该对应成比例，据此可求出BD 的长．【详解】解：∵∠ABC=∠D=90°， ∴当AC BC ＝BC BD时，△ABC ∽△CDB ； 即BD=2BC AC =369=4cm ． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定的运用，注意边的对应．15．5【解析】【分析】根据比例的基本性质，分别求出,x y 的值，然后求出它们的和即可．【详解】 231x y==, 2,3,x y ∴==5.x y ∴+= 故答案为5.【点睛】考查了比例的性质，若,a c b d = 则.ad bc = 16．5：1【解析】【分析】将a 、b 的单位统一，然后进行比的运算即可得.【详解】解：∵a=0.2m=20cm ，b=4cm ，∴a ：b=20：4=5：1，故答案为5:1.【点睛】本题考查了线段的比，注意单位要统一，计算要准确.17．750 【解析】【分析】设345a b c == = k ，则a=3k ，b=4k ，c=5k ，再把a=3k ，b=4k ，c=5k 代入222ab bc ac a b c -+++求值即可.【详解】设345a b c== = k ，则a=3k ，b=4k ，c=5k ，∴2 222222234453577(3)(4)(5)5050 ab bc ac k k k k k k ka b c k k k k-+⋅-⋅+⋅=== ++++.故答案为：7 50.【点睛】本题考查了比例的性质，设345a b c=== k，根据比例的性质得到a=3k、b=4k、c=5k是解决本题的关键.18．66【解析】【分析】先求出两个相似多边形的相似比,设另一个与它相似的六边形的周长为c,再根据其周长的比等于相似比进行解答即可.【详解】∵一个六边形六边长分别为3,4,5,6,7,8,另一个与它相似的六边形的最短边为6,∴两个相似多边形的相似比=31 =62，∴34567812c+++++=，解得c=66.故答案为:66.【点睛】本题考查的是相似多边形的性质,即相似多边形周长的比等于相似比.19．654415【解析】设AC=8a，∵DE⊥AB，tanA═12，∴DE=12 AD，∵Rt △ABC 中,AC═a ，,tanA═12， ∴BC=4a，又∵△AED 沿DE 翻折，A 恰好与B 重合，∴AD=BD=，∴Rt △ADE 中， ∴CE=8a-5a=3a ，∴Rt △BCE 中=5a ，如图，过点C 作CG ⊥BE 于G ，作DH ⊥BE 于H ，则Rt △BDE 中,DH=5a⋅=2a ， Rt △BCE 中,CG=345a a a ⨯=125a ， ∵CG ∥DH ， ∴△CFG ∽△DFH ， ∴1265=25a CF CG DF DH a ==， 故答案为：6：5.（2）若AD 1DB 3=，tanA=12， ∴, BD=，a ， ∴Rt △ADE 中52a ， ∴CE=8a-52a =112a ， ∴Rt △BCE 中=2a ， 如图，过点C 作CG ⊥BE 于G ，作DH ⊥BE 于H ，则Rt △BDE 中114a a ⋅，Rt △BCE 中a ⨯， ∵CG ∥DH ，∴△CFG ∽△DFH ，∴44=15CF CG DF DH ==， 故答案为：44：15.点睛：此题考查了勾股定理、正切、三角形的面积、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作出辅助线构造出直角三角形的高以及相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例来解决问题.20．（1）①20；②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值，证明见解析；（2）点P 关于⊙O 的“幂值”为r 2﹣d 2；（3）﹣≤b【解析】【详解】（1）①如图1所示：连接OA 、OB 、OP ．由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO 为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PB 的长，然后依据幂值的定义求解即可；②过点P 作⊙O 的弦A′B′⊥OP ，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB ，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论；（2）连接OP 、过点P 作AB ⊥OP ，交圆O 与A 、B 两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB ，然后在Rt △APO 中，依据勾股定理可知AP 2=OA 2-OP 2，然后将d 、r 代入可得到问题的答案；（3）过点C 作CP ⊥AB ，先求得OP 的解析式，然后由直线AB 和OP 的解析式，得到点P 的坐标，然后由题意圆的幂值为6，半径为4可求得d 的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b 的方程，从而可求得b 的极值，据此即可确定出b 的取值范围．【详解】（1）①如图1所示：连接OA 、OB 、OP ，∵OA=OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB，∵在△PBO中，由勾股定理得：PB=222OB OP64-=-=25，∴PA=PB=25，∴⊙O的“幂值”=25×25=20，故答案为：20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明如下：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，∴△APA′∽△B′PB，∴PA PA PB PB=''，∴PA•PB=PA′•PB′=20，∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值；（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，∵AO=OB，PO⊥AB，∴AP=PB，∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2，在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2，故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）如图4所示：过点C作CP⊥AB，，∵CP⊥AB，AB的解析式为3，∴直线CP的解析式为y=33联立AB与CP，得33333y x by x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，∴点P的坐标为（﹣343b3+14b），∵点P关于⊙C的“幂值”为6，∴r2﹣d2=6，∴d2=3，即（﹣34﹣34b）2+（34+14b）2=3，整理得：b23﹣9=0，解得b=﹣33∴b的取值范围是﹣33，故答案为：﹣33≤b≤3.【点睛】本题综合性质较强，考查了新定义题，解答过程中涉及到了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式等，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键．21．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据勾股定理逆定理，构造直角三角形ABD即可.()2根据角平分线的性质进行画图即可.【详解】()1如图所示：()2如图所示：【点睛】考查角平分线的性质和高的性质，熟练掌握它们的性质是画图的基础.22．(1)E 点坐标为（2，4），D 点坐标为（0，52）；(2)S 矩形PMNE =12t 2+52 t ；当 t=52时，S矩形 PMNE 有最大值258；(3)t=52或 A ，M ，E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应 M 点的坐标为（52，54）或（5﹣）. 【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出 BE 的长，进而可得出 CE 的长，求出 E 点坐标， 再用勾股定理计算出 OD 即可；先判断出△APM ∽△AED ，表示出 PM ，再求出 S 四边形 PMNE =﹣12 （t ﹣52）2+ 258 确定出极值；分两种情况（Ⅰ）若以 AE 为等腰三角形的底，则 ME=MA ，利用中位线求出 M 点坐标，（Ⅱ）若以 AE 为等腰三角形的腰，则 AM=AE=5，利用勾股定理和三角形相似求出即可【详解】解：（1）依题意可知，折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴，∴在 Rt △ABE 中，AE=AO=5，AB=4．BE= =3．∴ CE=2．∴ E 点坐标为（2，4）．在 Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2，又∵DE=OD ．∴（4﹣OD ）2+22=OD 2．解得：OD=52．∴D 点坐标为（0，52）． (2)∵PM ∥ED ， ∴△APM ∽△AED ．∴PM AP ED AE， ∵AP=t ，ED=52，AE=5， PM= 5t ×52=2t ， ∵PE=5﹣t ．∵四边形 PMNE 为矩形．S 矩形PMNE=PM×PE=2t ×（5﹣t ）= 12t 2+52t ； ∴S 四边形PMNE=﹣12（t ﹣52）2+ 258 ． ∴当 t=52时，S 矩形 PMNE 有最大值258． (3)（Ⅰ）若以 AE 为等腰三角形的底，则 ME=MA （如图 1）在 Rt △AED 中，ME=MA ，∵PM ⊥AE ，∴P 为 AE 的中点，∴t=AP= 12AE= 52． 又∵PM ∥ED ， ∴M 为 AD 的中点．过点 M 作 MF ⊥OA ，垂足为 F ，则 MF 是△OAD 的中位线，∴MF= 12OD=54，OF= OA=52，∴当t=52时，（0＜52＜5），△AME 为等腰三角形．此时M 点坐标为（52，54）．（Ⅱ）若以AE 为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图1）在Rt△AOD 中，AD=22OD AO+=552．过点M 作MF⊥OA，垂足为F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴∴t=AP= =25，∴PM=12t=5．∴MF=MP=5，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣25，∴当t=25时，（0＜25＜5），此时M 点坐标为（5﹣25，5）．综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知，t=或t=25时，以A，M，E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为（52，）或（5﹣55【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了对折的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，中位线，解本题的关键是表示出线段．23．AD＝10【解析】试题分析：由EG∥BC，GF∥DC，根据平行线分线段成比例定理可得AE AG AF BE CG FD==，把所给的数据代入求得FD的长，即可求得AD的值．试题解析：∴＝.又∵GF∥DC， ∴＝， ∴＝，即＝， ∴FD ＝4，∴AD ＝10.点睛：本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 24．（1）见解析；（2）①Q 点的运动速度为1cm/s ，②S=﹣3t 2+83． 【解析】【分析】(1)由条件可以得出BMP NMQ ∠=∠,B MNC ∠=∠,就可以得出PBMQNM ∆∆; (2)①根据直角三角形的性质和中垂线的性质BM 、MN 的值,再由PBMQNM ∆∆就可以求出Q 的运动速度;②先由条件表示出AN 、AP 和AQ,再由三角形的面积公式就可以求出其解析式;【详解】（1）∵MQ ⊥MP ，MN ⊥BC ，∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°， ∴∠PMB=∠QMN ．∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°， ∴∠B=∠MNQ ，∴△PBM ∽△QNM ．（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，∴BC=2AB=8cm ．AC=12cm ， ∵MN 垂直平分BC ，∴BM=CM=4cm ．∴MN=CM=4cm．①设Q点的运动速度为v（cm/s）．∵△PBM∽△QNM．∴=，∴=，∴v=1，答：Q点的运动速度为1cm/s．②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm，∴AP=4﹣t，AQ=4+t，∴S=AP•AQ=（4﹣t）（4+t）=﹣t2+8．【点睛】本题是一道运用相似的相关知识解答的综合试题,考查了相似三角形的判定与性质的运用,三角形的面积公式的运用,平行四边形的判定与性质的运用,中垂线的判定与性质的运用,解答本题时求出△PBM∽△QNM是关键.正确作出辅助线是难点.25．（1）见解析；（2）25【解析】分析：（1）如下图，连接OD，由OA=OD可得∠DAO=∠ADO，结合∠CAD=∠DAB，可得∠CAD=∠ADO，从而可得OD∥AC，由此可得∠C+∠CDO=180°，结合∠C=90°可得∠CDO=90°即可证得CD是⊙O的切线；（2）如下图，连接BD，由AB是⊙O的直径可得∠ADB=90°=∠C，结合∠CAD=∠DAB可得△ACD∽△ADB，由此可得AD ABCD BD，在Rt△ABD中由AD=6，AB=9易得BD=35由此即可解得CD的长了. 详解：（1）如下图，连接OD．∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA，∵∠CAD=∠DAB，∴∠ODA=∠CAD∴AC∥OD∴∠C+∠ODC=180°∵∠C=90°∴∠ODC=90°∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）如下图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=9，AD=6，∴BD=2296-=45=35，∵∠CAD=∠BAD，∠C=∠ADB=90°，∴△ACD∽△ADB，∴AD AB CD BD=，∴635 CD=，∴CD=185=259．点睛：这是一道考查“圆和直线的位置关系与相似三角形的判定和性质”的几何综合题，作出如图所示的辅助线，熟悉“圆的切线的判定方法”和“相似三角形的判定和性质”是正确解答本题的关键.26．（1）1AO OF =；（2）详见解析；（3）12. 【解析】 【分析】 （1）连接DE 交AF 于K ，根据平行线分线段成比例定理，即可证得DE ∥BC ，继而可得1123AK AD OK DE AD KF BD OF BC AB =====，，根据比例的性质，即可求得AO OF的值； （2）由n ＝1时，AD ＝BD ，AE ＝CE ，可得O 是△ABC 的重心，继而可得BF ＝CF ； （3）根据（1）的证明方法，即可求得答案．【详解】（1）连接DE 交AF 于K ．∵12AD AE BD CE ==，∴DE ∥BC ，∴1123AK AD OK DE AD KF BD OF BC AB =====，，∴设OK ＝a ，则OF ＝3a ，∴KF ＝4a ，∴AK ＝2a ，∴OA ＝AK +OK ＝3a ，∴AO OF =1； （2）∵n ＝1时，AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴O 是△ABC 的重心，∴AF 是△ABC 的中线，∴BF ＝CF ；（3）∵12AD AE BD CE ==，∴DE ∥BC ，∴1123AK AD OK DE AD KF BD OF BC AB =====，，∴设OK ＝a ，则OF ＝3a ，∴KF ＝4a ，∴AK ＝2a ，∴OA ＝AK +OK ＝3a ，∴AO OF=1，∴当n 12=时，O 为AF 中点． 故答案为：12．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．27．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】(1)证明AD=CD=BC,证明△BCD ∽△BCA,得到BC BD AB BC =.则有AD BD AB AD =,所以点D 是AB 边上的黄金分割点;(2)证明::ACD ABC BCD ACD SS S S =,直线CD 是△ABC 的黄金分割线;【详解】解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点.理由如下:AB=AC,∠A=36o ,∴∠B=∠ACB=72o . ∴CD 是角平分线, ∴∠ACD=∠BCD=36o ,∴∠A=∠ACD,∴AD=CD.∴∠CDB=180o 180-∠B-∠BCD=72o ,∴∠CDB=∠B,∴BC=CD.∴BC=AD.在△BCD 与△BCA 中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=36o ,∴△BCD ∽△BCA, ∴BC BD AB BC = ∴AD BD AB AD= ∴点D 是AB 边上的黄金分割点.(2)直线CD 是△ABC 的黄金分割线.理由如下:设ABC 中,AB 边上的高为h,则12ABC S AB h =⋅,12ACD S AD h =⋅,12BCD S BD h =⋅, ∴::ACD ABC S S AD AB =::BCD ACD S S BD AD =由（1）得点D 是AB 边上的黄金分割点，AD BD AB AD= ∴::ACD ABC BCD ACD S S S S =，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线本题主要考查三角想相似及相似的性质，注意与题中黄金分割线定义相结合解题.。