三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)

2017-2018下学期八年级数学专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用；下面我精选一部分“含”三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点：三角形的中位线平行于三角形第三边，并且等于第三边的一半.1.三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半.追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵.面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的，则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了.追踪练习：以上面的图为例，若⊿ABC 的面积为242cm ，则⊿DEF 的面积为 .2.中点四边形顺次连结四边形四边中点所构成的四边形，我们把它简称为中点四边形.中点四边形是有规律可循的.中点四边形的特殊性主要是看原四边形的对角线的特征，分为下面几种情况：⑴.原四边形的对角线既不相等也不垂直，其中点四边形是个一般的平行四边形. 如图⑴，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，试探究中点四边形EFGH 的形状. 略析：由点E F G H 、、、分别是ABCD 的四边的中点易知：,EH BD GF BD EH GF ∴ 同理：HG EF ;故中点四边形EFGH 的形状是平行四边形. （还有其它方法证明）⑵.原四边形的对角线相等但不垂直，其中点四边形是个菱形.如图⑵，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，且AC BD =,试探究中点四边形EFGH 的形状.略析：由点E F G H 、、、分别是ABCD 的四边的中点易知：易证点四边形EFGH 的形状是平行四边形，由,11EH BD EF AC EH EF 22==∴=；故中点四边形EFGH 是个菱形.⑶.原四边形对的角线垂直但不相等，其中点四边形是个矩形.如图⑶，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，且AC BD ⊥试探究中点四边形EFGH 的形状.略析：由点E F G H 、、、分别是ABCD 的四边的中点易知：易证点四边形EFGH 的形状是平行四边形，由,EH BD EF AC 可以进一步推得HEF 90∠=,故中点四边形EFGH 是个矩形.⑷.原四边形对的角线既垂直又相等，其中点四边形是个正方形.如图⑷，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 的四边的中点，且AC BD AC BD =⊥，，试探究中点四边形EFGH 的形状.略析：由⑵和⑶的方法推理易得点四边形EFGH 既是菱形又是矩形，故中点四边形EFGH 是个正方形. （还有其它方法证明）追踪练习：1.顺次连结平行四边形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；2.顺次连结矩形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；3.顺次连结菱形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；4.顺次连结正方形四边中点所构成的中点四边形的形状是 ；5.顺次连结对角线互相垂直等腰梯形的四边中点所构成的中点四边形的形状是 .图（1）C 图（2）图（3）图（4）3.三角形的中位线与梯形⑴.连结梯形两腰中点的线段（梯形的中位线）与两底的关系.如图，梯形ABCD 中，AD BC ,E F 、分别是两腰AB DC 、的中点，请探究EF 与AD BC 、的关系. 分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决. 连结AF 延长交BC 的延长线于G 点.根据题中条件易证ADF ≌GCF ,得：AF GF CG AD ==， 在ABG 中，由,AE BE AF GF ==可以推出,1EF BG EF BG 2=.可以进一步得出：(),,1EF BC EF AD EF AD BC 2=+.结论：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一⑵.连结梯形两对角线中点的线段与两底的关系.如图，梯形ABCD 中，,AD BC BC AD >,E F 、分别是两对角线AC BD 、的中点，请探究EF 与AD BC 、的关系. 分析：本题关键是把梯形的中位线转化成三角形的中位线来解决.连结DF 延长交BC 于M 点.根据题中条件易证ADF ≌CMF ,得: DF MF CM AD ==，.在DBM 中，由,DE BE DF MF ==可以 推出,1EF BM EF BM 2=.可以进一步得出：(),,1EF BC EF AD EF BC AD 2=-.结论：连结梯形两对角线中点的线段平行于两底，并且等于两底差的一半. 点评：本例通过连接、延长使⊿ECF ≌⊿ADE 可以看作是是把⊿ADE 进行切割填补到⊿ECF 处，相当于通过“割补”办法构成三角形，从而使问题 解决！ 追踪练习:1.若一梯形的高为h ，其中位线长为m ，则此梯形的面积为 .2.以上面的⑵题为例的条件的基础上，若增添梯形ABCD 的中位线长为14cm EF 8cm =，，求梯形ABCD 的两底AD BC 、的长分别是多少？4.巧添三角形的中位线来破题添三角形中位线是几何图形辅助线比较常见的辅助线.已知三角形边上的中点，直接连结构成中位线是最常见的添中位线的方式，也是同学们容易想到的；上面第3点可以可以看作是割补构成中位线这里不举例；下面这些例子添三角形中位线的途径有些有一定的技巧性，希望能给同学们从中得到一些启发.⑴.补全三角形，得到三角形的中位线.例.如图E F G H 、、、分别是AB BD CD CA 、、、的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.分析：本题求证的是四边形EFGH 是平行四边形，需要有平行或相等的条件；由本题中点条件自然联想到由三角形的中位线来提供这样的条件，但有中点却没有现成的三角形的中位线；细心同学会发现中点之所在的线段并非是某完整三角形的边，如果我们连结AD 或BC 问 题便解决了.如图，当连结BC 后，在ABC 和DBC ，由于E F G H 、、、分别是AB BD CD CA 、、、的中点，根据三角形的中位线定理可得：,;,.,11HE BC GF BC HE BC GF BC HE GF HE GF 22==∴=.故四边形EFGH 是平行四边形.⑵.再取中点，连成中位线例1. 如图，D 为⊿ABC 的边AB 的中点，,1CE AC OE 23==,求OE的长？分析： 在三角形的一边上有一中点，根据条件很容易再取一中点来连结而成三角形的中位线来解决问题.在ABE 中，又由于D 为AB 的中点，根据三角形的中位线定理可得：,BE 2DF DF BE =;因为已得出E 为线段CF 的中点，根据平行线等分线段（属于选学内容）可以得出O 为线段CD 的中点,即OE 为CDF的中位线，所以,DF 2OE BE 2DF 4OE 8=∴===;所以.OB BE OE826=-=-=例2.四边形ABCD 中，对角线AC BD =,E F 、分别为AB DC 、的中点交点,M N 、为EF 分别与DB AC 、的交点，求证：OM ON =分析：本题的E F 、分别为AB DC 、的中点，但并非为某三角形和梯形（四边形ABCD 没有告诉是梯形）的中位线，本题的E F 、分别为 AB DC 、的中点，若化在ABC 和ABC 来看，它们有一公共边，若在公共边BC 取一中点G ,连结GE GF 、（见图示），此时GE GF 、就 分别是ABC 和ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理可得：且,11GE AC GF BD 22==；又AC BD GE GF GFE GEF =∴=∴∠=∠;∵,GE AC GF BD∴,;ONE GEF OMF GFE ONE OMF OM ON ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=.例3.M N 、分别为AD BC 、的中点，且AB CD =；求证：12∠=∠. 分析：本题要证明的是两个角相等，而两个角相等的直接条件没有，再加上在图形上两个角的位置上有比较分散，所以我们应思考把分散位置上的12∠∠、转化在一起，很容易联想到由平行线来帮忙.由本题有线段中点的条件，所以可以尝试再取一中点连成三角形的中位线来提供平行线. 略证：如图，连结AC ,取出线段AC 的中点E .DBB本题在添加辅助线上有些技巧性，但如果能想到把位置分散的12∠∠、“搬”到同一个三角形中且要使它们相等来解决问题，根据本题提供的条件这样的辅助线是应该想到的.另外例2和例3都有一个都一个共同的特点，要把问题转化到同一个三角形中，关键要找到或构造共同的边的中点,例2的公共边BC 的中点G 和例3构造的公共边AC (对角线)的中点E .⑶.挖出隐含的中点构成中位线.例1.如图，,ME AB ME AB =，D 为线段EC 的中点,A M D 、、求证：四边形ABCD 是梯形 分析：证明四边形ABCD 是梯形当然关键是证明有且只有一组对边平行，根据本题提供的条件就是要证明AD BC .提供平行线除了以前 常用的方法，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径.根据本题的条件已经有了D 为线段EC 的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点，连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的,ME AB ME AB =可以得出：四边形ABME 是平行四边形， 平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线BE 与对角线AM 的交点O 就是线段BE 的中点，在EBC 中，根据三角形的中位线定理可以得出,OD BC AD BC 即.例2. ⊿ABC 中，AD 平分BAC ∠,CD AD ⊥,E 为BC 的中点，求证：分析：本题和例1问题得以解决.如图若我们延长CD 交AB 于带点F ,根据题中条件容易证得AFD ≌ADC ,所以DF DC =,即D 为CF 的中点；又E 为 BC 的中点，根据三角形的中位线定理可以得出,DE FB DE AB 即.例3.BD CE 、分别平分ABC ACB ∠∠、，,AF BD AG CE ⊥⊥ ,垂足分别为F G 、.求证：GF ∥BC分析：本题和例1、例2的思路是一样的，关键是挖出隐含的中点，从 而来使问题得以解决.如图若我们分别延长AG AF 、交BC 于点M N 、,根据题中条件容易证得AGC ≌MGC ,所以AG MG =,即G 为AM 的中点；同中位理可以得到F 为AN 的中点，根据三角形的线定理可以得出,DG MN DG BC 即. 点评:隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破题的一个关键环节；我们同学有的虽然有这方面的知识积累，但却没有这方面的意识，这也难以找到破题的的途径.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一、平行线等分线段、中垂线等等知识点.追踪练习： 1.如图，AD BE CF 、、分别是⊿ABC C 三边中线交于点O ,FM ∥BE ， 1. EM ∥BA . 求证：四边形ADCM 是平行四边形.2.如图，ABC 中，D 为边BC 上的一点，中线BE 与线段AD 交于的F ,且1DF AD 3=，求:BD DC 的值？3.如图正方形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ,BAC ∠的平分线交BD 于点F 求证：1OF CE 2=5.三角形中位线的实际应用举例例.A B 、两点被池塘隔开，现在要测出A B 、两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？略解：在池塘外的空地上取一点C ,用绳子“连结”CA CB 、，测量后取出CA CB 、的中点分别为M N 、，量出M N 、之间的距离，此时AB 2MN =根据是三角形的中位线定理. （见右图图解）追踪练习：怎样测量一座建筑底面是四边形地基（如右图房子）的对角线的长？ 若不进入屋内直接测量有多少种测量方法？请画出线条示意图进行说明.BCA巩固练习：1.如图，已知四边形ABCD ，R P 、 分别为DC BC 、上的点，E F 、分别是AP RP 、的中点，当动点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （） A.线段EF 的长逐渐增大 B.线段EF 的长逐渐减少 C.线段EF 的长不变. D.线段EF 的不能确定2.小明作出了边长为3的第1个正⊿111A B C ，算出了正⊿111A B C ，然后分别取三边的中点222A B C 、、，作出第二个正⊿222AB C ，算出其面积；用同样的方法作出第三个正⊿333A B C ，算出⊿333A B C 面积 …… 则第10个正⊿101010A B C 的面积为 （ ）914⎛⎫ ⎪⎝⎭1014⎛⎫ ⎪⎝⎭912⎛⎫ ⎪⎝⎭1012⎛⎫ ⎪⎝⎭3.如图，□ABCD 的周长为36，对角线AC BD 、交于点O ,点E 是CD 的中点；若BD 12=,则⊿DOE 的周长为 .4. 在Rt ⊿ABC 中，C 90∠=,D E F 、、分别是边AB BC CA 、、 的中点，且AB 25cm BC 20cm ==，，则ED 的长为 .5.如果E F G H 、、、分别为四边形ABCD 的四边的中点（见图）EG FH =；若四边形ABCD 的对角线,AC 2BD 1==,那么四边形ABCD 的面积为 .6.已知，如图矩形ABCD 中，,AB 12BC 5==,O 为对角线BD 的中点，E 是边CD 中点，连接OE ,则四边形AOED 的周长为 .7.如图ABC 中，EF 为三角形的中位线，AD 是BC 边上的中点，点 O 为EF 和AD 的交点.求证：EF 和AD 互相平分.8.如图，点D E F 、、分别是ABC 的三边AB AC BC 、、求证：四边形DFGE 是梯形且两腰相等.9.如图，点E F G H 、、、分别是CD BC AB DA 、、、求证：四边形EFGH 是平行四边形 10. 如图，已知在□ABCD 中，EF ∥BC ,分别交AB CD 、于E F 、两点，DE AF 、交于M ,CE BF 、交于N ．求证:1MN AB 2=.11.已知：E 为ABCD 的边DC 的延长线上的一点，且CE DC =,连结AE 分别交BC BD 、于F G 、，对角线AC BD 、交于点O .求证：AB 2OF =12.菱形ABCD D 的对角线分别为12和16，M N 、分别为BC CD 、的中点，P 是对角线BD上的一动点，求PM PN +的最小值.13.如图，BM CN 、分别平分ABC 的外角ABD ACE ∠∠、，过A 分别作BM CN 、的垂线，垂足分别为M N 、，交CB BC 、的延长线于D E 、，连结MN . 求证：()1MN AB BC AC 2=++14.ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，求证：GF GC =15.ABC 中，CD 是AB 边上的中点，E 为边AC 上的点，且3AE 2AC =，连结BE 交CD 于点AA AO .求证：1OE BE 4=16.在⊿ABC 中，B 2C ∠=∠ AD BC ⊥于D ,M 为BC 中点. 求证：1DM BC 2=。