圆锥曲线题型总结-教师版

圆锥曲线题型总结

运用的知识：

1、中点坐标公式：1022x x x +=，102

2

y y y +=，其中0x ，0y 是点11(,)A x y ，22(,)B x y 的中点坐标.

2、弦长公式：若点11(,)A x y ，22(,)B x y 在直线(0)y kx b k =+≠上，则11y kx b =+，

22y kx b =+，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一

.

AB ===

=

或者AB ===

=3、两条直线1l ：11y k x b =+，2l ：22y k x b =+垂直：则121k k =-. 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v ⋅=

4、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根1x ，2x ，则

12b x x a +=-，12c

x x a

=.

5、点差法：若A 、B 是直线和椭圆的交点，则是M 是弦AB 的中点，则2

2AB OM k k b a

=-⋅，

证明方法：设11)(,A x y 、22(),B x y 、00(),M x y ，

∵11)(,A x y 、22(),B x y 在椭圆上，则22

1122

22

2222

11

x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得22221212220x x y y a b --+=， 化简得2121221212)()(()()y b x y y y x x x a +-+=--，即2

0122012()()y b x x y y x a

-=--，22AB OM k k b a =-⋅；

若A 、B 是直线和双曲线的交点，则是C 是弦AB 的中点，则22AB OM

b k a

k =⋅.

特殊技巧：

弦长秒杀公式：若将直线方程设为一般式0Ax By C ++=，与椭圆方程22

221x y a b

+=联立，

最后可得弦长P Q =. 口诀：小方积，大方和，成对减去单身方，减走单身去下方.

面积最值：1221OPQ

PQ d S ∆⋅⋅==

222222222211

22

a b B C C ab ab A A a B b +-+≤⋅⋅==+.

一些常见的题型归类：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题 题型四：过已知曲线上定点的弦问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题

题型十：范围问题（本质是函数问题）

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22

:

14x y C m

+=始终有交点，求m 的取值范围

解：根据直线l ：1y kx =+的方程可知，直线恒过定点(0,1)，椭圆22

:

14x y C m +=过动点

0（且4m ≠，

如果直线l ：1y kx =+和椭圆22

:14x y C m

+=始终有交点，1≥且4m ≠，即1m ≤且4m ≠. .

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

l ：1y kx =+⇒过定点(0,1) l ：(1)y k x =+⇒过定点(1,0)- l ：2(1)y k x -=+⇒过定点(1,2)-

证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论.

一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；

（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点.

二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：

（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；

（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；

（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；

（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；

（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在.

题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点0()1,T -作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点

00(,)E x ，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由.

分析：过点0()1,T -的直线和曲线N ：2y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 点坐标，最后

倍. 运用弦长公式求弦长. 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0.设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，

22(,)B x y .由2

(1)y k x y x

=+⎧⎨

=⎩消y 整理，得2222

(21)0k x k x k +-+=① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+>，即2

1

04

k <<

②， 由韦达定理，得：2122

21

k x x k

-+=-，121x x =. 则线段AB 的中点为22211(,)22k k k --

，垂直平分线方程为：2

2

1112()22k y x k k k --=--， 令0y =，得021122x k =

-，则211(,0)22

E k -，

∵ABE ∆为正三角形，∴211(

,0)22E k -到直线AB 的距离d .

∵AB ==d =

，

∴2

22k k =，解得k =053x =.

弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，

用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为1-）和平分（中点坐标公式）.