《排列组合》2教案

2．新课

我们先看下面两个问题．

(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1十m 2十…十m n 种不同的方法．

(2) 我们再看下面的问题：

由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条．从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有N ＝m 1 m 2…m n 种不同的方法．

例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

例2：(1)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0，l ，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

【基本概念】

1. 什么叫排列？从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.

3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.

4. 什么叫一个排列？

【例题与练习】

1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a 、b 、c 、d 四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.

【排列数】

1. 定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元

素中取出m 元素的排列数，用符号m n p 表示.

用符号表示上述各题中的排列数.

2. 排列数公式：m n p =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

=1n p ；=2n p ；=3n p ；=4n p ；

计算：25p = ； 45p = ；

215

p = ； 【课后检测】

1. 写出：

① 从五个元素a 、b 、c 、d 、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列；

② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.

③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

2. 计算：

① 3

100p ② 3

6p ③ 28

48p 2p - ④ 712812p p 一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）

1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；

2．排列数的定义，排列数的计算公式

)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!

(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n ∈Z ） 3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1

二、新授：

例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？

⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？

⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ ⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

例2 ： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

例3： 7位同学站成一排．

⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．

三、小结：

1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；

⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；

⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；

2．基本的解题方法：

⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；

⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；

⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种

方法称为“插空法”；

⑷在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．

一、复习：

1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；

2．常见的排队的三种题型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；

⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；

⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．

3．分类、分布思想的应用．

二、新授：

示例一：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

示例二：

⑴八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排法？

⑵不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？

⑶6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？

示例三：

⑴由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？

⑵由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？

示例四：用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．

⑴第114个数是多少？⑵ 3 796是第几个数？

示例五：用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中

⑴能被25整除的数有多少个？

⑵十位数字比个位数字大的有多少个？