6第六讲生产函数与规模报酬定

第六讲 生产函数与规模报酬
• 第一节 基本概念 • 一、生产技术与生产函数 • (一)技术:生产的投入、要素与产出量之间
的关系。 • 生产要素：劳动、原料和资本品。 • 企业的决策约束：资金、市场和技术。
1
• （二）生产集：企业面临的投入品与产出 品的各种组合的集合。
• （三）生产函数：生产集的边界
68
• 四、生产扩展线(expansion path)或扩张线
在要素价格保持不变条件下，对应不同产 量水平的最优要素投入组合点的轨迹。
K A3
EP
A2
K3
E3
AK12
E2
Q3
K1
E1
Q1
Q2
O
L1 B1L2 L3 B2
B3
L
69
• 五、替代效应与产量效应
K A
A′
K1
E1
总效应 替代效应 产量效应 L3 L1 (L2 L1) (L3 L2 )
2
若投入 n-1 种生产要素，x (x1, x2, xn1) 产出 y，则 y=f(x) ={y∈R|y是投入x时的最大产出}
3
• （四）要素需求集：至少生产数量为y的 • 某种产品的投入要素矢量之集，用V（y）
表示 • （五）等产量线：所有生产既定产出水平
的投入要素组合的轨迹
4
具有单一可变投入的生产函数
• 上脊线：
K
– 斜率为无穷的等
斜线，称为上脊线。
• 脊线也不是直线。
• 下脊线：
– 斜率为零的等斜线，
称为下脊线。
L
53
C、Economic Region 经济区
• 上、下脊线之间的区域是具有生产效率的经济区。 • 上、下脊线之外的区域是某一要素边际产量为负
（而另一生产要素的边际产量仍为正）的区域。 • 或者说这是边际技术替代率为正值的区域，也就
f
t
tx
n i1
df x
dxi xi
f
1
x
n MPxi
i1 APxi
n
Exi
i1
61
•（三）替代弹性：在产出量不变时， •要素比率变动的百分比除以技术 •替代率变动的百分比
(x2 / x1)
E ex2 ,RTS
(x2 / x1) RTS
x1
RTS
62
RTS d (x2 / x1) x2 / x1 dRTS
Technical Rate-of-Substitution
x2
x'2 x1'
y x1
Technical Rate-of-Substitution
x2
x'2 x1'
y x1
43
三、最优要素比例的确定 （一）利润函数 设厂商生产一种商品， 其产量为y，产品的价格为p， 生产函数
y f (x) f (x1, x2, xn )
x'2
x"2 x1'
Convexity
tx1' (1 t)x1", tx2' (1 t)x2"
y y
x"1
x1
Convexity
x2
Convexity 暗示 技术替代率（TRS） 是递减的
x'2
x"2 x1'
x"1
x1
二、短期与长期
• 短期：若干种生产要素是无法变更的，即 存在固定投入。
（二）递增规模收益：t 1时
f (tx) tf (x)
65
（三）递减规模收益：
t 1时
f (tx) tf (x)
66
E(x) 1
E(x) 1
E(x) 1
x 处局部规模收益递增 x 处局部规模收益不变 x 处局部规模收益递减
67
例
y f (x1, x2 ) x1a x2b
则 e(x) a b
在P与W既定时
(x1, , xn ) r(x1, , xn ) c(x1, , xn )
46
（二）利润最大化的一价条件
1、收益——成本型
max (x1, x2 , , xn ) r(x1, , xn ) c(x1, , xn )
由 0
xi
得 r c xi xi
(i 1, , n)
44
1、收益函数
r py pf (x1, x2, , xn )
2、利润函数
设W为投入要素x的价格向量
( p, w) r c
pf (x1, , xn ) wx n
pf (x1, , xn ) wi xi
i 1
45
r(x1, , xn ) pf (x1, , xn )
c(x1, , xn ) wx
x2 All isoquants are hyperbolic, asymptoting to, but never touching any axis.
y" > y' y x1a1xa22
x1a1xa22 y"
x1a1xa22 y' x1
11
（七）生产技术的性质 1.单调性:拥有超额的投入至少不会损 害企业
dt f (tx) t1
58
n
E(x) Exi i 1
59
df tx
d
ln f d ln
tx t
f tx
dt
t
df tx
dt
f
t
tx
n df tx i1 d txi xi
t
f tx
60
lim
t1
d
ln f d ln
tx t
lim t1
n i1
df tx d txi xi
K3
E3
K2
E2
Q2
替代效应
Q1
O
L1
总效应
L2 B1L3
B′
产量效应
L B2
70
六、技术进步的测定 设 y A(t) f (L, k)
A(t)为时间t的函数
ln y ln A(t) ln f
71
全微分得
1 dy dA(t) df
y
A(t) f
df
A(t)df
A(t)[ f dL f dk] L K
47
即边际收益=边际成本
(1)若 r c xi xi
则应增加i的投入即扩展规模
(2)若 r c xi xi
则应减少i的投入量，即需缩小规模
48
2、生产函数型
max (x) pf (x) wx
x (x1, , xn )
w (w1, , wn )
由 0
xi
得p
f (x) xi
wi
i 1, , n
y
y
76
在规模报酬不变时
f (tk,tL) tf (k, L)
77
两边对t求导
f • k f • L f (k, L) k L
MPk • k MPL • L y
两边同乘P得
V • k w• L py来自百度文库
78
二、 联合生产
• 联合产品是指由单一生产过程中生产出两种以上 的产品。
• 一.简单情况： • 厂商用一种投入产出两种产品(q1，q2)， • 厂商的生产函数用隐函数表示为：
y 0 xi
i 1, , n
34
且是凹函数（边际报酬递减）
H
2 y x2
2 y ( xix j
)nn
，为负定矩阵
35
一维情况下的凹函数条件：
2 f x2
0
y
x
36
在二维（或不考虑其它因素）的情况下
y f (x1, x2 )
37
令y=c（常数）时，
考察 x1 的增加或减少会导致 x2
的改变量
• 因此，在TP曲线 变化最大时的点处 首先达到最高点， 而后下降；
TP
P
22
（三）
• AP曲线，是TP曲 Q 线上点与原点连 线斜率的值的轨迹。
• 因此，在过原点作 TP曲线的切线，在 该切点处达到最高 点，而后下降。 X
23
（四）
• 在AP曲线的最高点 Q
时，AP曲线与MP曲 线相交； • 因为，在该处，既 有TP曲线与原点的 连线，该线又是该 点处的切线； • AP曲线除原点外， 不会与横轴相交；
Ⅰ
TP
AP
Ⅱ MP Ⅲ 29
Ⅱ
• AP＞MP≥0阶段。 • 效率应当也必然是在这一阶段中出
现；
30
Ⅲ
• 即： AP＞MP
Q
MP＜0 阶段
• 由于减少投入，
MP可以上升，
从而TP增加；
• 所以也肯定是
生产缺乏效率的。
TP
AP
MP X
31
五、短期中劳动最优投入量
• 设企业利润为π，劳动价格为w，资本的价 格为r,产品的价格为p,则
d ln(x2 / x1) d ln | RTS |
—等产量线的曲率
说明等产量线斜率变化时，要素比率如 何变化。若等产量线斜率的小变化引起 要素比率的大变化．说明等产量线是相 当平坦的，也说明替代弹性是大的。
63
替代弹性 小
x2
替代弹 性大
x1
64
三、规模报酬
设 y f (x) t 0
（一）不变规模收益： f (tx) tf (x)
x V ( y)
且 x x
则 xV ( y)
12
2.凸性
x, xV ( y),t [0,1] tx (1 t)xV ( y)
13
x2
x'2
x"2 x1'
凸性
y
x"1
x1
x2
x'2
x"2 x1'
Convexity
tx1' (1 t)x1", tx2' (1 t)x2"
y
x"1
x1
x2
f
f
0 dy x1 dx1 x2 dx2
dx2 f / x1 dx1 f / x2
38
MRTSx1 ,x2
dx2 dx1
f / x1 MPx1 f / x2 MPx2
技术替代率实际上是等产量线的斜率
39
技术替代率
• 企业用什么样的比例去用一种投入去 替代另一种投入而不改变产出水平？
• （一）投入品 的产出弹性：
df x
Exi
f x
df
x •
xi
dxi
dxi f x
xi
MPxi APxi
56
（二）生产力（规模）弹性
设x为定数，令 y(t) f (tx)
规模弹性
dy / y
E(x) ey,t
t 1
dt / t
t 1
57
dy(t) t dt y t1
df (tx) t
是缺乏生产效率的区域。
54
• 生产经济区(economic region of production) 与脊线(ridge line)
K
K1 Kmin
O
K替代L的极限
B
MPK=0
B3 生产经济区
B1 Lmin
B2
A2
A1
Q1
A1’
L1 L1’
A
A3
Q3
Q2
L替代K的极限
MPL=0
L
55
二、产出弹性、生产力弹性与替代 弹性
f A(t) f
y
1 y dL 1 y dk y L y k
72
又
eL
y L
L y
ek
y k
k y
dy y
d ( A(t)) A(t)
eL
dL L
ek
dk k
即
d ( A(t)) A(t)
dy y
eL
dL L
eK
dk k
即为技术进步贡献率。
73
第五节 齐次生产函数与范围经济
• 一、齐次生产函数与欧拉定理
74
（一）齐次生产函数 若 t 0 时，f (tx) tk f (x)
k 1 时， 递增
k 1 时， 不变 0 k 1 时，递减
75
（二）欧拉定理—耗尽性分配定理
• 在规模报酬不变时，劳动和资本按边际生产 力理论分得的收入，应竭尽总的产品收入。
W • L V • K py
MPL • L MPk • k 1
Output Level y’
y”
生产集
x’
x
Input Level
（六）常见的生产函数 1.列昂惕夫生产函数 Y=min(ax1,bx2)
6
x2
a=b
x17
• 2.线性生产函数 • Y=ax1+bx2
8
x2
a=b
x19
• 3.C-D生产函数
y Ax1 x2
10
Cobb-Douglas Technologies
• 当这种可变生产要素的投入量小于某一特 定价值，增加该要素投入所带来的边际产 量是递增的；
• 当这种可变要素的投入量连续增加并超过 这个特定值时，增加该要素投入所带来的 边际产量是递减的。
27
四、生产的三个阶段
28
Ⅰ
• MP＞AP阶段 • 增加投入，可
以提高AP，所 以，在该阶段， 生产是缺乏效 率的；
即要素的边际产量的价值=要素价格
49
p f (x) xi wi
p f (x) wj x j
MP
即
xi
MP
xj
wi wj
50
第四节生产扩张与规模报酬
• 一、生产经济区
51
A、等斜线
• 等斜线：
K
• 各等产量曲线上，
斜率相等的点的轨
迹。
。 。 。
• 这是一条从原点出 发的曲线。
L
52
B、Ridge Lines 脊线
• 长期：所有生产要素都是可以变动的。
18
第二节短期生产函数与生产决策
• 一、短期生产函数 • Y=f(L) • 二、总产量、平均产量与边际产量的关系
19
总产量（TP） 平均产量（AP） 边际产量(MP)
20
（一）
• TP，AP，MP都是
倒U型曲线；
Q
TP
X
21
（二）
• MP曲线是TP曲线 Q 的导数。
TP
AP
X MP 24
Q f (L) 最大的必要条件: LL
(
f
(L) L
)
'
Lf
'(L)-f(L) L2
0
f '(L)= f (L) L
25
（五）
• 在TP曲线的最高点处，MP下降为 零。
• 而后TP曲线下降； • 除原点外，TP曲线也不与横轴相
交；
26
三、边际报酬递减规律
• 在技术水平和其它要素不变的条件下，增 加某种可变生产要素
• π=pf(L,K)-wL-rK • 由dπ/dL=0 • 得pdf/dL=w • 又df/dL=MPL即劳动的边际产量 • 故pMPL=w
32
第三节长期生产函数与要素组合比 例
• 一、长期生产函数 • 所有的要素都是可变的
33
二、边际技术替代率
设 y f (x1, , xn )
一般生产函数是递增的：