坐标系与参数方程

坐标系与参数方程
坐标系与参数方程

第一节 坐标系

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:

???

x

′=λx ,λ>0,y ′=μy ,μ>0

的作用下,点P (x ,y )对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

2.极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系:如图1所示,在平面内取一个定点O (极点),自极点O 引一条射线Ox (极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

图1

(2)极坐标:平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M 的极坐标.其中ρ称为点M 的极径,θ称为点M 的极角.

3.极坐标与直角坐标的互化

点M

直角坐标(x ,y ) 极坐标(ρ,θ) 互化公式

???

x =ρcos θ,

y =ρsin θ

ρ2=x 2+y 2 tan θ=y

x (x ≠0)

4.圆的极坐标方程

曲线

图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆

ρ=r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0),半径为r 的圆

ρ=2r cos_θ

? ??

??-π

2≤θ≤π2

圆心为? ????

r ,π2,半径为r 的圆

ρ=2r sin_θ (0≤0<π)

(1)直线l 过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l 的极坐标方程是θ=α(ρ∈R ).

(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴,则直线l 的极坐标方程为ρcos θ=a ? ??

??-π

2<θ<π2. (3)直线过M ? ?

???b ,π2且平行于极轴,则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ=b (0<θ

<π).

第二节 参数方程

1.曲线的参数方程

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数???

x =f (t ),

y =g (t )并且对于t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点

M (x ,y )都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程,如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g (t ),那么???

x =f (t ),

y =g (t )就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中,

必须使x ,y 的取值范围保持一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹 普通方程 参数方程

直线

y -y 0=tan α(x -x 0)

???

x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α

(t 为参数)

x 2

+y 2

=r 2

?

?? x =r cos θ,y =r sin θ(θ为参数) 椭圆

x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)

???

x =a cos φ,y =b sin φ

(φ为参数) 温馨提示:在直线的参数方程中,参数t 的系数的平方和为1时,t 才有几何意义且几何意义为:|t |是直线上任一点M (x ,y )到M 0(x 0,y 0)的距离. 重点1 坐标系与参数方程

1.极坐标和直角坐标互化的前提条件是: (1)极点与直角坐标系的原点重合;

(2)极轴与直角坐标系的x 轴正半轴重合;

(3)两种坐标系取相同的长度单位.设点P 的直角坐标为(,)x y ,它的极坐标为(,)ρθ,

则互化公式是cos sin x y ρθρθ=??=?或222

tan x y y x ρθ?=+?

?=

??

;若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应

注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ,在转化过程中注

意不要漏解,特别是在填空题和解答题中,则更要谨防漏解.

2.消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径,常用方法有代入消元法(包括集团代人法)、加减消元法、参数转化法和三角代换法等,转化的过程中要注意参数方程中,x y 含有的限制条件,在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性. 3.参数方程的用途主要有以下几个方面:

(1)求动点(,)x y 的轨迹,如果,x y 的关系不好找,我们引入参变量t 后,很容易找到x 与

t 和y 与t 的等量关系式,消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程

中起桥梁作用. (2)可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标,这样把二元问题化为一元问题来解决,这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能.

(3)有些曲线参数方程的参变量t 有几何意义.若能利用参变量的几何意义解题,常会取得意想不到的效果.如利用直线标准参数方程中t 的几何意义解题,会使难题化易、繁题化简.

[高考常考角度]

角度1 若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 .

解析:关键是记住两点:1、cos ,sin x y ρθρθ==,2、2

2

2

y x +=ρ即可.

由已知

22sin 4cos 2sin 4cos ρθθρρθρθ=+=>=+2224,

x y y x =>+=+22420x y x y ∴+--=为所求.

角度2在极坐标系中,点 (,

23

到圆2cos ρθ=的圆心的距离为( )

A. 2

B.

2

49

π+

C.

2

19

π+

D.

3

解析:极坐标(,

23化为直角坐标为(2cos

,2sin )33

ππ

,即(1,3).圆的极坐标方程

2cos ρθ=可化为22cos ρρθ=,化为直角坐标方程为222x y x +=,即22(1)1x y -+=,所以圆心坐标为(1,0),则由两点间距离公式

22(11)(30)3d =-+-=.故选D.

角度3 已知两曲线参数方程分别为5cos (0)sin x y θ

θπθ?=??=??≤<和25()4x t t R y t

?

=?∈??=?,

它们的交点坐标为 .

解:5cos sin x y θθ?=??=??表示椭圆2215x y +=(0)y ≥,254x t y t ?

=???=?

表示抛物线2

45y x = 联立得2

22215

450145x y x x x y x ?+=??=>+-==>=??=??

或5x =-(舍去),

又因为0y ≥,所以它们的交点坐标为25

(1,)5

角度4 直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点

,A B 分别在曲线1C :3cos 4sin x y θ

θ

=+??=+?(θ为参数)和曲线2C :1ρ=上,则||AB 的最小值

为 .

点评:利用化归思想和数形结合法,把两条曲线转化为直角坐标系下的方程.

解析:曲线1C 的方程是2

2

(3)(4)1x y -+-=,曲线2C 的方程是2

2

1x y +=,两圆外离,所以||AB 2234113+-=.

角度5 在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为???==??

sin cos y x (?为参数),曲线2

C 的参数方程为?

??==??

sin cos b y a x (0>>b a ,?为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的

极坐标系中,射线l :θα=与1C ,2C 各有一个交点.当0α=时,这两个交点间的距离

为2,当α=

2

π

时,这两个交点重合. (Ⅰ)分别说明12,C C 是什么曲线,并求出a 与b 的值; (Ⅱ)设当α=

4

π时,l 与12,C C 的交点分别为11,A B ,当α=4π

-时,l 与12,C C 的交点为

22,A B ,求四边形1221A A B B 的面积.

解析:(Ⅰ)12,C C 的普通方程分别为2

2

1x y +=和22

221x y a b

+=,故1C 是圆,2C 是椭圆.

当0α=时,射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a ,因为这两点间的距离为2,所以3a =. 当2

π

α=时,射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b ,因为这两点重合,

所以1b =.

(Ⅱ)12,C C 的普通方程分别为2

2

1x y +=和2

2 1.9

x y += 当4

π

α=时,射线l 与1C 交点A 1的横坐标为22x =,与2C 交点B 1的横坐标为

310.x '=

当4

π

α=-

时,射线l 与12,C C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称,因此,

四边形1221A A B B 为梯形.

故四边形1221A A B B 的面积为(22)()2

.25

x x x x ''+-=

易失分点1 参数的几何意义不明

典例 已知直线l 的参数方程为1223x t y ?

=??

??=??(t 为参数),若以平面直角坐标系xOy 中

的O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C 的极坐标方程为2cos().4

π

ρθ=-

(1)求直线l 的倾斜角;

(2)若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求||AB .

易失分提示:对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误.

解析:(1)直线的参数方程可以化为cos 32sin 23x t y t ππ?

=??

??=+??

,根据直线参数方程的意义,直线l

经过点2(0,

)2,倾斜角为3

π

. (2)l 的直角坐标方程为2

32

y x =+

,即23220x y -+= 曲线C 2cos()4

π

ρθ=-

的直角坐标方程为2222()()122

x y -

+-=, 所以圆心22

(

,)22

到直线l 的距离22|2322|

6224124

d ?

-?+==+ 所以 2610

||21()42

AB =?-=

易失分点2 极坐标表达不准

典例 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos ,0,ρθρθρ==≥则曲线1C 与2C 交点的极坐标为_________________

易失分提示: 本题考查曲线交点的求法,易错解为:由方程组

2323

cos 33

4cos cos 662

ρρρθππρθθθ??===???

=>=>???==-

?=????或 即两曲线的交点为23,

6

π

()或23,6

π

-

()

正解解析:由方程组2323cos 33

4cos 2cos 62

k ρρρθπρθθπθ??===???=>=>???==-?=????或23

26k ρπθπ?=?

?=+

?? 即两曲线的交点为(23,2)6k π

π-

或(23,2),6

k k Z π

π+∈

在极坐标系中,有序实数对的集合{(,)|,}R ρθρθ∈与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对(,)ρθ,在极坐标系中可以唯一确定一个点,但极坐标系中的一点,它的极坐标不是唯一的,若点M 不是极点,(,)ρθ是它的一个掇坐标,那么M 有无穷多个极坐

标(,2)k ρθπ+与(,(21)),k k Z ρθπ-++∈

各类题型展现:

1. (本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 方程为5cos (3sin x y ?

??=??=?

为参数)

(1)求过椭圆的右焦点,且与直线42(3x t

t y t

=-??

=-?为参数)平行的直线l 的普通方程.

(2)求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值。

解析:(1)由已知得椭圆的普通方程为

22

1,2594259

x y c +=∴=-=,右焦点为(4,0), 直线的普通方程为220x y -+=,所以1

2

k =

,于是所求直线方程为1(4)

2y x =-即240x y --=.

(2)4||60sin cos 30sin S xy ??===2?, 当22

π

?=时,面积最大为30.

2. (本小题满分10分)

在极坐标系中,已知圆C 的圆心(2,)4

C π

,半径3=r .

(Ⅰ)求圆C 的极坐标方程;

(Ⅱ)若[0,)4π

α∈,直线l 的参数方程为?

??+=+=αα

sin 2cos 2t y t x (t 为参数),直线l 交圆C 于

A B 、两点,求弦长AB 的取值范围.

解析:(Ⅰ)方法一:∵圆心(2,

)4

C π

的直角坐标为(1,1),∴圆C 的直角坐标方程为

()()3112

2=-+-y x .

化为极坐标方程是()01sin cos 22

=-+-θθρρ. 方法二:如图,设圆

C

上任意一点

()θρ,M ,则

2222cos CM OM OC OM OC COM =+-?∠

222(3)(2)22)

4

π

ρρθ=+-- 化简得

()01sin cos 22=-+-θθρρ.........4分

(Ⅱ)将??

?+=+=α

αsin 2cos 2t y t x 代入圆C 的直角坐标方程()()3112

2-+-y x ,

得()()3sin 1cos 12

2

=+++ααt t 即()01cos sin 22

=-++ααt t

所以 ()1,cos sin 22121-=?+-=+t t t t αα. 故()()ααα2sin 224cos sin 442

2

122121+=++=-+=-=t t t t t t AB ,

∵[0,

)2[0,)42

π

π

αα∈=>∈,∴3222<≤AB , 即弦长AB 的取值范围是[22,23)..................10分 3. (本小题满分10分)

已知直线l 的参数方程是2

22

422

x t y t ?

=

??

??=+??

(t 是参数),圆C 的极坐标方程为2cos()4

π

ρθ=+.

(Ⅰ)求圆心C 的直角坐标;

(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值。

22cos()2cos 2sin 2cos 2sin 4

π

ρθρθθρρθρθ=+=>=-=>=-

得 圆的直角坐标方程为22

220x y x y +-+= 即2222()()122

x y -

++=, 所以 圆心C 的直角坐标为22

(

,)22

- (Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线,切线长为

22

222222(

)(42)1840(4)24262222

t t t t -+++-=++=++≥所以,当4t =-时,切线长的最小值为26

4. (本小题满分10分)

在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为)2

,332(

),0,2(π

,圆C 的参数方程O

x

M

C

θθ

θ

(sin 23cos 22??

?+-=+=y x 为参数) (Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系。

解析:(Ⅰ)由题意知,,M N 的直角坐标为(2,0)M ,23

(0,

)3

M ,因为P 是线段MN 中点,则3(1,

)3

P 因此OP 直角坐标方程为 33y x =

(Ⅱ)因为直线l 上两点(2,0)M ,23

(0,

)3

M ∴l 的方程为:

1223

3

x y +=即320x y +-=,又圆心(2,3)-,半径2r =. 所以|232|3

222

d r --=

=<=,故直线l 和圆C 相交.

5.(本小题满分10分)

在直角坐标系xOy 中,圆221:4C x y +=,圆22

2:(2)4C x y -+=

(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程

解析:圆1C 的极坐标方程为=2ρ,圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ,解=2

=4cos ρρθ??

?

=2,=3

π

ρθ±

故圆1C 与圆2C 交点的坐标为(2,),(2,)33

π

π

- ……5分 注:极坐标系下点的表

示不唯一

(2)(解法一)由=cos =sin x y ρθ

ρθ

???,得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为(1,3),(1,3)-

故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1

,33x t y t

=?-≤≤?=? (t 为参数)

(或参数方程写成1

,33x y y y

=?-≤≤?=?) … 10分

(解法二)将1x =代入=cos =sin x y ρθρθ

??

?,得cos =1ρθ,从而1

=cos ρθ

于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为1,tan 3

3x y ππ

θθ=?-≤≤?=? … 10分

补充练习:

1.在极坐标系中,求点? ????2,π6到直线ρsin ? ????

θ-π6=1的距离. [解] 点? ?

???2,π6化为直角坐标为(3,1),3分

直线ρsin ? ????

θ-π6=1化为ρ? ????32sin θ-12cos θ=1,

得32y -1

2x =1,

即直线的方程为x -3y +2=0,6分 故点(3,1)到直线x -3y +2=0的距离d =

|3-3×1+2|12

+(-3)

2

=1.10分

2.在极坐标系下,已知圆O :ρ=cos θ+sin θ和直线l :ρsin ? ????

θ-π4=22.

(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;

(2)当θ∈(0,π)时,求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标. [解] (1)圆O :ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,2分 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2=x +y , 即x 2+y 2-x -y =0,4分

直线l :ρsin ? ????

θ-π4=22,即ρsin θ-ρcos θ=1,

则直线l 的直角坐标方程为y -x =1,即x -y +1=0.6分

(2)由????? x 2+y 2-x -y =0,x -y +1=0,得?????

x =0,

y =1,

8分

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为? ?

?

??1,π2.10分

3.(2017·邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l 的极坐标方程为ρsin ? ????

θ+π4=

1,圆C 的圆心的极坐标是C ? ?

?

??1,π4,圆的半径为1.

(1)求圆C 的极坐标方程; (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长.

[解] (1)设O 为极点,OD 为圆C 的直径,A (ρ,θ)为圆C 上的一个动点,则∠AOD =π4-θ或∠AOD =θ-π

4,2分

OA =OD cos ? ????π4-θ或OA =OD cos ? ????

θ-π4,

∴圆C 的极坐标方程为ρ=2cos ? ????

θ-π4.4分

(2)由ρsin ? ????

θ+π4=1,得22ρ(sin θ+cos θ)=1,6分

∴直线l 的直角坐标方程为x +y -2=0,

又圆心C 的直角坐标为? ????

22,22,满足直线l 的方程,

∴直线l 过圆C 的圆心,8分

故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分

4.(2017·南京调研)在极坐标系中,已知圆C 的圆心C ? ?

???3,π3,半径r =3.

(1)求圆C 的极坐标方程;

(2)若点Q 在圆C 上运动,点P 在OQ 的延长线上,且OQ →=2QP →

,求动点P 的轨迹方程.

[解] (1)设M (ρ,θ)是圆C 上任意一点. 在△OCM 中,∠COM =????

??

θ-π3,由余弦定理得

|CM |2=|OM |2+|OC |2-2|OM |·|OC |cos ? ????

θ-π3,

化简得ρ=6cos ? ????

θ-π3.4分

(2)设点Q (ρ1,θ1),P (ρ,θ), 由OQ →=2QP →,得OQ →=23OP →

, ∴ρ1=2

3ρ,θ1=θ,8分

代入圆C 的方程,得23ρ=6cos ? ????

θ-π3,

即ρ=9cos ? ??

??

θ-π3.10分

5.(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:???

x =t cos α,

y =t sin α(t 为参数,t ≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.

(1)求C 2与C 3交点的直角坐标;

(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值. [解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-23x =0,2分

联立?????

x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-23x =0,

解得?????

x =0,

y =0或???

??

x =3

2,y =32.

所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和? ??

??

32,32.4分

(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.

因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(23cos α,α).8分 所以|AB |=|2sin α-23cos α|=4??????sin ? ?

???α-π3.

当α=5π

6时,|AB |取得最大值,最大值为4.10分

6.从极点O 作直线与另一直线l :ρcos θ=4相交于点M ,在OM 上取一点P ,使OM ·OP =12.

(1)求点P 的轨迹方程;

(2)设R 为l 上的任意一点,求|RP |的最小值.

[解] (1)设动点P 的极坐标为(ρ,θ),M 的极坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.

2分

∵ρ0cos θ=4,

∴ρ=3cos θ,即为所求的轨迹方程. 4分 (2)将ρ=3cos θ化为直角坐标方程, 得x 2+y 2=3x ,

即? ????x -322+y 2=? ??

??

322. 8分 知点P 的轨迹是以? ????

32,0为圆心,半径为32的圆. 直线l 的直角坐标方程是x =4.

结合图形易得|RP |的最小值为1. 10分

7.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为???

x =1+3cos t ,

y =-2+3sin t (t 为参

数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为2ρsin ? ??

??

θ-π4=m (m ∈R ).

(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程;

(2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.

[解] (1)消去参数t ,得到圆C 的普通方程为(x -1)2+(y +2)2=9.2分 由2ρsin ? ????

θ-π4=m ,得ρsin θ-ρcos θ-m =0,

所以直线l 的直角坐标方程为x -y +m =0.4分 (2)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2,8分 即

|1-(-2)+m |

2

=2,

解得m =-3±2 2.10分

8.极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为???

x =2+t ,

y =3t (t 为参数),曲线C 的极

坐标方程为ρsin 2θ=8cos θ.

(1)求曲线C 的直角坐标方程;

(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求弦长|AB |. [解] (1)由ρsin 2θ=8cos θ,得ρ2sin 2θ=8ρcos θ, 故曲线C 的直角坐标方程为y 2=8x .4分 (2)将直线l 的方程化为标准形式???

?

?

x =2+12t ,y =32t .

6分

代入y 2=8x ,并整理得3t 2-16t -64=0,t 1+t 2=163,t 1t 2=-64

3.8分 所以|AB |=|t 1-t 2|=

(t 1+t 2)2-4t 1t 2=32

3.10分

9.(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程; (2)直线l 的参数方程是???

x =t cos α,y =t sin α

(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB |

=10,求l 的斜率.

[解] (1)由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.4分

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ). 设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,

于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.8分 |AB |=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2

144cos 2α-44.

由|AB |=10得cos 2α=38,tan α=±153. 所以l 的斜率为153或-15

3.10分

10.(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈???

?

??0,π2.

(1)求C 的参数方程;

(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l :y =3x +2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.

[解] (1)C 的普通方程为(x -1)2+y 2=1(0≤y ≤1).

可得C 的参数方程为?????

x =1+cos t ,

y =sin t

(t 为参数,0≤t ≤π).4分

(2)设D (1+cos t ,sin t ),由(1)知C 是以C (1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直,

所以直线CD 与l 的斜率相同,tan t =3,t =π

3.8分

故D 的直角坐标为? ?

???1+cos π3,sin π3,

即? ??

??

32,32.10分 11.(2017·湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为???

x =sin α+cos α,y =1+sin 2α

(α为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin ? ????

θ+π4=2,曲线C 2的极坐标方程为ρ=22

a cos ? ??

??

θ-3π4(a >0).

(1)求直线l 与曲线C 1的交点的极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π); (2)若直线l 与C 2相切,求a 的值.

[解] (1)曲线C 1的普通方程为y =x 2,x ∈[-2,2],直线l 的直角坐标方程为x +y =2,

联立????? y =x 2,x +y =2,解得????? x =1,y =1或?????

x =-2,y =4

(舍去).

故直线l 与曲线C 1的交点的直角坐标为(1,1),其极坐标为? ?

???2,π4.4分

(2)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2+2ax -2ay =0,即 (x +a )2+(y -a )2=2a 2(a >0).8分

由直线l 与C 2相切,得|-a +a -2|

2

=2a ,故a =1.10分

12.(2017·福州质检)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为???

x =3cos α,y =sin α

(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin ? ??

??

θ-π4= 2.

(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角;

(2)设点P (0,2),l 和C 交于A ,B 两点,求|P A |+|PB |.

[解] (1)由?????

x =3cos α,y =sin α消去参数α,得x 29+y 2

=1,

即C 的普通方程为x 29+y 2

=1.2分

由ρsin ? ????

θ-π4=2,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)

将?????

x =ρcos θ,y =ρsin θ代入(*),化简得y =x +2, 所以直线l 的倾斜角为π

4.4分

(2)由(1)知,点P (0,2)在直线l 上,可设直线l 的参数方程为?????

x =t cos π

4,

y =2+t sin π

4(t

为参数),

即???

??

x =2

2t ,y =2+2

2t

(t 为参数),

代入x 29+y 2

=1并化简,得5t 2+182t +27=0, Δ=(182)2-4×5×27=108>0,8分 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,

则t 1+t 2=-1825<0,t 1t 2=27

5>0,所以t 1<0,t 2<0,

所以|P A |+|PB |=|t 1|+|t 2|=-(t 1+t 2)=182

5.10分

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析

【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习知识要点 一、13 1.若点P 的直角坐标为() 1,3-,则它的极坐标可以是( ) A .52, 3 π?? ?? ? B .42, 3 π?? ?? ? C .72, 6 π?? ?? ? D .112, 6π?? ?? ? 【答案】A 【解析】 【分析】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<,计算出ρ和tan θ的值,结合点P 所在的象限求出θ的值,可得出点P 的极坐标. 【详解】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<,则() 2 2132ρ=+-=,3 tan 31 θ-= =-. 由于点P 位于第四象限,所以,53πθ=,因此,点P 的极坐标可以是52,3 π?? ??? ,故选:A. 【点睛】 本题考查点的直角坐标化极坐标,要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式,同时还要结合点所在的象限得出极角的值,考查运算求解能力,属于中等题. 2.化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为( ) A .2202x y y +==或 B .2 x = C .2202x y x +==或 D .2y = 【答案】C 【解析】 由题意得,式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=,即0ρ=或cos 20ρθ-=,所以x 2+y 2=0或x=2,选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ,利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化. 3.参数方程 (为参数)所表示的图象是

A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由,得,代入,经过化简变形后得到曲线方程,但需注意曲线方程中变量、的符号,从而确定曲线的形状。 【详解】 由题意知将代入,得, 解得,因为,所以.故选:D。 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程之间的转化,参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法:①加减消元法;②代入消元法;③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围,从而得出相关变量的取值范围。 4.在同一直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由,得代入函数,化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析 式。 【详解】 由伸缩变换得,代入,有, 即.所以变换后的曲线方程为.故选:C。

选修坐标系与参数方程高考复习讲义

选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容,主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程,主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化,是研究曲线的工具,特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的,明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点: 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: ??? x′=λ·x, λ>0, y′=μ·y, μ>0 的作用下,点P(x ,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴 Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记为M(ρ,θ)不做特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. 3.极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点,它的直角坐标是(x ,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表: 点M 直角坐标(x ,y) 极坐标(ρ,θ) 互化公式 ?? ? x =ρcos θy =ρsin θ ? ?? ρ2=x 2+y 2 tan θ=y x x≠0

《坐标系与参数方程》练习题(含详解)

数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1.若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数,则直线的斜率为( ) A . 23 B .2 3- C .32 D .32 - 2.下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是( ) A .1(,2 B .31 (,)42 - C . D . 3.将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为( ) A .2y x =- B .2y x =+ C .2(23)y x x =-≤≤ D .2(01)y x y =+≤≤ 4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为( ) A .2 01y y +==2 x 或 B .1x = C .2 01y +==2 x 或x D .1y = 5.点M 的直角坐标是(1-,则点M 的极坐标为( ) A .(2, )3π B .(2,)3π- C .2(2,)3π D .(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为( ) A .一条射线和一个圆 B .两条直线 C .一条直线和一个圆 D .一个圆 二、填空题 1.直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2.参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3.已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ,又点(1,2)A ,

高考数学压轴专题郑州备战高考《坐标系与参数方程》知识点总复习含答案解析

数学《坐标系与参数方程》复习知识点 一、13 1.已知M 点的极坐标为(2,)6 π --,则M 点关于直线2 π θ= 的对称点坐标为( ) A .(2, )6 π B .(2,)6 π - C .(2, )6 π - D .11(2, )6 π - 【答案】A 【解析】 M 点的极坐标为2,6π?? -- ?? ? ,即为5(2, )6π∴ M 点关于直线2π θ=的对称点坐标为(2,)6 π,选A. 点睛:(,)(,),ρθρθπ=-+(,)ρθ关于2 π θ= 对称点为(,)ρπθ-,关于0θ=对称点为 (,)ρθ-. 2.化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为( ) A .2202x y y +==或 B .2 x = C .2202x y x +==或 D .2y = 【答案】C 【解析】 由题意得,式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=,即0ρ=或cos 20ρθ-=,所以x 2+y 2=0或x=2,选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ,利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化. 3.已知圆的参数方程2cos 2sin x y θ θ =??=?(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=,则直线与圆的位置关系 是( ) A .相切 B .相离 C .直线过圆心 D .相交但直线不过圆 心 【答案】D 【解析】 【分析】 分别计算圆和直线的普通方程,根据圆心到直线的距离判断位置关系.

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题 1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数) (Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程. (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. +=1 , , 的距离为 则 取得最小值,最小值为 2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为: ,曲线C的参数方程为:(α为参数). (I)写出直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值. 的极坐标方程为: cos=

∴ y+1=0 ( d= 的距离的最大值. 3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. :(化为普通方程得:+ t=代入到曲线 sin =,),﹣

4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为 ,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C 上不同于A,B的任意一点. (Ⅰ)求圆心的极坐标; (Ⅱ)求△PAB面积的最大值. 的极坐标方程为,把 ,利用三角形的面积计算公式即可得出. 的极坐标方程为,化为= 把 ∴圆心极坐标为; (t , = 距离的最大值为 5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.

坐标系与参数方程知识点

坐标系与参数方程 知识点 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?g g 的作用 下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示 ,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射 线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示 : (2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是 (,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ=?? =? 222 tan (0)x y y x x ρθ=+= ≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r 的圆 (02)r ρθπ=≤< 圆心为(,0)r ,半径为r 的圆 2cos ()2 2 r π π ρθθ=- ≤< 圆心为(, )2 r π ,半 径为r 的圆 2sin (0)r ρθθπ≤<

坐标系与参数方程(题型归纳)

坐标系与参数方程 (一)极坐标系: 1、定义:在平面内取一个定点O ,叫做极点,引一条射线Ox ,叫做 极轴,再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内的任意一点M ,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角,ρ叫做点M 的极径,θ叫做点M 的极角,有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式: ★极坐标与直角坐标的互化公式:? ??==θρθ ρsin cos y x , ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提: ①极点与直角坐标的原点重合;②极轴与x 轴的正方向重合;③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如:极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=(在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ , 然后进行整体代换即可) 3、求极坐标方程的两种方法: ★处理极坐标系中问题大致有两种思路: (1)公式互化法:把极坐标方程与直角坐标方程进行互化; (2)几何法:利用几何关系(工具如:三角函数的概念、正弦定理、余弦定理)建立ρ与θ的方程. (二)参数方程: 1、参数方程的定义: 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??,那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程,其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧: (1)代入法:()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 (2)整体消元法:2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数,由222112t t t t ?? +=++ ???可得:22x y =+ (3)三角函数法:利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如:22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数

选修4-4坐标系与参数方程练习题及解析答案

高中数学选修4-4经典综合试题(含详细答案) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.曲线与坐标轴的交点是(). A. B. C. D. 2.把方程化为以参数的参数方程是(). A. B. C. D. 3.若直线的参数方程为,则直线的斜率为().A. B. C. D. 4.点在圆的(). A.内部B.外部C.圆上D.与θ的值有关 5.参数方程为表示的曲线是(). A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线 6.两圆与的位置关系是(). A.内切 B.外切 C.相离 D.内含 7.与参数方程为等价的普通方程为(). A. B.

C. D. 8.曲线的长度是(). A. B. C. D. 9.点是椭圆上的一个动点,则的最大值为().A. B. C. D. 10.直线和圆交于两点, 则的中点坐标为(). A. B. C. D. 11.若点在以点为焦点的抛物线上,则等于().A. B. C. D. 12.直线被圆所截得的弦长为(). A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. 13.参数方程的普通方程为__________________. 14.直线上与点的距离等于的点的坐标是_______.15.直线与圆相切,则_______________. 16.设,则圆的参数方程为____________________.

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分) 求直线和直线的交点的坐标,及点与的距离. 18.(本小题满分12分) 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点, 求的值及相应的的值. 19.(本小题满分12分) 已知中,(为变数), 求面积的最大值. 20.(本小题满分12分)已知直线经过点,倾斜角, (1)写出直线的参数方程. (2)设与圆相交与两点,求点到两点的距离之积.21.(本小题满分12分) 分别在下列两种情况下,把参数方程化为普通方程: (1)为参数,为常数;(2)为参数,为常数. 22.(本小题满分12分) 已知直线过定点与圆:相交于、两点.求:(1)若,求直线的方程; (2)若点为弦的中点,求弦的方程. 答案与解析:

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系,表示边长为1的正六边形的顶点。

坐标系与参数方程

坐标系与参数方程 1.在极坐标系中,以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系,点M (2, 6 π )的直角坐标是( ) A .(2,1) B .(3,1)C .(1,3) D .(1,2) 2.曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为( ) A.4)2(22=++y x B.4)2(2 2=-+y x C.4)2(22=+-y x D.4)2(2 2=++y x 3.点() 3,1-P ,则它的极坐标是.( ) A .??? ? ?3, 2π B .?? ? ??34,2π C .??? ??-3,2π D .??? ??- 34,2π 4.已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos(θ-3 π )=-1,曲线C 2的极坐标方程为ρ=22cos (θ- 4 π).以极点为坐标原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值. 5.=4ρθ圆cos 的圆心的极坐标是( ) A.0(2,) B.22 π (,)C.2π(,) D.-2 π(2,) 6.(坐标系与参数方程)设方程?? ???+=+=θθ sin 3cos 1y x ,(θ为参数).表示的曲线为C , (1)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值(2)点P 为曲线C 上的动点,当|OP|最小时(O 为坐标原点),求点P 的坐标。 7.在极坐标系中,已知两点A 、B 的极坐标分别为(33π,),(6 4π ,),则△AOB (其中 O 为极点)的面积为. 8.在极坐标系中,点)6, 2(π 到直线1)6 sin(=-π θρ的距离是_______. 9.已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=(0,02ρθπ>≤<),曲线C 在点(2,4π )处 的切线为l ,以极点为坐标原点,以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则l 的直角坐标方程为. 10.在极坐标系中,已知两圆C 1:ρ=2cos θ和C 2:ρ=2sin θ,则过两圆圆心的直线的极坐标方程是________________________________________. 11.已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=,则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+=

2018届二轮(理)专题十八坐标系与参数方程专题卷(全国通用)

2018衡水名师原创理科数学专题卷 专题十八 坐标系与参数方程 考点58:极坐标与直角坐标(1-6题,13,14题,17-19题) 考点59:参数方程(7-12题,15,16题,20-22题) 考试时间:120分钟 满分:150分 说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上 第I 卷(选择题) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 1.【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点58 易 在极坐标系中,点()1,0与点()2,π的距离为 ( ) A.1 B.32.【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷)考点58 中难 下列极坐标方程中,对应的曲线为如图的是( ). (A )θρcos 56+= (B )65sin ρθ=+ (C )θρcos 56-= (D )65sin ρθ=- 3.【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(江西卷) 考点58 中难 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为( ) A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4 πρθθθ=≤≤+ C.cos sin ,02π ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04π ρθθθ=+≤≤ 4.【来源】2015届上海市闸北区高三下学期期中练习 考点58 中难 在极坐标系中,关于曲线:4sin 3C πρθ??=- ???的下列判断中正确的是 A 、曲线C 关于直线56πθ=对称 B 、曲线C 关于直线3 πθ=对称

选修4-4坐标系与参数方程-高考题-分类汇总-(题目和答案)

坐标系与参数方程 1、(2011天津)下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数) 上的点是( ) A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理,5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ=2cos θ的圆心的距离为( ) A .2 B. 4+π 2 9 C. 1+π2 9 D. 3 3、(2011·北京理,3)在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是( ) A .(1,π2) B .(1,-π 2 ) C .(1,0) D .(1,π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ=cos θ和参数方程? ?? ?? x =-1-t y =2+3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A .圆、直线 B .直线、圆 C . 圆、圆 D .直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( ) A .两个圆 B .两条直线 C .一个圆和一条射线 D .一条直线和一条射线 6.N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中,圆ρ=4sin θ的圆心到直线θ= π 6 (ρ∈R )的距离是________. 7.N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x =2+t , y =-1-t (t 为参数)与曲线 ???? ? x =3cos α,y =3sin α (α为参数)的交点个数为________. 8.N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x =t ,y =t (t 为参数)和 ?? ? x =2cos θ,y =2sin θ (θ为参数),则曲线C 1与C 2的交点坐标为________. 9.N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:????? x =t +1,y =1-2t (t 为参数)与曲线C 2:? ?? ?? x =a sin θ, y =3cos θ(θ为参数,a >0)有一个公共点 在x 轴上,则a =________. 10.N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系.已知射线θ=π 4与曲线? ???? x =t +1,y =t -12 (t 为参数)相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为________. 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x =5cos θ y =5sin θ ? ????θ为参数,0≤θ≤π2和 ? ????x =1-2 2t y =-2 2 t (t 为参数),则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________. 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中,圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理,15)直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线C 1: ? ???? x =3+cos θy =4+sin θ(θ 为参数)和曲线C 2:ρ=1上,则|AB |的最小值为________. 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ=1与圆ρ=2cos θ相交的弦长为________. 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中,曲线C 1:ρ(2·cos θ+sin θ)=1与曲线C 2:ρ=a (a >0)的一个交点在极轴上,则a =__________. 17.(2011·天津理,11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x =8t 2 , y =8t ,(t 为 参数),若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆(x -4)2 +y 2 = r 2(r >0)相切,则r =________. 18.(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x =5cos θ y =sin θ (0≤θ<π)和????? x =54 t 2 y =t (t ∈R ),它们的交点坐标为________. 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??, (t 为参数), 在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点, 以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程; ②设点P 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x =2cos φ, y =3sin φ,(φ为参数),以坐标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2, 正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π 3 ). (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标; (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点,求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2 的取值范围.

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案(精选.)

选修4-4教案 教案1平面直角坐标系(1课时) 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换(1课时)教案3极坐标系的的概念(1课时) 教案4极坐标与直角坐标的互化(1课时) 教案5圆的极坐标方程(2课时) 教案6直线的极坐标方程(2课时) 教案7球坐标系与柱坐标系(2课时) 教案8参数方程的概念(1课时) 教案9圆的参数方程及应(2课时) 教案10圆锥曲线的参数方程(1课时) 教案11圆锥曲线参数方程的应用(1课时) 教案12直线的参数方程(2课时) 教案13参数方程与普通方程互化(2课时) 教案14圆的渐开线与摆线(1课时)

课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:互动五步教学法 教具:多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲: 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境,设置疑问 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 分组讨论 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标

专题训练:坐标系与参数方程(全国卷)

选修4-4 坐标系与参数方程 1.(2012·江苏卷)在极坐标系中,已知圆C 经过点P ????2,π4,圆心为直线ρsin ????θ-π3=-32与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程. 2.(2013·福建卷)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为????2,π4,直线l 的极坐标方程为ρcos ????θ-π 4=a ,且点A 在直线l 上. (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程; (2)圆C 的参数方程为? ???? x =1+cos α, y =sin α(α为参数),试判断直线l 与圆C 的位置关系.

3.(2013·郑州市质量预测)已知在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为? ???? x =2+2cos θ y =2sin θ(θ 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 的方程为ρsin ??? ?θ+π 4=2 2. (1)求曲线C 在极坐标系中的方程; (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长. 4.(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为? ???? x =t +1, y =2t (t 为参数),曲 线C 的参数方程为? ???? x =2tan 2 θ, y =2tan θ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公 共点的坐标.

5.设直线l 过点P (-3,3),且倾斜角为5π6 . (1)写出直线l 的参数方程; (2)设此直线与曲线C :? ??? ? x =2cos θ,y =4sin θ(θ为参数)交于A ,B 两点,求|PA |·|PB |. 6.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角 坐标系,设直线l 的参数方程为??? x =5+32t y =1 2t (t 为参数). (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程; (2)设曲线C 与直线l 相交于P ,Q 两点,以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形,求该矩形的面积.

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《坐标系与参数方程》难题汇编附答案

高考数学《坐标系与参数方程》课后练习 一、13 1.如图,边长为4的正方形ABCD 中,半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动(包含端点A 、C 、D ),P 是圆Q 上及其内部的动点,设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v (,m n ∈R ),则m n +的取值范围是( ) A .[21,221]-+ B .[422,422]-+ C .22 [1,2]22- + D .22 [1,2]44 - + 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示平面直角坐标系,可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标,进而可得BP u u u r 的坐标.分类讨论,当 动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时,利用圆的参数方程相关知识,设出点P 坐标,再利用三角函数求m n +的最值. 【详解】 解:建立如图所示平面直角坐标系,可得, (0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ,可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r , 当点Q 在CD 上运动时,设(4,), [0,4]Q t t ∈, 则点P 在圆Q :22 (4)()1x y t -+-=上及内部, 故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤,

则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r , 44cos 4sin m r n t r θθ =+?∴?=+?, 444(sin cos )4sin 4m n t r t πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???, 04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q , 当50,1,4t r πθ===时,m n +取最小值为44-,即14 -; 当4, 1,4 t r π θ=== 时,m n +24+ m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ; 当点Q 在AD 上运动时,设(,4),[0,4]Q s s ∈, 则点P 在圆Q :22 ()(4)1x s y -+-=上及其内部, 故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤, 则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r , 4cos 44sin m s r n r θθ =+?∴?=+?, 444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???, 04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q , 当50,1,4s r πθ===时,m n +取最小值为44-,即14 -; 当4, 1,4 s r π θ=== 时,m n +取最大值为 84 +,即24+, m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ; 故选:D . 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系,考查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2.点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=,则2 ρ的最大值为( ) A . 7 2 B .4 C . 92 D .5

坐标系与参数方程-知识点总结

坐标系与参数方程 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

坐标系与参数方程(解析版)

专题14 坐标系与参数方程 1.【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13, 24x t y t =+=+??? (t 为参数),则点(1,0)到直线l 的距离是 A . 1 5 B . 25 C . 45 D . 65 【答案】D 【解析】由题意,可将直线l 化为普通方程:12 34 x y --=,即()()41320x y ---=,即4320x y -+=,所以点(1,0)到直线l 的距离6 5 d = =,故选D . 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查. 2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值. 【答案】(1)22 1(1)4 y x x +=≠-;l 的直角坐标方程为2110x +=;(2 . 【解析】(1)因为2 21111t t --<≤+,且() 2 2 2 22 222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+,所以C 的直角坐标方程为2 2 1(1)4 y x x +=≠-. l 的直角坐标方程为2110x ++=. (2)由(1)可设C 的参数方程为cos , 2sin x y αα=??=? (α为参数,ππα-<<). C 上的点到l π4cos 11 α? ?-+ ?= 当2π3α=- 时,π4cos 113α? ?-+ ?? ?取得最小值7,故C 上的点到l .

坐标系与参数方程专题

坐标系与参数方程专题 1、(南京市、盐城市2019届高三第二次模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程 2x t y =??? =+??(t 为参数),曲线C 的参数方程为cos x y θ θ =???=??(θ为参数),点P 是曲线C 上的任意一点.求点P 到直线l 的距离的最大值. 2、(南京市2019届高三第三次模拟)在极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=1,以 极点O 为坐标原点,极轴Ox 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程为 ???x =r cos α+2,y =r sin α-1 (其中α为参数,r >0),若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且AB =3,求r 的 值. 3、(南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟(二))在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的 参数方程为(x a t y t ?=+?? =??为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为:4cos ρθ=,若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围。 4、(七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第一次模拟(2月)) 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是2 x t y t =??=? , (t 为参数).以原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程是sin()4 ρθπ- 求:(1)直线l 的直角坐标方程; (2)直线l 被曲线C 截得的线段长. 5、(七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第二次模拟) 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1x t y t =+??=?, ( t 为参数),椭圆C 的参数方程 为)(sin cos 2为参数, θθθ?? ?? ?==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,求线段AB 的长.

坐标系与参数方程(带答案)

坐标系与参数方程专题 ? 温故知新 1.坐标系 (1)坐标变换 设点P (x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:? ????x ′=λ· x (λ>0)y ′=μ·y (μ>0)的作用下, 点P (x ,y )对应到点(λx ,μy ),称φ为坐标系中的伸缩变换. (2)极坐标系 在平面内取一个定点O ,叫做极点;自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 设M 是平面内任意一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角,记为θ,有序数对(ρ,θ)叫做点M 的极坐标,记为M (ρ,θ). 2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x ,y )和(ρ,θ),则???? ?x =ρcos θy =ρsin θ,?????ρ2=x 2+y 2tan θ=y x (x ≠0) . 3.直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0; (2)直线过点M (a ,0)且垂直于极轴:ρcos_θ=a ; (3)直线过M (b ,π 2)且平行于极轴:ρsin_θ=b . 4.圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0,θ0),半径为r ,则该圆的方程为: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r 2 =0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为r :ρ=r ; (2)当圆心位于M (a ,0),半径为a :ρ=2a cos_θ; (3)当圆心位于M (a ,π 2 ),半径为a :ρ=2a sin_θ. ? 举一反三 考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 例1、 求双曲线 C :x 2- y 2 64=1经过φ:?????x ′=3x ,2y ′=y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标. [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′,y ′),由上述可知,将?????x =13x ′,y =2y ′,代入x 2 -y 264=1,得x ′29-4y ′264=1,化简得x ′29-y ′2 16 =1, 即x 29-y 2 16 =1为曲线C ′的方程,可见仍是双曲线,则焦点F 1(-5,0),F 2(5,0)为所求. 变式练习 1.在同一平面直角坐标系中,将直线x -2y =2变成直线2x ′-y ′=4,求满足图象变换的伸缩变换. 解:设变换为?????x ′=λx (λ>0),y ′=μy (μ>0),代入第二个方程,得2λx -μy =4,与x -2y =2比较系数得λ=1,μ=4,即? ?? ??x ′=x , y ′=4y .因此,经过变换? ????x ′=x , y ′=4y 后,直线x -2y =2变成直线2x ′-y ′=4. 考点二、极坐标与直角坐标的互化 例2、 (2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A ,B 两点.若△AOB 是等边三角形,求a 的值. [解] 由ρ=4sin θ,可得x 2+y 2=4y ,即x 2+(y -2)2=4. 由ρsin θ=a ,可得y =a . 设圆的圆心为O ′,y =a 与x 2+(y -2)2=4的两交点A ,B 与O 构成等边三角形,如图所示. 由对称性知∠O ′OB =30°,OD =a . 在Rt △DOB 中,易求DB =3 3 a , ∴B 点的坐标为?? ? ?33a ,a . 又∵B 在x 2+y 2-4y =0上,

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