嘉兴市高三上学期期末教学质量检测

2015-2016学年度第一学期嘉兴市高三期末教学质量检测(数学文科) （2016年1月）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示 锥体的高第I 卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=U R ，集合}1)21(|{≤=x x A ，}086|{2≤+-=x x x B ，则B A ⋂为A ．}0|{≤x xB ．}42|{≤≤x xC ．20|{≤<x x 或}4≥xD ．20|{<≤x x 或}4>x2．下列函数中，既是奇函数又在区间),0(+∞上为增函数的是 A ．x y ln = B ． 3x y = C ．2x y = D ．x y sin = 3．设βα,是两个不同的平面，m 是直线，且α⊂m ，则“β⊥m ”是“βα⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知平面内三点C B A ,,满足1==CA AB ,3=BC ，则BC AB ⋅为 A ．23B ．23－ C ．23 D ．23－5．已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x A x f的部分图象如图所示，则=)(πfA ．3B ．0C ．2-D ． 1x 125π12π-2xO6．设{}n a 是等比数列，下列结论中正确的是A ．若021>+a a ，则032>+a aB ．若031<+a a ，则021<+a aC ．若210a a <<，则3122a a a +<D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a7．已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MO MA MF MF =⊥,21，则椭圆的离心率为 A ．510B ．32C ．22D ．7728．若平面点集M 满足：任意点M y x ∈),(，存在),0(+∞∈t ，都有M ty tx ∈),(，则称该点集M 是“t阶聚合”点集．现有四个命题：①若}2|),({x y y x M ==，则存在正数t ，使得M 是“t 阶聚合”点集； ②若}|),({2x y y x M ==，则M 是“21阶聚合”点集； ③若}042|),({22=+++=y x y x y x M ，则M 是“2阶聚合”点集； ④若}1|),({22≤+=y x y x M 是“t 阶聚合”点集，则t 的取值范围是]1,0(． 其中正确命题的序号为 A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④第Ⅱ卷 非选择题部分 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．函数x x x f cos sin 3)(⋅=的最小正周期为 ▲ ，)(x f 的最小值是 ▲ ． 10．已知等差数列}{n a 是递增数列,n S 是}{n a 的前n 项和,若51,a a 是方程09102=+-x x的两个根，则公差=d ▲ ，=5S ▲ ．11．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-140x y x y x 表示的平面区域为M ，则平面区域M 的面积为 ▲ ；若点),(y x P 是平面区域内M 的动点，则y x z -=2的最 大值是 ▲ ．12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是 ▲ ， 表面积是 ▲ ．13．已知实数y x ,满足13422=++xy y x ，则y x +2的最大值为 ▲ ．14．已知圆心在原点，半径为R 的圆与ABC ∆的边有公共点，其中)4,2(),8,6(),0,4(C B A ，则R 的取值范围是 ▲ ．（第12题图）111正视图 侧视图俯视图315．在正方体1111D C B A ABCD -中，Q P ,分别是棱11,D A AB 上的动点，若AC PQ ⊥,则PQ 与1BD 所成角的余弦值的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ab c b a 23222=-+． （Ⅰ）求2cosC的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值．17．（本小题满分15分）已知数列}{n a 中31=a ，其前n 项和n S 满足23211-=+n n a S ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n b 是公差为3的等差数列，11=b ．现将数列}{n a 中的 n b b b a a a ,,,21抽出，按原有顺序组成一新数列}{n c ，试求数列}{n c 的前n 项和n T ．18．（本小题满分15分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ， 且⊥AE 平面CDE ，1=AE ．（Ⅰ）求证：⊥CD 平面ADE ；（Ⅱ）求BE 与平面ABCD 所成角的余弦值．19．（本小题满分15分）已知函数)(1||)(R x a x x x f ∈+--=． （Ⅰ）当1=a 时，求使x x f =)(成立的x 的值；A B CDE（第18题图）（Ⅱ）当)3,0(∈a ，求函数)(x f y =在]2,1[∈x 上的最大值． 20．（本小题满分15分）已知抛物线C 的方程为)0(22>=p px y ，抛物线的焦点到直线22:+=x y l 的距离为554． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点）（2,0x R 在抛物线C 上，过点)11(，Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点B A ,， 若直线BR AR ,分别交直线l 于N M ,两点，求MN 最小时直线AB 的方程．文科数学答案及评分参考 2016年1月一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．xy NRAOB M Q（第20题图）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBABDCDC二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．） 9． π 23-10． 2 2511． 1 2 12．3 731++13．7142 14． ]10,558[ 15．]1,33[三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ab c b a 23222=-+． （Ⅰ）求2cosC的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值． 解：（Ⅰ）由余弦定理得：432232cos 222==-+=ab abab c b a C ， （3分）∴4312cos2cos 2=-=C C ． （5分） ∴4142cos±=C ， ∵)4,0(2π∈C ，∴4142cos =C （7分） （Ⅱ）若2=c ，则由（Ⅰ）知：ab ab ab ab b a =-≥-+=343)(2822，（10分） 又47sin =C ， （12分） ∴747821sin 21=⨯⨯≤=∆C ab S ABC ， 即ABC ∆面积的最大值为7． （14分）17．（本小题满分15分）已知数列}{n a 中31=a ，其前n 项和n S 满足23211-=+n n a S ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n b 是公差为3的等差数列，11=b ．现将数列}{n a 中的 n b b b a a a ,,,21抽出，按原有顺序组成一新数列}{n c ，试求数列}{n c 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）当1=n 时，32321211=-==a a S ，∴92=a （2分） ∵23211-⋅=+n n a S ， ∴)2(,23211≥-⋅=-n a S n n ， 相减得：)2(31≥=+n a a nn ，∴n n n a a 3322=⋅=-， （5分） 当1=n 时，符合n n a 3=， （6分） 所以n n a 3=． （7分） （Ⅱ）23)1(1-=-+=n d n b b n ， （9分）23233--===n n b n a a c n （12分）∴}{n c 是以3为首项，以27为公比的等比数列，)127(263271)271(3-=--=n n n T （15分）18．（本小题满分15分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ， 且⊥AE 平面CDE ，1=AE ． （Ⅰ）求证：⊥CD 平面ADE ；（Ⅱ）求BE 与平面ABCD 所成角的余弦值。

（Ⅰ）证明：∵正方形ABCD ，∴CD AD ⊥ （2分）∵⊥AE 平面CDE ， ∴CD AE ⊥， （5分） 又∵A AD AE = ，∴⊥CD 面ADE ， （7分）（Ⅱ）过E 作AD EF ⊥交AD 于F ，连BF ，∵⊥CD 面ADE ，EF CD ⊥，D AD CD = （9分） ∴⊥EF 平面ABCD ，∴EBF ∠为BE 与平面ABCD 所成的角， （12分） 5=BE ，21,23==AF EF ，∴217=BF ， 10855217cos ===∠BEBFBEF （15分）19. （本小题满分15分）FAB CDE第18题已知函数)(1||)(R x a x x x f ∈+--=． （Ⅰ）当1=a 时，求使x x f =)(成立的x 的值；（Ⅱ）当)3,0(∈a ，求函数)(x f y =在]2,1[∈x 上的最大值。

解：（Ⅰ）1=a 时，1|1|)(+--=x x x f① 1≥x 时，x x x =+--1)1(，∴12=x ，1±=x ，∴1=x （3分）② 1<x 时，x x x =+--1)1(，1=x 无解综上：1=x ； （6分）（Ⅱ）当⎩⎨⎧<+-≥++-=)(1)(1)(22a x ax x a x ax x x f ，作出示意图，① 当10≤<a 时，)(x f 在]2,1[上递减，故a f x f ==)1()(max ； （9分）② 当21<<a 时，)(x f 在],1[a 上递增，]2,[a 上递减，故1)()(max ==a f x f ；（12分） ③ 当32<≤a 时，)(x f 在]2,1[a上递减，]2,2[a 上递增， 且232<=a x 是函数的对称轴，故a f x f 25)2()(max -==； 综上：)32()21()10(251)(<≤<<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a x f 。