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高考数学数列大题训练
1. 已知等比数列 { a n }中,a 2 ,a 3 , a 4 分别是某等差数列的第
5 项、第 3 项、第
2 项，且
a 1 64, 公比 q 1
（Ⅰ）求 a n ；（Ⅱ）设 b n log 2 a n ，求数列 {| b n |}的前 n 项和 T n .
解析：
(1) 设该等差数列为 { c n } ，则 a 2 c 5 ， a 3 c 3 ， a 4 c 2 Q c 5
c 3
2d 2(c 3 c 2 )
(a 2 a 3 ) 2( a 3 a 4 ) 即： a 1q a 1q 2 2a 1q 2 2a 1q 3
1
q 2q(1 q) ，Q q 1 ，
2q
1, q 1 ，
a
64g( 1 ) n 1
2
2
(2) b n log 2[64 g( 1
n 1
)] 6 (n 1)
7 n ， { b n } 的前 n 项和 S n
n(13 n)
2
2
当 1 n 7 时， b n
0 ，
T n
S n
n(13 n)
（8 分）
2
当 n
8 时， b n 0 ， T n b 1 b 2 L b 7
b 8 b 9 L b n
S 7 (b 8 b 9
L b n ) S 7 (S n S 7 )
2S 7
S n
42 n(13 n)
2
n(13 n)
(1 n 7,n
N * )
T n
2
42 n(13 n)
N *
(n 8, n )
2
2. 已知数列 { a n } 满足递推式 a n 2a n 1 1(n 2) ，其中 a 4 15.
（Ⅰ）求 a 1 , a 2 ,a 3 ；
（Ⅱ）求数列 { a n } 的通项公式；
（Ⅲ）求数列 { a n } 的前 n 项和 S n
解：（ 1）由 a n 2a n 1
1及 a 4 15 知 a 4
2a 3 1,
解得： a 3
7, 同理得 a 2
3, a 1 1.
（ 2）由 a n
2a n 1 1
知
a n
1 2a n 1 2
a n 1 2(a n 1
1)
a n 1 构成以 a 1
1
2 为首项以 2 为公比的等比数列；
a n 1(a 1 1) 2n 1 ； a n 1 2n ,
a n
2n 1. 为所求通项公式
（ 3）
a n
2n 1
S n a 1 a 2 a 3 ...... a n
(21 1) (2 2
1) (2 3
1) ...... (2 n 1)
(2 1 2 2
3
......
2 n
)
n
2(1 2n )
n 2 n 1
2 n.
2
1 2
3． 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且有 a 1 2 ， 3S n 5a n a n 1
3S
n
1
(n
2)
（1）求数列 a n 的通项公式；
（2）若 b n
(2 n 1)a n ，求数列 a n 的前 n 项的和 T n 。
解： 由 3S n
3S n 1
5a n
a n 1 (n 2) ， 2a n
a
n 1 ，又
Q a 1
2 ，
a n
1
a n
，
1
2
{ a n } 是以 2 为首项， 1 为公比的等比数列， a n
2 ( 1
) n 1
( 1)n 2
22
n
2
2
2
b n (2 n 1)22 n ， T n 1 21 3 20 5 2 1 L L (2 n 1) 22 n （ 1）
1
T n
1 20 3
2 1 L L
(2n 3) 22 n (2n 1) 21 n
（ 2）
（1）—（ 2）得
1
2
T n
2
2(2 0
21
L L 2 n
) (2n
1 n
2
2 1) 2
即：1
T n 2 2[1 (2 1) n 1]
(2 n 1)
21 n
6 (2n 3)
21 n
， T n 12
(2 n 3) 22 n
2
1 2 1
4. 已知数列 { a n } 满足 a 1 1，且 a n
2a n 1 2 n (n 2,且 n
N *)．
（Ⅰ）求 a 2 ， a 3 ；（Ⅱ）证明数列 { a n } 是等差数列；
2n
（Ⅲ）求数列 { a n } 的前 n 项之和 S n
解：（Ⅰ） a 2
2a 1 22 6 ， a 3 2a 2 23
20 ．
（Ⅱ）
a n
2 a n 1 2 n ( n
2 , 且 n
N *)，
∴
a
n
a
n 1
1(n
2,且 n N *
) ， 即
a n
a
n 1
1( n 2, 且 n N * ) ．
2n
2n 1
2 n
2n 1
∴数列 {
a n } 是首项为 a 1 1 ，公差为 d
1的等差数列．
2
n
2
1
2
a n
1 (n 1)d
1 ( n 1) 1
n
1
, ∴ a n
1 n
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得
2 2 2 ( n) 2
2n
2
S n 1 21 3 22 5 23
( n 1 ) 2n
(1)
2 2 2
2
2S n 1 22
3 23 5 2
4 (n 1 1
) 2n
(n 1 ) 2n 1 ( 2)
2
2
2
2
2
(1) (2)得 S n
1 2
2
2
3
2
n
1 ) 2n 1
2 22
23
2n
(n
1 ) 2n 1
1
( n 2
2
2(1 2n )
(n 1 ) 2n 1 1 (3 2n) 2n
3 ． ∴ S n (2n 3)
2n 3 ．
1 2
2
5. 已知数列 a n 满足 a 1 3， a n a n 1 2a n 1 1.
（1）求 a 2 ， a 3 ， a 4 ；
（2）求证：数列
1
是等差数列，并写出
a n 的一个通项。
a n
1
解： （ 1） a
2
5 7
9
,a 3
, a 4
7
3 5
（ 2）证明：由题设可知
a n
0且 a n 1, n N
a n a n 1 2a n 1 1
a
n 1
1 a n
1a n 1
1 a n 1
1
1
1
a n 1 a n 1 1
1 是以 1
首 ，
公差的等差数列
a n
1
2
1
故
1 1
n 1 n
1 a n
2
1 2n 1
a n 1
2
2
2n 1
2n
1
6. 数列 a n 的前 n 和 S n ， a 1 1， a n
1
2S n (n N * )
（Ⅰ）求数列
a n 的通 a n ；
（Ⅱ）求数列
na 的前 n 和 T n
n
解：（Ⅰ） Q a n
1
2S n ，
S n
1
S n 2S n ， S n 1 3
S
n
又Q S
a 1 ， 数列 S 是首
，公比
3
的等比数列， S n 3n 1 (n N * )
1
1
n
1
当 n ≥ 2 ， a n
2S n 1 2g3n 2 (n ≥ 2) ，
，
n
，
a n 1
1
n
2， n ≥ ．
g3
2
（Ⅱ） T n a 1 2a 2 3a 3 L
na n ，
当 n
1 ， T 1
1；
当 n ≥ 2 ， T n 1
4g30 6g31 L
2ng3n
2
，????①
3T n 3 4g31 6g32 L
2ng3n 1 ，?????????②
①
② 得： 2T n
2 4 2(3
1
3
2
L
3
n 2
) 2ng3
n
1
2 2g
3(1
3n 2 ) 2ng3n 1
1 3
1 (1 2n) g3n 1
T n
1 n 1 3n 1 (n ≥ 2) 又Q T 1 a 1 1也 足上式，
2 2
T n
1 n
1
3n 1 (n ≥ 2)
2
2
7. a 1 2,a 2 4,b n a n 1 a n , b n 1
2b n 2 . 求 ：
⑴数列 {b n +2} 是公比 2 的等比数列；
⑵ a n 2n 1
2n ；
⑶ a 1
a 2
a n
2n 2
n(n
1) 4.
解：
⑴
b n 1 2 2(b n
b n 1 2 2)
b n
2
2 b 1 a 2
a 1 2
b 2 2b 2
2 6
数列 {b n +2} 是首 4 公比 2 的等比数列；
⑵由⑴知 b 2 4 2n 1 2n 1
n
b
2n 1
2 a
n 1
a
2n 1
2
n
n
a 2
a 1
22 2
a 3 a 2
23 2
??
a n
a
n 1
2n
2
上列（ n-1 ）式子累加： a n
2 (22 23
2 n ) 2n
a n
2n 1
2n
⑶ a 1
a 2
a n
(2 2
23
2n 1 )2 n(n 1) .
2
a 1 a 2 a n
2n 2
n(n 1) 4
8. 已知各 都不相等的等差数列 { a n } 的前六 和 60，且 a 6 为 a 1和 a 21 的等比中 .
（ 1）求数列 { a n } 的通 公式 a n 及前 n 项和 S n ；
（ 2）若数列
{ b n } 满足 b n 1 b n
a n (n N ), 且
b 1
1 } 的前 n 和n .
3,求数列 {
T
b n
解：（ 1） 等差数列 { a n } 的公差 d ，
6a 1 15d
60,
解得
d
2,
a 1 (a 1
20d ) (a 1 5d ) 2
a 1
5.
a n 2n 3. S n
n(5
2n 3) n(n
4)
2
（ 2）由 b n 1 b n
a n ,
b n
b
n 1
a n 1 (n 2, n N ).
当 n 2时 , b n (b n
b n 1 ) ( b n 1 b n 2 ) L ( b 2 b 1 ) b 1
a
n 1
a
n 2
L
a 1
b 1 ( n 1)( n 1 4) 3
n ( n 2). 对 b 1
3也适合 ,
b n
( 2)( n
N )
1 1 1 1
1 n n
b n
n(n
2) 2 (
).
n
n 2
T n
1(1111 1
1 ) 1 ( 3
1
1 ) 2
3 2 4
n n 2 2 2 n 1 n 2
3n 2 5n
4(n 1)(n 2)
9. 已知 S n 是 数 列 a n 的 前 n 项和 ， a 1
3 , a 2 2 ， 且 S n 1 3S n 2S n 1 1 0 ， 其 中
2
n 2,n
N * .
① 求证数列
a n 1 是等比数列；
② 求数列 a n 的前 n 项和 S n .
解： ① Q S n 1 3S n 2S n 1 1 0
S
n 1
S n 2(S n S n 1 ) 1
a n 1 2a n 1(n 2)
又 a 1 3 , a 2
2 也满足上式，
a n
1
2a n 1(n N * )
2
a n 1 1 2(a n 1) （ n
N * ）
数列 a n
1 是公比为 2，首项为 a 1 1
1 的等比数列
2
（2）由①， a n 1
1 2n 1
2n
2
a n 2n
2
1
2
于是 S n a 1 a 2 ... a n
2 1
1
20 1
21 1
...
2n 2
1
2 1 20 21 ...2n 2
n
2n
1 n
2
10. 已知 S n 是数列 { a n } 的前
n 项和，并且
a 1 =1，对任意正整数
n ， S n 1
4a n 2 ；设
b n a n 1 2a n (n 1,2,3,
）.
（I ）证明数列{ b n}是等比数列，并求{b n } 的通项公式；
（II）设 C n b
n ,T n为数列 {1
}
的前 n 项和，求T n . 3log 2 C n1log 2 C n 2
解析：（ I ）S n14a n2,S n4a n12(n2),
两式相减： a n14a n4a n 1 (n2),
a n14(a n a n1 )(n2),
b n a n12a n ,
b n1 a n22a n14( a n1 a n )2a n 1 , b n 12(a n12a n)2b n (n N*),
b
n 12,{ b n } 是以2为公比的等比数列，
b n
b1a22a1 , 而 a1a24a12,a23a1 2 5,b1523,
b n3 2 n1 (n N *)
（II） C n b n
2n1,
111
3log 2 C n 1
log
2
C
n 2log 2 2n log 2 2n 1n( n
,
1)
而
111
, T n(11) (1 1) (1 1)(
1
1) 11.
n( n 1) n n 12 2 3 3 4n n 1n 1