必修一函数经典例题

例4．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。 解：∵log 4log 4m n <， ∴

4411

log log m n

<，

当1m >，1n >时，得4411

0log log m n

<<，

∴44log log n m <， ∴1m n >>． 当01m <<，01n <<时，得

4411

0log log m n

<<，

∴44log log n m <， ∴01n m <<<．

当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <，

∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．

综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 例5．求下列函数的值域：

（1）2log (3)y x =+；（2）2

2log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．

解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令2

3t x =-，则03t <≤，

∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令2

2

47(2)33t x x x =-+=-+≥，

当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为[log 3,)a +∞， 当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例6

．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。

x >恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞，

2()log )f x x -=

2log =-

2

log =-

2log ()x f x =-=-，

所以，()f x 为奇函数。

例7．求函数213

2log (32)y x x =-+的单调区间。

解：令2

2

3

132()2

4u x x x =-+=--

在3[,)2+∞上递增，在3

(,]2

-∞上递减， 又∵2

320x x -+>， ∴2x >或1x <，

故2

32u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13

2log y u =为减函数，

所以，函数213

2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。

例8．若函数2

2log ()y x ax a =---

在区间(,1-∞-上是增函数，a 的取值围。

解：令2

()u g x x ax a ==--，

∵函数2log y u =-为减函数，

∴2

()u g x x ax a ==--

在区间(,1-∞上递减，且满足0u >，

∴12(10a

g ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩

，解得22a -≤≤， 所以，a

的取值围为[22]-．

例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x

f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x

x

b c ，的取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．

∴函数()f x 在(]1-，

∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3

21x

x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；

若0x <，则321x

x

<<，∴(3)(2)x x

f f >． 综上可得(3)(2)x

x

f f ≥，即()()x

x

f c f b ≥．

评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2

321(25)

(25)x

x a a a a -++>++，则x 的取值围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值围． 解：∵2

2

25(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x

y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >

．∴x 的取值围是14⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3

求函数y =

解：由题意可得2

16

0x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤．∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令2

6

x t -=，则y =

又∵2x ≤，∴20x -≤．∴2

061x -<≤，即01t <≤．

∴011t -<≤，即01y <≤．

∴函数的值域是[)01，

． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)x

x y a

a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．

分析：令x

t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值围．

解：令x

t a =，则0t >，函数221x

x y a

a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．

∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，

∴

1x a a a ≤≤，即1

t a a

≤≤． ∴当t a =时，2

max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；

当01a <<时，∵[]11x ∈-，，

∴1x a a a ≤≤

，即1

a t a

≤≤， ∴1t a =时，2

max 11214y a ⎛⎫

=+-= ⎪⎝⎭

，

解得13a =

或15a =-（舍去），∴a 的值是3或1

3

． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程2

23

380x x +--=．

解：原方程可化为2

9(3)80390x x

⨯-⨯-=，令3(0)x

t t =>，上述方程可化为2

98090t t --=，解得9t =或19

t =-

（舍去），∴39x

=，∴2x =，经检验原方程的解是2x =． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数935x

y =⨯+的图象，可以把函数3x

y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度