平面向量练习题(附答案)
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平面向量练习题
一.填空题。
1. BA CD DB AC +++等于________.
2.若向量=(3,2),=(0,-1),则向量2-的坐标是________.
3.平面上有三个点A (1,3),B (2,2),C (7,x ),若∠ABC =90°,则x 的值为________.
4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________.
5.已知向量=(1,2),=(3,1),那么向量2-21的坐标是_________. 6.已知A (-1,2),B (2,4),C (4,-3),D (x ,1),若与共线,则||的值等于________.
7.将点A (2,4)按向量a =(-5,-2)平移后,所得到的对应点A ′的坐标是______.
8. 已知a=(1,-2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______
9. 已知向量a,b 的夹角为ο120,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b )·a=______
10. 设a=(2,-3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____
11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ,则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直,且|a|≠0,|b|≠0,则a 与b 的夹角为____ 13. 在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM=2,则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 .
14.将圆22
2=+y x 按向量v =(2,1)平移后,与直线0=++λy x 相切,则λ的值为 .
二.解答题。
1.设平面三点A (1,0),B (0,1),C (2,5).
(1)试求向量2AB +AC 的模; (2)试求向量AB 与AC 的夹角;
(3)试求与垂直的单位向量的坐标.
2.已知向量a =(θθcos ,sin )(R ∈θ),b =(3,3)
(1)当θ为何值时,向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底
(2)求|a -b |的取值范围
3.已知向量a 、b 是两个非零向量,当a +t b (t ∈R)的模取最小值时,
(1)求t 的值
(2)已知a 、b 共线同向时,求证b 与a +t b 垂直
4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ,向量垂直于向量,向量 平行于,试求
OD OC OA OD ,时=+的坐标.
5.将函数y=-x 2进行平移,使得到的图形与函数y=x 2-x -2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.
6.已知平面向量).2
3,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且
(1)试求函数关系式k =f (t )
(2)求使f (t )>0的t 的取值范围.
参考答案
1.
2.(-3,-4)
3.7
4.90°
(21,321
).
6.73.
7.(-3,2).
8.-2
9.12
10.31
-
11.0
12. 90°
13.2-
14.51--或
(1)∵ AB =(0-1,1-0)=(-1,1),=(2-1,5-0)=(1,5). ∴ 2+=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).
∴ |2+|=227)1(+-=50.
(2)∵ ||=221)1(+-=2.||=2251+=26,
·
=(-1)×1+1×5=4. ∴ cos θ =||||AC AB ⋅=2624⋅=1313
2. (3)设所求向量为=(x ,y ),则x 2+y 2=1. ①
又 BC =(2-0,5-1)=(2,4),由BC ⊥m ,得2 x +4 y =0. ② 由①、②,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.-55552y x ∴ (552,-55)或(-552,55)
即为所求.
13.【解】(1)要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底,则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)
(6Z k k ∈+=ππθ,即当)
(6Z k k ∈+=ππθ时,向量a 、b 不能作为平面向量的一组
基底
(2)
)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ
∴ 132||132+≤-≤-b a
14.【解】(1)由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角)与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-
=时a+tb(t ∈R)的模取最小值
(2)当a 、b 共线同向时,则0=α,此时
|||
|b a t -=
∴
0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )
18.解:设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x Θ ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC Θ 即:73=-x y ②
联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11
(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是
.
19.解法一:设平移公式为
⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=,得到
k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即,
把它与
22--=x x y 联立, 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y
设图形的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),
由已知它们关于原点对称,
即有:⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得:02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且
又将(11,y x ),),(22y x 分别代入①②两式并相加,