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(4)《实数》知识点总结及典型例题练习题

第一节、平方根

1. 平方根与算数平方根的含义

平方根：如果一个数的平方等于a，那么数x就叫做a的平方根。即x2 a，记作x= 、a 算数平方根：如果一个正数x的平方等于a,那么正数x叫做a的算术平方根，即x2=a，记作x= a。

2 .平方根的性质与表示

⑴表示：正数a的平方根用a表示，..a叫做正平方根，也称为算术平方根，■. a 叫做a的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根：,a (根指数2省略)

0有一个平方根，为0,记作0 0

负数没有平方根

⑶平方与开平方互为逆运算

开平方：求一个数a的平方根的运算。

Ja2a==a a 04a2a (a 0)

a a 0

⑷a的双重非负性：a 0且a 0 (应用较广)

例：、.x 4 . 4 x y 得知x 4, y 0

⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：4的平方根为_____ V4的平方根为______ 44 _ 4开平方后，得 ___________

⑹若a b 0，贝U ? a 、b

(7) a ab a 0,b 0 a . a(a 0, b 0)

Jb勺b

典型习题：

(1)求算数平方根与平方根

1:求下列数的平方根

36 0.09 (-4) 2 0 10

2:求eg1中各数的平方根

(2)解简单的二次方程

3：81x2 25 0 4 : 4(x+1) 2=8

(3)被开方数的意义

5:若a为实数,下列代数式中，一定是负数的是()

A. —a2

B. —( a +1)2

C. —I a2

D. —( a +1)

6:实数a在数轴上的位置如图所示，

化简：|a 1 二—立—:—卢

(4):有关x的取值范围目前中考的所有考点

考点：

例题：求使得下列各式成立的x的取值范围

7: /3x 5

8:当m _________ 时，J3 m有意义；当m __________ 时，Vm—3有意义

9:

10.等式x 1 .x 1 x21成立的条件是( )?

A、x 1

B、x 1

C、 1 x 1 D x 1 或1

⑸非负性

知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.

10?已知a,b是实数，且有a V3 1 (b <'2)20,求a,b的值.

___ 1

11：?已知实数a、b、c 满足，2|a-1|+ -)2=0,,求a+b+c 的值.

13. 若y .. x 1 ,1 x 1，求x, y 的值。

14. y .2 x .x 2 x2 5，求y x的平方根和算术平方根。

15. 若-x 1 |y 21 0，求x+y 的值。

16. 若3 2a 1和3 1 3b互为相反数，求旦的值。

b

17. 若.x 4 x y 5 0，求xy 的值.

18. 若m 1 血n~1 0，求m2000n4的值。

其它问题

19. 已知a,b为有理数，且(3 2.3)2 a b 3，求a b的平方根

2

20. 设a、b是有理数，且满足a b& 1 3，求a b的值

21. 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x、y满足x 佢| y2 4y 4 0，求

(a b) x (cd) y (a b cd)y . 2xy 的值.

22. 已知实数a满足1992 a V a 1993 a,则a 19922的值是( )

A. 1991

B. 1992

C. 1993

D. 1994

23 .已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3, z的算术平方根是5,求

c2 d2 xy 'Z的值

a

24.请你估算一11的大小()

A.1 v ,11 v 2

B. 2 v . 11 v 3

C. 3 v ,11 v 4

D. 4 < .. 11 < 5 25?若数轴上表示数a的点在原点的左边，则化简2a JO2］的结果是（26、J厂2的最小值是_____________ 此时a的取值是 _________ .

27、当乂 = —8时, 则\ X厶的值是（)

A，-8B

，

—4C,4D, 土4

28若a=■\32,b=-

1

—

'■■■■!

2 1

，c= 3(2)3

,则a、b、c的大小关系是（

A.a > b> c

B.c> a> b

C.b> a> c

D.c > b> a

第二节：立方根和开立方

1. 立方根的定义

如果一个数的立方等于a，呢么这个数叫做a的立方根，记作3a

2 .立方根的性质

任何实数都有唯二确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0 .

3 . 开立方与立方

开立方：求一个数的立方根的运算。

f

3 I , _ 弋__________________

勺a a v a a V~a a （a取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

* 0的平方根和立方根都是0本身。

三、推广：n次方根

1

.如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。

当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。

2

.正数的偶次方根有两个。n a 0的偶次方根为0。n0 0负数没有偶次方

根。

正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负

实战演练:

7

15.若a

、b

互为相反数，c 、d 互为倒数，则2 b 3 cd 21. ??（ 5）2的平方根是 ______ 二、选择题

1. ------------------------ 与数轴上的点 ----------------- 对应的是（

1、 36的平方根是 ______ ; 16的算术平方根是 ________ ;

2、 8的立方根是 _______ ; 3 27 = _________ ;

3、 3 7的相反数是 _________ ;绝对值等于 3的数是 ____________

4、 2 3的倒数的平方是 _________ , 2的立方根的倒数的立方是 ______ 。

5、 2 、.3的绝对值是 ___________ , .. 131 11的绝对值是 ____________ 。

6、 9的平方根的绝对值的相反数是 ____________________________________ 。 1、、2 ,3的相反数是 _________ ，-、2 , 3的相反数的绝对值是 __________ < 8、2 ,7的绝对值与,7 2 .6的相反数之和的倒数的平方为 ______

一、填空

2

1 ?如果x 16，那么X ----------------- ;

2. 144的平方根是 _____ , 64的立方根是 _______ ;

匹

IT 「 r

3

*25 ------------ V81 -------------- 710"

<10 .

V ?

?

?

?

7

匣 3用

—

4 . 287 --------- 8 ------ 3 64 ____ ；

5?要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是 _____________ ; 6.

5

的相反数是 _____________ 绝对值是 __________ 倒数是 ___________ ;

9. 、0.0144

10.比较大小:

2

12.若 9x 4，

14.如果x 4

7

A. 0

0 则 x+2y+z=(

:3_8 (J2 2010)0

( 3 2)2

第三节、实数

1.实数：有理数和无理数统称为实数

实数的分类： ①

按属性分类： ②按符号分类

A.实数

B. 正数

C. 2.

下列说法正确的是(

).

有理数 D. 整数

B . 16的平方根是 4

C. 2是-4的算术平方根 .64的立方根是

3.如果x 1有意义，则

x 可以取的最小整数为(

).

B

5 一组数〔,3.14,,

3

2

.2

、27,

C . 8

一16,2\2,3、 343,135

246

这几个数中，无理数的个数是

)A. 2 B. 3 C.4 D. 5

7. 一个自然数的算术平方根是 x ,把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是 (

)A. x 2

1

8.若一个数的平方根是 B.

D. x 2 1

A. 2

B.

则这个数的立方根是(

C. 2

D. 4

9.计算(1)

(2)3 (

3) 2