万有引力--教案-

万有引力--教案- --------------------------------------------------------------------------作者: _____________

第 2 页 共 12 页 2 知识框架：

万有引力定律: ①表述：自然界中任何两个物体都是相同吸引的，引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟它们

的距离平方成反比。②公式：122mmFGr。③引力常量11226.6710/GNmkg(在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力) 由于地球自转，重力为万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转的向心力。 题型体系:

题型一、万有引力定律 ［例1］如图，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（M >> m1，M >> m2）.在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比ra:rb=1:4,则它们的周期之比Ta:Tb=______;从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了____次。

根据rTmr2224MmG，得GMrT324,所以Ta:Tb=3ar:3br=1:8。在b运动一周的过程中，a运动8周，所以a、b、c共线了8次。1:8 8 题型二、天体自转 天体的自转角速度不能太大，否则天体将解体。 ［例1］一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为

A.1243G B.343MR C.12G D.123G 赤道表面的物体对天体表面的压力为零说明天体对物体的万有引力恰好等于物体随天体运动所需的向心力，有 22m2GM

mRRT



343MR 要使天体不解体，自转周期必须大于123G

题型三、天体的运动 研究天体的运动，当一个天体的质量远远大于另外天体的质量时，一般认为中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体做圆周运动的向心力。

第 3 页 共 12 页 3 ［例1］某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N年，该行星会运行到日地连线的延

长线上，如题图所示。该行星与地球的公转半径比为

A．231NN B. 231NN C．321NN D. 321NN

由G2Mmr=mr22T得23Tr=24GM。地球绕太阳公转2131Tr=24GM，某行星绕太阳公转2232Tr=24GM， 由每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上可得N-12NTT=1，联立解得21rr=231NN ［例2］太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看做圆轨道。下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg (T/T0) ,纵轴是lg（R/R0）；这里T和R分别是行星绕太阳运行周期和相应的圆轨道半径，T0和R0 分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径。下列4幅图中正确的是

太阳系中的8大行星绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律和万有引力定律，对于水星有G200RmM=m0 R0202T，，对于行星有G2RmM=mR22T，，联立解得30RR=20



TT

两边取对数，得3 lg（R/R0）=2 lg (T/T0)，所以正确选项是B。

［例3］月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为1g，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为2g，则

A．1ga B．2ga C．12gga D．21gga

第 4 页 共 12 页 4 月球绕地球做匀速圆周运动的向心力等于在月球绕地球运行的轨道处地球对月球的引力，所以

2ga 在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度就是月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度。 题型四、万有引力提供向心力 ［例1］探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比 A.轨道半径变小 B.向心加速度变小 C.线速度变小 D.角速度变小 ［例2］2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有 A.在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

［例3］宇宙飞船以周期为T绕地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为0T。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则（ ） A. 飞船绕地球运动的线速度为)2/sin(2TR B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0

C. 飞船每次“日全食”过程的时间为)2/(0T D. 飞船周期为)2/sin()2/sin(2GMRRT

第 5 页 共 12 页 5 ［例4］火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期1T，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为2T，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则1T与2T之比为

A．3pq B．31pq C．3pq D．3qp ［例5］第一颗人造地球卫星“东方红一号”运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384km，则 A．卫星在M点的势能大于N点的势能 B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度 D．卫星在N点的速度大于7.9km/s

［例6］一物体静置在平均密度为的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为

Ａ．124()3G Ｂ．123()4G Ｃ．12()G Ｄ．123()G 题型五、万有引力和重力、重力加速度 ［例1］为了萤火星及其周围的空间环境的探测，我国预计于2011年10月开始第萤火星探测器“萤火一号”。 假设探测器在火星表面为度分别为A1和A2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为度量分布均匀的球体。忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出 A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C．火星的半径和“萤火一号”的质量 D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 ［例2］宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若它在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地． (1)小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有－v－v＝gt；－v－v＝

第 6 页 共 12 页 6 g′5t，所以有g′＝g5＝2 m/s2.(2)忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有GMmR2＝

mg，所以有M＝gR2G，可解得：M星：M地＝1×12∶5×42＝1∶80.：(1)2 m/s2 (2)1∶80

题型六、距离、高度问题 ［例1］地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，这个飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少？

设R是飞行器到地心的距离，r是飞行器到月球的距离。则由题意：22MmMmGGRr月地 ∴

91MRrM地

月 ［例2］地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.8倍，则地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？

⑴设想地球表面有一质量为m的物体，忽略自转，则1121MmmgGR同理在月球表面：

222

2

MmmgGR ∴211222216gMRgMR⑵由竖直上抛运动规律可得，上升的最大高度202vHg

1221

16Hg

Hg

题型七、加速度、角速度、线速度问题 ［例1］地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R。 不计地球自转的影响，物体的重力等于物体受到的万有引力。地面：2MmmgGR h高处：

2'()MmmgGRh

∴22'()gRgRh ［例2］月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3kg的重物产生最大为10m/s2的竖直向上的加速度，g地取10m/s2，将重物和绳子带到月球表面用该绳子能使重物产生在月球表面竖直向上的最大加速度是多大？ 由牛顿第二定律可知：在地球表面：Fmgma 在月球表面：''Fmgma ∴

2'1''10101018.3(/)6mgmamgagagmsm