联赛新高一秋季第14讲竞赛常用思想方法2(学生版)
联赛新高一暑假第5讲(学生版)
本节再介绍其他常用的数学归纳法，并向大家展示所有介绍过的归纳法在代数、组合、数论问题中的应用.值得注意的是，除了应用归纳法的各种形式，在必要的时候，我们还可以结合加强结论、归纳定义、反证法等手段.1.反向数学归纳法此方法是由法国著名数学家柯西首先使用的.下面给出： （1）()P n 对无穷多个正整数成立；（2）假设(1)P k +成立，可以推出()P k 也成立， 那么()P n 对任意正整数n 成立.2.双向参数归纳法此方法用于证明对两个独立的正整数有关的命题(,)P n m 时，可用如下形式进行： （1）证明(1,)P m 对任意正整数m 成立，(,1)P n 对任意正整数成立； （2）假设(1,)P n m +与(,1)P n m +成立，可以推出(1,1)P n m ++成立. 由此可推出对所有的正整数对都成立.3.螺旋归纳法.设()P n 、()Q n 是两列关于正整数n 的命题，如果： （1）命题(1)P 成立； （2）对任何正整数k ，若命题()P k 成立，则命题()Q k 成立；若命题()Q k 成立，则命题(1)P k +成立，那么对所有正整数n ，命题()P n 及命题()Q n 都成立.本讲概述第5讲 归纳与演绎(3)数学归纳法(2)【例1】设0a >，证明：对任意正整数n ，有不等式2232111n n a a n n a a a-++++≥+++.【例2】已知数列{}n a 满足011,5a a ==，及21122392n n n na a a a +++--=. 证明：所有的n a 都是整数.【例3】设1112n a n =+++，求证：当2n ≥时，有232223nn a a aa n⎛⎫>++ ⎪⎝⎭例题精讲【例4】证明：存在无穷的自然数数列12a a <<，使得对所有自然数n ，22212n a a a +++都是平方数.【例5】证明：对于所有正整数n 22n ++<【例6】已知数列{}n a 中每项都是正整数且逐项递增，22a =.若对任意*,m n N ∈，有mn m n a a a =，证明：n a n =.【例7】设{}k a (1)k ≥是一个正实数数列，且存在一个常数k ，使得2222121(1)n n a a a ka n ++++<≥.证明：存在一个常数c ，使得：2222121121(1)(1)n n n n a a a ka n ca a a ca n +++++<≥+++<≥.【例8】设(,)f m n 满足*(1,)(,1)1(,)f n f m m n N ==∈，且当,2m n ≥时有(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-.求证：12(,)m m n f m n C -+-≤.【例9】有一块66⨯的正方形大巧克力，甲、乙两人轮流从大巧克力上掰一块下来吃，谁吃到左下方11⨯的小块谁就算输.每次掰下的一块巧克力必须是由11⨯的小块组成的矩形，且它的右边、上边与剩下的巧克力没有重叠的边.问：谁有必胜策略能使对方吃到左下方的小块？【例10】设n 是正整数，,[0,]A B n ⊆是整数集合，满足||||2A B n +≥+.求证：存在,a A b B ∈∈使得a b +为2的幂.1. 设1112,,1,2,.2n n na a a n a +==+=求证：1n a n<.大显身手2. 设2a >.010,a a a ==，20112120,(2),1,2,.n n n n n a a a a a a a a n a +->>===-=证明：121111(2n a a a a +++<-3. 练习3：设0a >1na ++<+4. 求证:存在无穷多个这样的无穷数列，它的各项是不同的自然数，并且对每一个自然数n ，这个数列的前n 项的和能被3n 整除.5. 正数数列{}n a ，满足21n n n a a a +≤-.证明：1n a n≤.6. 设非负数列12,,a a 满足条件：,,m n n m a a a m n N ++≤+∈，求证：对任意正整数n 都有：1(1)n m na ma a m≤+-.7. 证明平均值不等式：假设12,,,n a a a 为n 个非负实数，它们的算数平均值记为12nn a a a A n+++=，几何平均值n G =则n n A G ≥.的方格中，任意填入1,2,,100（每个方格中填一个数）.用红笔圈出每行最大的3个数，8.在1010用蓝笔圈出每列最大的3个数.证明：至少有9个数同时被红、蓝笔圈出.。
高一联赛班秋季第一讲 组合计数一
讲1第组合计数（一）简单计数1.1知识点睛联赛一试的填空题中出现的计数问题有接近一半的问题不需要用到很高深的技巧，而是直接利用这主要是考虑到有一部分参加联赛的同学并未经过专.最基本的加法、乘法原理，以及枚举方法来计数.虽然如此，这部分计数问题枚举起来往往分类复杂，需要小心仔细业的竞赛训练.，“不重不漏”枚举法解决计数问题是最主要的题型之一，其难点在于做到从往年的联赛试题来看，枚举过程中，采用恰当的分类、分步形式，往往会收到化难为易的效.这是加法原理的一个简单的应用.一些相关的基本知识：加法原理与乘法原理、1种n类分别有n完成一件事的方法可分成个互不相交的类，在第1类到第加法原理：m,...,m,m n21n?.方法，则总共完成这件事有种方法m...?m?m?m?n2i11i?.应用加法原理的关键在于通过适当的分类，使得每一类都相对易于计数则总共种方法，步到第n步分别有完成一件事的方法有n个步骤，，在第1乘法原理：m,...,m,m n12n?应用乘法原理的关键在于通过适当的分步，使得每一步. 完成这件事有种方法mm...mm?n21i1?i.都相对易于计数由上可见，加法原理与乘法原理也是化归思想的应用，通过这两个原理以及它们的组合，可以将.一个复杂的组合计数问题分解成若干个便于计数的小问题无重排列与组合2、n的阶乘，读作阶乘：定义1??...?22)n??(n!n??n1)(?m A记为个不同元素中任取从无重排列：nm 个不同元素排成一列，不同的排列种数称为排列数，nn!mm）（部分书中记为，由乘法原理得到1)??m...?(n?n?(n?1)A???P nn(n?m)!m，记为其个不同元素中任取m个元素并为一组，不同的组合种数称为组合数，无重组合：从nC nm An?(n?1)??...?(n?m?1)n!mn公式为???Cn!m?m)!m!m!(n3、可重排列与组合m种；个不同元素中可重复地任取m个元素排成一列，不同的排列种数有可重排列：从nna,a,...,a 组成，分别有设n个元素由k个不同元素个有限个重复元素的全排列：n,...,n,n k21k12n! n个元素的全排列数为（），那么这nn?n?n?...?k12n!?n!...??n!k12可重组合：从n个不同元素中，任意可重复地选取m个元素，称为n个不同元素中取m个元素的m可重组合，其种数为C1m?n?4、圆排列在n个不同元素中，每次取出m个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．圆排列有三个特点：⑴无头无尾；⑵按照同一方向转换后仍是同一排列；⑶两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．m A n A?{a,a,...,a}的在n个元素中，每次取出m个不同的元素进行圆排列，圆排列数为．n12m经典精讲) (高考难度的热身问题】【例1. 它们周长不大于等腰三角形的三边均为正整数．10．这样不同的三角形的种数为⑴个座人就座，规定前排中间的23个座位，现安排个座位，后排有两排座位，前排⑵ 1112 .2位不能坐，并且这人不左右相邻，那么不同排法的种数是【例2】⑴有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？⑵集合的子集中共有多少个至少包含一个奇数？,2,...,100}{1【例3】设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种.【例4】从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。
联赛新高一暑假第10讲(学生版)
构造：1．构造图形2．构造函数和方程 3．构造不等式 4．换元 5．组合构造化归：1．未知向熟知转化 2．化复杂为简单 3．换元4．将大题转化为若干小题本讲概述第10讲常用证明方法(2)【例1】 已知正数,,a b c ，111,,a b c 满足条件111a a b b c c k +=+=+=，求证：2111ab bc ca k ++<．【例2】 已知实数,,,,,a b c d p q 满足关系式2ab cd pq +=，证明：若20ac p >≥，则2bd q ≤【例3】 设,x y ∈R ，且224545x xy y -+=，记22S x y =+，求min max 11S S +的值．例题精讲【例4】 若,(1,2,,9,1,2,,10)i j a b i j ==均为正数，且91011i j i j a b ===∑∑，试证可在一张910⨯的表格里放置不多于18个数，使得第i 行数的和为i a ，第j 列的数的和为j b ．【例5】 设352x ≤≤，证明：>．【例6】 平面直角坐标系中，纵，横坐标都是整数的点称为整点．请设计一种方法将所有的整点染色，每一个整点染成白色，红色或黑色中的一种颜色，使得⑴ 每一种颜色出现在无穷多条平行于横轴的直线上无穷多次；⑵ 对任意白点A ，红点B 和黑点C ，总可以找到一个红点D ，使得ABCD 为一平行四边形．证明你设计的方法符合上述要求．【例7】 在66⨯的正方形格中，把部分小方格涂成红色．然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有1个是红色的．那么，总共至少要涂红多少小方格？【例8】 设1a 、2a 、…、n a 是正数，证明对任意的自然数n ，下面的不等式成立：22221212()()n n a a a n a a a ++++++≤【例9】 求一个三位数，使这个三位数与它的各位数字之和的比值为最小．【例10】试证：任何一个三角形都可以剪成有限多块，拼成一个矩形，并使这矩形有一条边为定长m．【例11】某工厂生产由六种不同颜色的纱织成的双色布．在这个工厂所生产的双色布中，每一种颜色至少和三种其它的颜色搭配．证明；可以挑出三种不同的双色布，它们含有所有六种颜色．【例12】假设a是任意的正数．研究a的99个连续倍数a，2a，3a，…，99a．证明：在这个序列中，至少可以找到这样一个数，它和与它最相近的整数之差不超过1 100．1．1．2． 已知2221x xy y -+=，求222x y +的最大值和最小值．大显身手3． 已知332p q +=，其中,p q 都是实数，求p q +的最大值．4． 设122009,,,a a a 是2009个整数，具有性质P ：任意去掉其中一个后，可把剩下的2008个数分成和相等的两部分，每部分恰好1004个数． 证明：这2009个数全相等．5． 已知一个四位数是完全平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同．求这个四位数．6． 设,x y 是非负整数，2x y +是5的倍数，x y +是3的倍数，且299x y +≥．求75x y +的最小值．。
新教材高中物理思想方法系列十四学案新人教版必修
思想方法系列十四控制变量法开讲啦 控制变量法是根据研究目的,运用一定手段(实验仪器、设备等)主动干预或控制自然事物、自然现象发展的过程,在特定的条件下探索客观规律的一种研究方法．在本节的实验探究中,由于要研究一个物理量(a )跟两个物理量(F 和m )之间的关系,为了简单起见,实验中先保持m 一定,研究a 与F 的关系；再保持F 一定,研究a 与m 的关系；最后用数学的方法,把实验得出的a 与F 的关系及a 与m 的关系综合起来,找出a 与F 和m 的关系．物理学是一门富含科学方法的自然科学,控制变量法是其中最重要的思想方法之一,因此也是高考中经常考查的一种方法,其常见的考查方式有以下几种．(1)给出运用控制变量法的探究实例,要求辨别或说出所用的科学方法．(2)给出运用控制变量法的探究实例,要求辨别或说出研究的是什么问题．(3)给出运用控制变量法所要探究的课题,要求选出探究时需要的器材或实验过程．(4)给出需要运用控制变量法探究的课题,要求进行实验方案的设计．(5)给出需要运用控制变量法的探究实例,要求对实验方案或结论进行评价．(6)给出运用控制变量法进行探究而得到的一组实验数据,要求分析归纳实验结论．[例] 从高空下落的物体,速度越来越大,所受空气阻力也会随速度的增大而增大,因此物体下落一段距离后将以某一速度做匀速运动,通常把这个速度称为收尾速度．研究发现,相同条件下,空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的半径和速度都有关系．下表为某次研究的实验数据. 小球编号1 2 3 4 小球质量(×10－2 kg)2 5 45 40 小球半径(×10－3 m)0.5 0.5 1.5 2 小球的收尾速度(m/s) 16 40 40 20(2)由表格中的数据,分析球形物体所受的空气阻力f 与球的半径r 的关系．[解析] 由题意可知,当物体下落达到收尾速度时,空气阻力与物体的重力相等． 既然相同条件下,空气对不同材质的球形物体的阻力大小与球的半径和速度都有关系,那么研究球形物体所受的空气阻力f 与球的收尾速度v 的关系时,就要取半径相同、编号为1、2的两个小球的数据进行分析；类似地,研究球形物体所受的空气阻力f 与球的半径r 的关系时,要取收尾速度相同、编号为2、3的两个小球的数据进行分析．在半径相同的情况下,收尾速度之比v 1v 2＝25,空气阻力之比f 1f 2＝m 1m 2＝25,因此得出结论：球的半径一定时,f 与v 成正比．在收尾速度相同的情况下,半径之比r 2r 3＝13,空气阻力之比f 2f 3＝m 2m 3＝19,因此得出结论：球的收尾速度一定时,f 与r 2成正比．[答案] (1)球的半径一定时,f 与v 成正比．(2)球的收尾速度一定时,f 与r 2成正比． 总结提能 由该典例也可以看出,对于控制变量法的学习,仅仅记住它的名称或者仅仅记住它的几个实例运用是远远不够的,重要的是领悟它的思想内涵,这样在分析处理具体问题时才能加以灵活运用．[变式训练] 英国物理学家胡克发现：金属丝或金属杆在弹性限度内它的伸长量与拉力成正比,这就是著名的胡克定律．这一发现为后人对材料的研究奠定了基础．现有一根用新材料制成的金属杆,长为4 m,横截面积为0.8 cm 2,设计要求它受到拉力后伸长不超过原长的1/1 000,问它能承受的最大拉力为多大？由于这一拉力很大,杆又较长,直接测试有困难,因此,选用同种材料制成样品进行测试,通过测试取得数据如下：(1)测试结果表明金属丝或金属杆受拉力作用后其伸长量与材料的长度成正比,与材料的横截面积成反比．(2)上述金属杆所能承受的最大拉力为104 N.解析：(1)取横截面积相同、长度不同的两组数据来研究受拉力后伸长量与长度的关系,由两组数据可得出它们成正比的关系；取长度相同、横截面积不同的两组数据来研究受拉力后其伸长量与横截面积的关系,由数据分析不难得出它们成反比．(2)由以上分析可总结出伸长量Δl 与长度l 、横截面积S 以及拉力F 的关系：Δl ∝Fl S ,变成等式有：Δl ＝k Fl S ,其中k 为常数,根据表格数据可得k ＝8×10－12 m 2/N.故当l ＝4 m,Δl ＝4×10－3 m,S ＝0.8×10－4 m 2时,金属杆所能承受的最大拉力F max ＝ΔlS kl＝104 N.。
高一学生自我陈述报告(整理18篇)
高一学生自我陈述报告〔整理18篇〕篇1：高一学生自我陈述报告眼间，一个学期的时间就过去了。
期末考试的成绩也出来了，考了班级第六名，但仍有许多不理想的地方。
这次我失分主要在语文英语上，语文才考了九十一分，英语更是才考了七十七分。
是我有史以来这两门科目考最差的一次。
可惜答题纸没有发下来，就连试卷也收上去了，导致我根本不知道错了哪些题目。
其他科目没有什么可说的。
数学考了一百分，物理政治历史总共才扣三分。
我觉得这次语文和英语没有考好的原因是：上课时没有认真做好笔迹，导致下课后复习不方便。
课后复习时，遇到不会的问题，抱有幸运心里，觉得考试时不会出这类问题。
考试前的准备工作没有做好，没有复习充分。
考试中没有沉下心来认真答题，太心急，因为太心马虎导致很多不该出错的地方出现错误，扣了分。
以后我在考试的时候，在做题前，一定要时刻小心认真。
解答题时，不要急于下笔，要先在草稿纸上列出这道题的主要步骤，然后按照步骤一步步做下来，不忽略每一个细节，尽量把每一道题都答得完好漂亮，这些只是考试时的要点。
在平时，我要多做一些不同类型的题，这样就会对大多数题型熟悉，拿到试卷心中就有把握；适当做一些计算方面的练习，让自己不在计算方面失分。
我想假如我能做到我以上提到的这几眯，我一定能把考试中的失误降到最低。
因此，我一定会尽力做到以上几点的。
另外，我还要积极阅读有关书籍和资料，扩大自己的知识面，所以我决定，放假期间，一有空就和爸爸一起去新华书店博览群书。
为了下学期还要获得更好的成绩。
所以在下学期的学习中我应该更好地做到以下几点：首先学习态度要更加的端正。
可以做到上课认真听讲，不与同学交头接耳，不做小动作，自觉遵守课堂纪律；对老师布置的课堂作业，可以当堂完成；对不懂的问题，主动和同学商量，或者向老师请教。
我不会骄傲，因为我的学习成绩还是不理想，但是，我会继续努力，直到满意为止！在新的学期，我要发扬成绩，改正错误，更加刻苦努力、一丝不苟的学习，争取每门功课都能获得好的成绩，成为一个全面开展的优秀中学生。
新高一竞赛不等式入门讲课讲稿
均值不等式，柯西不等式及不等式技巧2017.7.18东北育才学校王文昊（QQ:2609667791） 以下内容未特殊说明默认为正数第一部分 预备知识1.均值不等式:二元形式:ab b a 2≥+ 三元形式：33abc c b a ≥++（思考下其证明方式）推广n 元：n a a a +++...21 ≥ n n a a a n ...21（证明方法留给课下思考）2.柯西不等式:特殊形式：2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++一般形式：222112222122221)...()...)(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++（证明方法留给课下思考)第二部分 基础知识运用我们通过如下例子对以上内容进行初步的熟悉。
1.证明：23332abb a ≥+2.证明：bc ac ab c b a ++≥++2223.证明：4455ab b a b a +≥+4.求：22)21()1(xy y x +++的最小值5.证明:b a b a 43543+≥++6.证明：yx b a y b x a ++≥+222)(7. 已知;3=++z y x ,求:121121121+++++z y x 的最小值8.求证：23≥+++++y x z z x y z y x9. 证明：16d c b a 3c 12b a 1321321322222+++≥+++++++++++d b a d c a d c b d c b a10.已知c b a ,,为三角形三条边，证明:))()((a c b b c a c b a abc -+-+-+≥第三部分 方法与技巧1.配齐次（不等式两边次数相同称为齐次不等式）配齐次是证明不等式最常用也最重要的手段之一，绝大多数不等式经过转化后都可以变为齐次的，而转化后的齐次不等式就可以通过均值与柯西证明，下面通过习题来演示这个方法。
全国高中数学联赛一试常用解题方法之构造法
高一学生的自我陈述报告（通用17篇）
高一学生的自我陈述报告（通用17篇）高一学生的自我陈述报告（通用17篇）在不断进步的时代，报告的使用频率呈上升趋势，报告根据用途的不同也有着不同的类型。
一听到写报告马上头昏脑涨？以下是小编帮大家整理的高一学生的自我陈述报告，欢迎阅读与收藏。
高一学生的自我陈述报告篇1性格开朗乐于帮助同学，在校尊敬师长、热爱班级、品德端正、热爱劳动，积极乐观得对待每一天。
在本学期的学习与生活中能够做到严格遵守学校的各项规章制度认真听取老师的教导与建议，严以律己、宽以待人，各方面表现良好。
多次积极参加学校组织各项活动，并为班级取得了荣誉，成绩较为优秀，但课外题目完成较少，学习习惯上还存在部分小问题，需在今后更加努力加以改正。
在以后的学习生活中要高标准严要求自己，勤奋努力，不断完善自己、改善缺点与不足，相信一定会有所进步，最终实现自己的目标。
高一学生的自我陈述报告篇2在高一上学期，我在校学习认真，遵规守纪。
在班里团结同学，积极为集体做事，经常与同学进行有关学习生活等方面的探讨，尤其是对高考以及对自己理想大学的感想交流，收益匪浅。
什么化学课代表的我，积极认真的协助老师做力所能及的事。
我上课认真听讲，跟随老师的复习思路认真复习，努力把一轮复习做好。
同时，我懂得劳逸结合。
在紧张的学习外，注重进行积极的体育锻炼，保持良好的身体健康状态，以充沛的精神继续投入到紧张的学习中去。
厚积薄发，相信我的高一上学期是一个充实，快乐的一段时光。
高一学生的自我陈述报告篇3在高一下学期，我不断的告诉自己，真正一战即将到来。
我用自己的拼搏充实自己内心，作为自己的心灵力量，让自己不断向前。
在学习上又不会的问题，积极地与同学和老师探讨，把自己的疑问全部都解决掉。
能够注意保持睡眠，让自己的身体时刻保持充盈状态。
科学利用时间，不浪费每分每秒，让自己的学习生活紧张而又充实起来。
积极调整心态，协调好学习生活等各方面的关系。
热爱集体，团结同学，珍惜与同学老师的最后时光。
联赛新高一暑假第13讲(学生版)
同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符使得原来难以表述的很多数论问题表述起来简单清晰.利用同余符，可以方便地处理各种复杂的数字相对于另一数的余数这一类问题.本讲将着重讲述同余的基本性质，并利用这些性质来解决各类同余的典型问题.此外，基于同余，还给出了剩余系与完系的概念.尽管联赛大纲没有明确对这两个概念作要求，但是有了对剩余系的基本认识后对很多问题处理起来会更为方便.同余的定义：设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余.（用≡符上面加一个斜线来表示，类似不等符）.显然，(mod ),)|()a b m a km b k Z m a b ≡⇔=+∈⇔-（；剩余类与完全剩余系（简称完系）：我们可以将所有的整数按模m 分类．例如：按模2分类，可将所有整数分成两类，模2余1的分成一类，即奇数；模2余0的一类，即偶数．按模3分类，可分成3k 、31k +、31k -三种类型；等等.剩余类的定义：设m 为一给定的正整数，则全体整数可以分为m 个集合0K ，1K ，…，1m K -，这里{|,(mod )},0,1,...,1r K x x Z x r m r m =∈≡=-．我们称0K ，1K ，…，1m K -为模m 的剩余类．在模m 的m 个剩余类中分别取一个数，共取出m 个，我们把这m 个数成为模m 的一组完全剩余系,简称完系.例如：0,1,2，…,1m -就是一组完系，显然，它们两两对模m 不同余.性质1：每个整数在且仅在模m 的一个剩余类中．性质2：若0a ，1a ，…，1m a -是模m 的一个完系，而(,)1a m =，b Z ∈，则0a a b +，1aa b +，…，1m aa b -+也是模m 的一个完系．（此性质可自行证明，联赛范围内一般不需要掌握）同余的性质非常之多，以下仅列举最常用的一些，（1）自反性：(mod )a a m ≡(a 为任意自然数)（2）对称性：若(mod )a b m ≡，则(mod )b a m ≡（3）传递性：若(mod )a b m ≡，(mod )b c m ≡，则(mod )a c m ≡本讲概述第13讲初等数论(2)同余（4）可加减性：若(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡，则(mod )a c b d m ±≡± （5）可乘性：若(mod )a b m ≡，(mod )c d m ≡，则(mod )ac bd m ≡（6）可乘方性：若(mod )a b m ≡，n N +∈，则(mod )nna b m ≡注意：一般地同余没有“可除性”，但是（7）如果(mod )ac bc m ≡且(,)1c m =，则(mod )a b m ≡如果(mod )ac bc m ≡且(,)c m d =，则(mod )m a b d≡ （8）如果(mod )a b m ≡，(mod )a b n ≡且[,]m n k =，则(mod )a b k ≡（9）设,2p N p +∈≥，则任何一个p 进制自然数与其数码和(p 进制下各数码之和)对模1p -同余；特别地，10p =时，是我们熟知的“弃九法”的理论依据：任一正整数与其十进制表示中各位数字之和对模9同余.【例1】 证明上述理论部分中的部分性质：（1） 同余的可除性：如果(mod )ac bc m ≡且(,)1c m =，则(mod )a b m ≡（2） 证明若0a ，1a ，…，1m a -是模m 的一个完系，而(,)1a m =，b Z ∈，则0aa b +，例题精讲1aa b +，…，1m aa b -+也是模m 的一个完系．（提示：只需证明任意两个模m 不同余即可）（3） 弃九法原理：任一正整数与其十进制表示中各位数字之和对模9同余【例2】 （1）用同余的写法证明：平方数除以4余数为0或1；（2）用同余的写法证明：奇数的平方除以8余1；（3）试证明19911991115534+不是平方数.【例3】 求证：对任意正整数n ，|32178/n n +⋅【例4】 （1）设m 为正整数，证明：必有一个正整数是m 的倍数，且它的各位数字均为0或1.（2）从任意m 个整数12,,...,m a a a 中，必可找到若干个数，它们的和（只有一个加数也行）被m 整除.【例5】 19911991的各位数字之和为a ，a 的各位数字之和为b ，b 的各位数字之和为c ，求c .【例6】 求证：三个连续整数的平方和不是立方数.【例7】 求出所有小于10的正整数m ，使得19895|1989m m .【例8】 已知数列{}n p 定义如下：1234n n n nn p =+++，求出所有的正整数n ，使得5|n p .【例9】 已知数列{}n a 递归定义如下：01210,1,8n n n a a a a a ++===- (0)n ≥，求证：数列{}n a 中没有形如35αβ（,αβ为正整数）的项.【例10】 设正整数x ，y ，z 满足222x y z +=，证明：60|xyz .1． 证明：数列11,111,1111，…中没有平方数2． 若质数5p ≥，且21p +也是质数，证明：41p +是合数大显身手3． 10003的各位数字之和为a ，a 的各位数字之和为b ，b 的各位数字之和为c ，求c .4． 对1,2,3,...,1990,i i x =可以取值1或者-1，证明199010kk kx=≠∑.5． 设x ，y ，z 为整数，且满足()()()x y y z z x x y z ---=++，证明：27|x y z ++6． （1）十进制数88...899...9x 可被7整除，那么数字x 等于多少？（其中有50个连续的8,50个连续的9）（2）求100 010被7除所得的余数.(其中指数中共有10个连续的0)（3）证明2152n n ++宯。
全国高中数学联赛一试常用解题方法之构造法
全国高中数学联赛一试常用解题方法十一、构造法方法介绍解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论，但对某些问题（例如存在性问题、条件与结论相距较远的问题题等），直接推理有时不能顺利进行，因而不得不寻找某种中介工具沟通条件和结论的联系.解题的中介工具往往隐含在题设条件之中，需要我们去发现、去解释、去构造，这种通过构造题目本身所没有的解题中介工具——存在实例、对应关系或数学模型，去实现解题的方法，就是构造法.用构造法解题，特点就是“构造”，但怎么样“构造”，却没有通用的构造法则.下面仅通过实例说明.命题精讲1、构造方程模型数学竞赛中的许多问题，本身结构就具备方程形式，或通过变形、概括，可以纳入到某类方程中去，这时，若能构造相近的方程模型，通过解方程或利用方程的性质及广义韦达定理等，常常可将复杂问题简单化.例1已知03,0311242=-+=-+n n m m ，且21n m ≠，求224m n m n +的值. 注：由原条件可知2,1n m 是方程032=-+x x 的两根，即有31,1122-=⋅-=+n mn m ，所以3)1(222224=+=+m n mn m n mn . 2．构造递推数列模型问题中隐含着阶差递推关系的，我们常常可将其一般化，从而提示出相邻阶之间的关系，建立起递推数列模型.常见的如数列中的问题、方程中与自然数有关的问题、数论问题等.例2设实数y x b a ,,,满足方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+.42,16,7,3443322by ax by ax by ax by ax 求55by ax +的值. 注：设n n n by ax a +=，则42,16,7,34321====a a a a ，又为)())((11222n n n n n n n by ax xy by ax y x by ax a +-++=+=+++++n n xya a y x -+=+1)(， 将初始值代入，得n n n a a a 381411+-=++，所以203814345=+-=a a a .3．构造不等式模型许多重要不等式都具有固定的结构模式，如平均不等式、柯西不等式、外森比克不等式等.若问题的结构能套上不等式公式的模型，则可利用不等式的性质（如利用不等式极值、取等号的条件等）或通过不等式而加以解决.例3解方程43)3(cos cos )3(sin sin 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x x x x ππ. 注：左边具有柯西不等式的形式，因此可以柯西不等式为相似模型，因此⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)3(cos cos )3(sin sin 2222x x x x ππ ≥43)3(sin cos )3sin()3cos(sin 22=-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-x x x x x x πππ当且仅当x x x x cos )3sin()3cos(sin -=-ππ时取等号，故Z k k x ∈+=,62ππ. 4．构造辅助元素模型根据问题的特点构造一些辅助元素，为的是使问题的条件和结论，通过这些辅助元素而发生联系.例4求证：003.0100000099999914131211109<⋅⋅⋅⋅= N . 注：构造辅助量999999999998151413121110⋅⋅⋅⋅= M ，易知10000009=MN ，且M N <，因此100000092=<NM N ，于是003.010003=<N . 5．构造图形模型根据题目提供的信息，构造出符合题设或结论的图形，如三角形、正方形、曲多边形，借助于图表，化代数条件为长度、面积等几何结论.模型构造中常用到诸如勾股定理、正余弦定理、边角关系等.例5对于正整数n ，定义n S 为和式∑=+-n k ka k 122)12(的最小值，其中n a a a ,,21 是正实数，它们的和是17，存在惟一的一个正整数n ，使n S 也是一个正整数，求这个n . 注：6．构造圆锥曲线模型问题的形式、结论符合圆锥曲线的定义、性质时，可构造圆锥曲线模型，使问题得以简化.例6求函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值.注：函数变形为222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f ，其几何意义为),(2x x P 与)1,0(),2,3(B A 的距离之差的最大值，而P 为抛物线2x y =上任意一点，所以可构造抛物线模型（利用两边之差小于第三边，即||||||||AB PB PA ≤-），当A B P ,,三点共线时取等号，即得10||)(max ==AB x f .解7．构造抽屉原理模型构造的理论依据是抽屉原理.根据问题条件，构造出一个一个的抽屉，使题中元素、对象无一遗漏地落于这些抽屉中.构造过程中，常常将所有对象看成一个全集，构造成若干个抽屉（若干个子集）时，一般采用“其并为全集、其交为空集”的构造方法.例7给定不大于91的10个正整数.求证：其中某两个数的比在区间]23,32[之中. 注：构造抽屉模型，将1，2，3，…，90，91分成9个抽屉921,,,A A A ，其中 }25,,17{},16,,11{},10,9,8,7{},6,5,4{},3,2{},1{654321 ======A A A A A A ， }91,90,,62,61{},60,59,,41,40{},39,38,,27,26{987 ===A A A ，由此可见，91个数没有遗漏地被分成9个抽屉（集合）中，并且同一个)9,,2,1( =i A i 中任意两个数的比值一定在区间]23,32[之中，任取10个数中一定有两个数在这9个抽屉中的同一个抽屉中，这两个数的比值在区间]23,32[之中. 8．构造多色图模型构造的方法是将图形染色，常见的有二色图、三色图、同色三角形等.例8将88⨯的国际象棋棋盘剪去左上角与右下角的两个方格，求证：剩下的图形不能用31个12⨯的长方形覆盖.注：国际象棋棋盘上的方格有黑白两种颜色，按此涂色作一模型构造，知同一种颜色的方格绝不相邻，因此每一个12⨯的长方形一定盖住一个黑格一个白格，31个这样的长方形将盖住31个黑格与31个白格，但图中剪去的两个方格都是白的，因此黑格有32个，31个长方形不能将这张剪残了的棋盘完全覆盖.9．构造对应关系模型这种方法的重点是建立对应关系，利用对应关系的性质去解题.例9设b a ,是两个实数，有以下三个集合：},,|),{(Z n b na y n x y x A ∈+===，},153,|),{(2Z m m y m x y x B ∈+===，}144|),{(22≤+=y x y x C .讨论是否存在b a ,，使(1)φ≠B A ；(2)C b a ∈),(同时成立.注：若着眼于建立数学模型，由条件（1）消去y n m ,,可得0)153(2=+-+x b xa （1）由条件（2）得14422≤+b a （2）在平面b O a --上赋给（1）、（2）以形的意义，不难将问题归结为直线（1）与圆（含内部）是否有公共点的问题，下面沿另一思路，即从建立对应关系入手，借助于对应关系的性质解题.由（2）可令)20,120(sin ,cos π<≤≤<==t r t r b t r a ，从而可得1153)sin(22++=+x r x t θ，从而1|1153||)sin(|22≤++=+x r x t θ，不难证明Z x r ∈≤<,120时，上式不成立，由此得出矛盾.10．构造反例模型为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题目条件，但命题结论不成立的特例，这个过程叫构造反例.例10命题：“一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形吗”对吗？如果对，请证明；如果不对，请作一四边形满足已知条件，但它不是平行四边形，并证明你的结论.注：以BD 为弦，作视角)90(0<αα的两弓形弧，再分别以D B ,为圆心，以等半径画弧与两弓形弧相交，选取适当的半径可使其有四个交点11,;,C C A A ，由图形知四边形ABCD 不是平行四边形.11．构造函数模型例11设V U ,是使810)(10)(11102982=++++=++++V V V V U U U U 成立的实数，试比较V U ,的大小.注：按题目本身的条件比较V U ,的大小有困难，由题设提供的信息，构造函数xx x x x x x x x x F n n n n --+=+++++=-1)109(10)()(122 ， 显然)1)(109(109)()(911109119x x x x x x x F x F +-=--=-，不难验证)(x F n 具有以下性质：(1)当9.00<<x 时，0)()(119>-x F x F ；(2) 9)9.0()9.0(,0)0()0(119119====F F F F ；(3)当0≥x 时，)),(119x F x F 是连续增函数，且非负；(4)当0<x 时，)),(119x F x F 都小于0.由（2）、（3）、（4）及题设8)()(119==V F U F 得)9.0,0(,∈V U ，由性质（1）得)()()(11911U F U F V F >=，再由性质（3）得，V U <.上面介绍了构造法及其应用，还常常与反证法、数学归纳法、极端性原理等配合使用，这些方法更具活力.但也要指出，构造法不是万能的，有许多问题不宜用构造法解，有些虽能用，但如有更简单的方法就不一定要用构造法.同步操练1．求证：存在两个正无理数b a ,，使b a 为有理数.注：假设命题不成立，即找不到两个正无理数b a ,，使b a 为有理数，那么2)2(是无理数（否则只要取2,2==b a ，就与假设矛盾）. 既然2)2(是无理数，我们令2,)2(2==b α，则2=b a 为有理数，这与假设矛盾，下略. 2．求证：方程1222=-y x 有无穷多组正整数解.注：容易发现2,3==y x 是方程的一组解，注意到若1222=-y x 成立，则有1)2(222=-y x ，于是1)2(2)2(2222=-+xy y x ，这样我们构造数列}{},{n n y x 满足2,3,2,2111221===+=++y x y x y y x x n n n n n n ，容易验证对每一个正整数n },{n n y x 是原方程的一组解，因}{},{n n y x 均递增，故当n 取遍正整数时，}{},{n n y x 不重复，所以方程1222=-y x 有无穷多组正整数解.3．任给7个实数，求证：其中必存在两个实数y x ,，满足3310<+-≤xy y x . 注：构造7个实数)22,7,,2,1(tan 721πθθθπθ<≤≤≤<-= i i ，把区间)2,2(ππ-分成6个子区间)2,3(],3,6(,],6,3(],3,2(πππππππ----- ，根据抽屉原理，7个i θ中必存在两个落在同一个子区间上，不妨设为j θ与)61(1≤≤+j j θ，因而)601πθθ<-≤+j j ，令1tan ,tan +==j j x y θθ，则3310<+-≤xy y x ，下略. 4．已知正数C B A c b a ,,,,,满足k C c B b A a =+=+=+.求证：2k cA bC aB <++. 注：构造如图所示的正三角形，利用PQ R NQ L MPN LRM S S S S ∆∆∆∆<++即得结论.5．求函数222)92()(),(n m n m n m f --+-=的最小值.注：),(n m f 可解释为两动点)9,(),2,(2n n B m m A -距离的平方，由此构造几何模型，显然直线x y =与半圆)0(222≥=+y y x 和双曲线9=xy 的交点B A ,之间距离的平方即为所求，),(n m f 的最小值为8.6．已知c b a ,,是ABC ∆的三边，求证：abc c b a c b c a b a c b a 3)()()(222≤-++-++-+. 注：将求证式变形为abc c b a c b c a b a c b a 3)()()(222222222≤-++-++-+（*） 联想余到弦定理，交将（*）式转化为三角问题，借助于已三角不等式∑≤23cos A ，便能证得结论成立.7．求证：一个奇数c 为合数的充要条件是存在正整数13-≤c a ，使c a 8)12(2+-为完全平方数.注：（充分性）略；（必要性：必要性是存在性问题，用构造法）设c 为奇合数，则c 可分解为两个大于1的奇数之积，将较小的记为12-k ，较大的记为m ，即12,2,)12(-≥≥-=k m k m k c ，令1+-=k m a ，则13112112-≤--≤+--=c k c k k c a ， 所以有22)]12(2[8)12(-+=+-k m c a .8．对正整数)(,k g k 表示k 的最大奇因子（如5)20(,3)3(==g g ）. 求*),2()3()2()1(N n g g g g n ∈++++注：令)2()3()2()1(n g g g g ++++ ，易知2)2()1(11=+=g g S ，由)(k g 的定义知：k 为奇数时，k k g =)(；k 为偶数时，)()2()(m g m g k g ==，于是)]2()4()2([)]12()3()1([n n n g g g g g g S ++++-+++=+-+++=)1231(n 1211)2()]2()3()1([---+=+++n n n S g g g ，即114--=-n n n S S ，进而324+=n n S . 9．求证：对任意正整数n ，都有2321<++++n .注：构造数列3]2)1[(,2)1(,1,2:}{2220322022010---=--=-==a a a a a a a a n ，…，n a a n n -=-21.现在用数学归纳法证明n a n >.显然346,27,13,023210>=>=>=>=a a a a .假设)3(≥=k k n 时，有k a k >，则当1+=k n 时，有 112)1(3)1()1(221+>-=+-≥+->+-=+k k k k k k k a a k k .于是对任意正整数n ，n a n >，所以,1)1(,121n n a n a n n a a n n n n +->+-=>+=---…，n n a +-++++>13210 ，即有2321<++++n .10．把一个圆分成)2(≥n n 个扇形，依次记为n S S S ,,,21 ，每个扇形都可用红、白、蓝三种颜色之任一种涂色，要求相邻扇形颜色互不相同，问有多少种不同的涂色方法？ 注：令涂色法有n a 种，添一扇形1+n S ，我们先涂1S ，有3种；再涂2S ，有2种；…；涂n S ，有2种；涂1+n S ，暂只要求1+n S 与n S 颜色不同.其有n23⨯种涂法.其中1+n S 与1S 颜色不同，有1+n a 种；1+n S 与1S 颜色同，将1+n S 与1S 合为1个扇形，这时涂色法相当把圆分成n 个扇形，有n a 种，于是n n n a a 231⨯=++. 易求得)2)(1(211,2321,6112n n n n n n n a b b b b b a =--=-+-==++， 进而可得n n n n n a b )1(22,)21(2112-+=-+=-. 11．设4321x x x x ≥≥≥，且1432x x x x ≥++. 求证：4321243214)(x x x x x x x x ≤+++.注：由式子结构，令c x x x b x x x ==++432432,，则求证式可化为一个二次不等式： 0)2(22121≤+-+b x c b x （1）.由43111324243≤++=x x x x x x c b 及)(162bc c -=∆知0>∆，故不等式的解集为βα≤≤1x （2） 又b x b ≤≤13，故要证（2）式，只要证βα≤≤b b ,3，这是不难的.于是（2）成立，从而（1）成立，命题得证.12．设k 是给定正整数，41212+++=k k a ，求证：][n a 都能被k 整除（*N n ∈）. 注：以41212+++=k k a 及其共轭形式41212+-+=k k b 为根构造一个一元二次方程0)12(2=++-k x k x ，易证10,10<<<<n b b .令n n n b a U +=，则n n n U a U <<-1，所以*,1][N n U a n n ∈-=. 由0)12(11=++-++n n n ka a k a 及0)12(11=++-++n n n kb b k b 得112)2(++++-=n n n n U U U k U ，利用此式不难用数学归纳法证明：n U 是整数，且)(mod 1k U n ≡. 13．圆周上均匀地放上4枚围棋子，规定操作规则如下：原来相邻棋子若是同色，就在其间放一枚黑子；若异色，就在其间放一枚白子，然后把原来的4枚棋子取走，完成这一个程序就算是一次操作.求证：无论开始时圆周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4次，圆周上就全是黑子.注：因不知开始的4枚棋子的颜色及其排列顺序，按题意操作，情形比较复杂，下面构造一个反映题设条件的赋值模型，可使问题简化.设开始的4枚棋子为)4,3,2,1(=i x i ，并给棋子赋值，令⎩⎨⎧-=)(1)(1为白子若为黑子若i i i x x x ，规定⎩⎨⎧-=+++),(1),(1111异色若同色若i i i i i i x x x x x x 及12=i x .第一次操作后得到的4枚棋子可表为)(),(),(),(14433221x x x x x x x x ；第二次后得到的4枚棋子可表为))((),)((),)((),)((2114144343323221x x x x x x x x x x x x x x x x ，分别化简为)(),(),(),(24134231x x x x x x x x ；第三次后得到的4枚棋子可表为))((),)((),)((),)((3124241313424231x x x x x x x x x x x x x x x x ，化简后均为)(4321x x x x .第四次操作后得到的棋子都是24321)(x x x x ，故这四枚棋子赋值都为1，这表明：只段操作4次，圆周上全是黑子.14．用)(n f 表示由0和1组成的长度为n （例如10100,00101都是长度为5）的排列中没有两个1相邻的排列的个数，约定1)0(=f .求证：*),24(|3N m m f ∈-.注：长度为1的排列只有0，1，即2)1(=f ；长度为2的排列有00；01，10，11，即3)2(=f .长度为n 的排列可分为两类：以0结尾和以01结尾的.(1)以0结尾的排列中无两个1相连的排列的个数为)1(-n f ；(2)以01结尾的排列中无两个1相连的排列的个数为)2(-n f .于是)2)(2()1()(≥-+-=n n f n f n f ，下面用数学归纳法证明：当1=m 时，)2(|3,3)2()24(f f m f ==-；假设当k m =时，)24(|3-k f ，令)30(3)14(,3)24(10<≤+=-=-r r p k f p k f ，由递推式得r p p k f ++=)(3)4(10，,2)2(3)14(10r p p k f ++=+)32(33)3(3)24(]2)1(4[1010r p p r p p k f k f ++=++=+=-+，即当1+=k m 时，也有]2)1(4[|3-+k f .综上所述，当*N m ∈时，都有)24(|3-m f .15．设n 为正整数，我们称集合}2,,3,2,1{n 的一个排列},,,{221n x x x 具有性质:P 如果在}12,,3,2,1{-n 中至少有一个i ，使得n x x i i =-+||1.求证：具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.注：设，P ，B P A }{}{的排列不具有性质的排列具有性质==我们着眼于建立从B 到A 的一个映射“f ”，使它是单射并非满射，就能证明||||B A >.令B x x x x x b n i i ∈=-},,,,,{2121 ，则n x x ≠-||21，因而总能找一个排列},,,,,,,{21132n i i x x x x x x a -=使n x x i =-||1，这样的i 有且只有一个，与b 对立，显然A a ∈，按这样的对应法则建立映射)()(:A a B b f ∈→∈.易证f 是单射，下证f 不是满射.因对任何},,,,,{2121n i i x x x x x b -=，有n x x ≠-||21，n x x ≠-||32，故b 的象 },,,,,,,{21132n i i x x x x x x a -=的前二数之差的绝对值不等于n ，显然排列A n n n n ∈++}2,,2,,,1,1{ ，但不是B 中任何元素的象，所以f 不是满射，因此||||B A >，证毕.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第14讲竞赛常用思想
方法（二）
本讲概述
1.化归
所谓“化归”，是指把要解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类比较容易或者已经解决的问题中去．
在化归中，我们常常采用：
（1）把复杂问题化归成简单问题；
（2）把陌生问题化归成熟悉问题；
（3）把一般情况化归成特殊情况；
（4）加强命题．
2.整体法
在研究某些数学问题的时候，我们需要从问题的整体考虑，通过研究整体的特点来把握问题的本质。
运用整体法主要体现在下面两点：
（1）某些问题的条件或结论具有整体性特征，需要加以利用；
（2）某些问题的条件和结论是局部的，但无从下手，不妨从整体上考虑，把问题一般化.
3.算两次
“算两次”，也叫做Fubini原理，本质上就是从两个不同的角度，用两种不同的方法去分析同一个问题，或者求同一个值，这样就能得到一些非常有趣的等式，同时帮助我们解决问题.
比较简单的一个例子是三角形的面积，我们有若干种方法，不同的方法得到的结果其实是一样的，这就是三角形中一些基本的恒等式.
14.1 化归
【例1】 ⑴ 13个小朋友围成一个圆圈，从圈上至多能选出几个人，使得他们互不相邻？
⑵ 从1,2,…,13这13个数中至多可以选出几个数，使得选出的数中，每两个数的差及不等于5，也不等于8？
【例2】 设4n >是给定的整数，12,,...,[0,1]n x x x ∈，求证：
333222
12122312()()n n x x x x x x x x x n ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+≤
【例3】 20个数1,2,3,…,20，排成一个圈，每四个连续的方块可以颠倒次序（如20,1,2,3可以变成
3,2,1,20）。
如果原来的顺序是按照大小顺序的，问：能否通过多次操作，将它的次序变成： ⑴ 5,1,2,3,4,6,7,...,20； ⑵ 6,1,2,3,4,5,7, (20)
经典精讲
【例4】 设数列{}n a 和{}n b 满足11a =，13b =，且22
1
22
1,1,2,n n n n n n n n n n n n n n
a a
b a a b b n b b a b b a a ++⎧=+--+⎪=⋅⋅⋅⎨=+--+⎪⎩
求n a 和n b 关于n 的表达式.
【例5】 已知三元集{,2,3}A ab b c =和2{,2,3}B a b bc =，其中a ，b ，c 是非零常数，且A B =，求b 的
所有可能值.
经典精讲
14.2 整体法
【例6】在(4)
n n n
⨯≥的表格的一条对角线上的每个方格内有一个“+”，其余的每个格子内有一个“-”，将任意一行或一列中所有格子变号称为一次操作，证明：无论经过多少次操作，表格中的“+”不会少于n个．
【例7】证明
(1)(2)
12(1)3(2)1 6
n n n
n n n n ++
=⋅+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅．经典精讲
14.3 算两次
【例8】 设n 是正偶数，证明在下面n n ⨯的矩阵中，找不到一组“1,2,3,…,n ”，它们两两不同行也不同
列．
12323413452121n n n ⋅⋅⋅
⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅-⎝⎭
【例9】 设(3)n n ≥是给定的正整数，对于n 个实数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，记||(1)i j a a i j n -≤<≤的最小值为m ，
求在222
12
1n a a a ++⋅⋅⋅+=的前提下，m 的最大值．
实战演练
【演练1】求22
-+-的取值范围.
11
x y y x
【演练2】 设x 、y 、z 是正实数，且满足xyz x z y ++=，求222223
111
p x y z =-+
+++的最大值.
【演练3】解出下列方程组中的1x ：
1213141521232425313234354142
4345515253541111
1
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=-⎧⎪
+++=-⎪⎪
+++=-⎨⎪+++=-⎪⎪+++=-⎩
【演练4】证明：不存在一个17项的数列，它的每7个连续项之和为正，每11个连续项的和为负.
【演练5】在某学校里有b名老师和c名学生，假设满足下列条件：
（1）每名老师恰好教k名学生；
（2）对任意两名学生，恰好有h名老师同时教他们两个.
证明：
(1)
(1)
b c c
h k k
-
=
-
.。