自动控制原理 答案 黄坚习题详解

第二章 自动控制系统的数学模型习题

2-1 试建立图示电路的动态微分方程。

解：（a ）解法一：直接列微分方程组法

⎪⎩⎪⎨⎧-==+O i C O C C u u u R

u R u dt du C 21

i i O O u CR dt du u R CR R R dt du 1

21211+=++⇒ 解法二： 应用复数阻抗概念求

)()(11)(11s U s I Cs R Cs R s U O i ++= （1） 2

)()(R s U s I O = （2） 联立式（1）、（2），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U i o 2

12112)1()()

(+++= 微分方程为: i i

o

o u CR dt du u R CR R R dt du 1

212

11+=++ （b ）解法一：直接列微分方程组法

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+===C

O

C i O L C O L L L u R u dt du C R u u u u R u i dt di L u

)(212 (a) (b) + u C -

i

o o

o u R u R R dt du C R R L dt u d LC R 22121221)()(=++++⇒

解法二： 应用复数阻抗概念求

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=)(]1)()([)()

()()(2122

s U sC s U R s U R s U Ls R R s U s U C

C O i O C

)()()()()()(221212

1s U R s U R R s sU C R R L s U LCs R i

o o o =++++⇒ 拉氏反变换可得系统微分方程：

i

o o o u R u R R dt du C R R L dt u d LC R 22121221)()(=++++

2-7 证明图示的机械系统(a)和电网络系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

解：(a)取A 、B 两点分别进行受力分析。 对A 点有

)()()(211y x f x x f x x K o o i o i -=-+- (1)

对B 点有 y K y x f o 2

2)(=- (2) 对式（1）、（2）分别进行拉氏变换，得

)()()(211sY sX f sX sX f X X K o

o i o i -=-+- (a)(b) A

B

Y K sY sX f o 2

2)(=- 消去中间变量Y ，整理后得 222221212211i o s f )K s f ](K s )f f [()K s f )(K s f ()s (X )s (X ++++++= =212121212

21212212121

()1()1f f f f s s k k k k f f f f f s s k k k k k +++++++ (b) 由图可写出 s C R s C R s C R s E s C R s E i o 2

2

221

111

11)()(+⋅++=+

整理得 1)(1)()()(1

222112

212122112

21

21+++++++=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s E s E i o 比较两系统的传递函数，如果设2

21122111,1,,K C K C f R f R ====则两系统相似。 2-9 在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为t t e e t c --+-=21)(，试求系统的传递

函数和单位脉冲响应。 解： t 2t e 2e dt )t (dc )t (k ---== )

2s )(1s (23s 1s 12s 2)]t (k [L )s (+++=+-+==Φ 2-10 试绘制下列方程组描述的系统的动态结构图，并求传递函数)

()(s R s C 。 )()]()()[()()()(87111s C s G s G s G s G s R s X --= )]()()()[()(36122s X s G s X s G s X -= )()]()()([)(3523s G s G s C s X s X -=

)()()(34s X s G s C =

解： 系统结构图如下：

利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

8

4321743215436324

3211)()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s C -+++= 2-11 试用结构图等效化简或梅森公式求图示各系统的传递函数

)()(s

R s

C 。

解： (a)

1,,1,,,232212112212121=∆==∆=-=-=G G P G G P H G G L H G L 2

21123

2211)()(H G G H G G G G G s R s C +++= (b) H G G L H G G L 4

12211,-=-= H G G G G P G G P 41232212111,,1,+=∆==∆=

H G G H G G H G G G G G G s R s C 4

1214132211)1()()(++++=