高考数学复习专题函数的最值

函数的最值（值域）

●高考要求

掌握求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；掌握二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法

最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了反之，若求出的函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求出来了

●重难点归纳

(1)求函数的值域

此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、导数法数形结合法（图像法）导数法数形结合法、判别式法、部分分式、均值不等式、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域

(2)函数的综合性题目

此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强

(3)运用函数的值域解决实际问题

此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力

●知识点归纳

一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=

，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。记作()max 0y f x = 最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。记作()min 0y f x = 注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；

② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、 确定函数值域的原则

1、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合；

则值域为{1，2，3，4} 2、数)(x f y

=的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；

3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。 三、基本函数的值域

1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ；

2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；

当]44(0);44[022a

b a

c ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时

3、反比例函数)0(≠=k x

k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；

4、数函数)10(≠>=a a a y x

且的值域为}0/{>y y ；

5、对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ；

6、函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-；

7、函数 2

k x ,tan π

π+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

四、求函数值域的方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域

求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。 常用方法：

（1）观察法(用非负数的性质，如：2

0x ≥；0x ≥0(0)x ≥≥等)

例如：求下列函数的值域：y=-3x 2

+2;{y|y ≥2}

变式：y=5+21+x (x ≥-1).{y|y ≥5}最值问题，几乎涉及到高中数学的各个分支，是历年高考重点考查的知识点之一，有一些基础题，也有一些小综合的中档题，更有一些以难题形式出现．它经常与三角函数、二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识紧密联系．所以其解法灵活，综合性强，能力要求高．解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法．考生的运算能力，分析问题和解决问题能力在这里充分展现．

函数y=ax+1 (a ≠0，－1≤x ≤1)的值域是______. （2）直接法：利用常见函数的值域来求，

（3）配方法：(二次或四次) 转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：),(,)(2

n m x c bx ax x f ∈++=的形式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值； 例如：求值域：y=2

1x x ++，x R ∈；x []3,1-∈； (1,5]x ∈；[5,1]x ∈--

变式1：y ＝－x 2

＋4x －1 x ∈[-1,3)；

变式2：求函数y=

3

425

2+-x x 的值域.

变式3：当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2

-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值

范围是___（答：2

1

-≥a ）；

（4）换元法（代数换元法）通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想；

例如：求函数x x y -+=142的值域. (]4,∞- 变式1：求函数y=3x-x 21-的值域.{y|y ≤2

3}

变式2：21y x =++

_____

（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；

变式3：4y x =+____（答：4]）； 变式4：函数21x x y --=的值域为____

变式5：2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17

[4,

]8

-）；

变式6：sin cos sin cos y x x x x =++的值域为____（答：1

[1,2

-+）；

变式7：求函数)42(5log log 24

124

1≤≤+-=x x x y 的值域

（5）分离常数法（分式转化法）；对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．

（6）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x d

cx b

ax y ∈++=

例如：求下列函数的值域：y=

1

2

++x x ({y|y 1≠}) 变式：函数y =2

2

11x x +-的值域是（ ）

A.［－1，1］

B.（－1，1］

C.［－1，1）

D.（－1，1）

解法一：y =2211x x +-=212x +－1. ∵1+x 2≥1，∴0＜212x

+≤2.∴－1＜y ≤1. 解法二：由y =2

2

11x x +-，得x 2=y y +-11.∵x 2≥0，∴y y +-11≥0，解得－1＜y ≤1. 解法三：令x =tan θ（－2π＜θ＜2π

），则y =θ

θ2

2tan 1tan 1+-=cos2θ .∵－π＜2θ＜π，∴－1＜cos2θ≤1，即－1＜y ≤1.答案：B 求函数()3025

x

y x x -=

≥+的值域

求函数1

22+=x x y 的值域

（7）利用判别式法（将函数转化为二次方程）；若函数y =f （x ）可以化成一个系数含有y 的关

于x 的二次方程a （y ）x 2+ b （y ）x +c （y ）=0，则在a （y ）≠0时，由于x 、y 为实数，故必须有Δ=b 2（y ）－4a （y ）·c （y ）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x 值.

例5 求函数y =4

32

+x x 的最值．[-43

,43]

变式：2222

1

x x y x x -+=++；[1,5]

（8）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x

y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3

(,]2

-∞）；

（9）基本不等式法：转化成型如：)0(>+

=k x

k

x y ，利用基本不等式公式来求值域； 设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值范围是____________.

（答：(,0][4,)-∞+∞）。

求函数)52(1

≤≤+=x x

x y 的值域

求函数4

142

2++

+=x x y 的最小值

（10）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域

如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；

如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；

求1(19)y x x x =-

<<，229sin 1sin y x x =++的值域为______（答：80(0,)9、11[,9]2

）； 函数f (x )=x x x

1log 823-

+-的值域【2,3??+∞????

】 函数4

1

2

)

2

1(-

-=x x

y

的值域【(

】

（11）数形结合：根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域

已知点(,)P x y 在圆22

1x y +=上，求

2

y

x +及2y x -

的取值范围（答：[33-

、[）；

求函数

. 求函数2sin 2cos x

y x

-=

-的值域

（12）导数法―求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

●典例剖析

题型一：函数值域问题 例1、求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=

x x y ④x

x y 1+= 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]

②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1111111+-=+-+=+=

x x x x x y ∵01

1

≠+x ∴1≠y

即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1

+

==2)1(2+-

x

x 2≥， 当x<0时，)1

(x x y -+

--==－2)1(2---

-x

x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞)（此法也称为配方法） 函数x

x y 1

+

=的图像为：∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞) 例2．求下列函数的值域：

（1）2

32y x x =-+；（2

）y =；（3）31

2

x y x +=

-； （4

）y x =+（5

）y x =（6）|1||4|y x x =-++；

（7）22221x x y x x -+=++；（8）2211()212x x y x x -+=>-；（9）1sin 2cos x

y x

-=-。

解：（1）（配方法）

2212323

323()61212

y x x x =-+=-+≥，

∴2

32y x x =-+的值域为23

[

,)12

+∞。 改题：求函数2

32y x x =-+，[1,3]x ∈的值域。

解：（利用函数的单调性）函数2

32y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26。 ∴函数2

32y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]。

（2）求复合函数的值域：设2

65x x μ=---（0μ≥）

，则原函数可化为y =。

又∵2

2

65(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤

[0,2]，

∴y 的值域为[0,2]。 （3）（法一）反解法：由31

2x y x +=

-得213+=-y x y ，由此得3y ≠∴原函数312

x y x +=-的值域为

{|3}y R y ∈≠。

（法二）分离变量法：313(2)77

3222

x x y x x x +-+===+

---， ∵

702x ≠-，∴7

332x +≠-，∴函数312

x y x +=

-的值域为{|3}y R y ∈≠。 （4）换元法（代数换元法）

：设0t =≥，则21x t =-，

∴原函数可化为22

14(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞。 注：

总结y ax b =++

变形：2y ax b =+

2

y ax b =++（5）三角换元法：∵2

1011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，

则cos sin )4

y π

ααα=+=

+

∵[0,]απ∈，∴5[,]444

π

ππ

α+∈

，∴sin()[42πα+∈-

，

)[4

π

α+

∈-

，∴原函数的值域为[-。

（6）数形结合法：23(4)

|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-??

=-++=-<

，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞。

（7）判别式法：∵2

10x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R 。

由22221

x x y x x -+=++得：2

(2)(1)20y x y x y -+++-= ①

①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈

②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2

(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△22

(1)4(2)0y y =+-?-≥，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]。 （8）2

1

21(21)1111

2121212122

2

x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，

∵12x >，∴102

x ->

，∴112122x x -+≥-

当且仅当11

2

122

x x -=-

时，即12

x +=时等号成立。

∴12y ≥

，∴原函数的值域为1

,)2

+∞。

（9）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，

)12x y ?-=-

（其中cos ??=

=

），

∴sin()[1,1]x ?-=

-

，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403

y ≤≤

， ∴原函数的值域为4

[0,]3

。

点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。 变式：求下列函数的值域：①])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=

x b a b a bx

a bx

a y （2种方法）； ②)0,(,32-∞∈+-=x x x x y （2种方法）；③)0,(,1

3

2-∞∈-+-=x x x x y （2种方法）；

例3求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域

方法一：（判别式法）去分母得 (y -1)2

x +(y+5)x -6y -6=0 ①

当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2+4(y -1)×6(y+1)≥0由此得 (5y+1)2≥0

检验 51

-=y 时 2)

5

6

(2551

=-?+-

-=x （代入①求根）

∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5

1-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1

综上所述，函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}

方法二：（分离常数法）把已知函数化为函数3

6

133)3)(2()3)(2(--

=+-=+---=x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1

∵ x=2时 51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5

1

-}

例4 （分段函数法及图像法）求函数y=|x+1|+|x-2|的值域

解法1：将函数化为分段函数形式：

??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，

画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}

解法2：（几何法或图象法）∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上

的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞] 如图

例5求函数x x y -+=142的值域

解：(换元法)设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2

t

代入得 t t t f y 4)1(2)(2

+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4

例6设函数2

221

()log log (1)log ()1

x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；

（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理

由

解：（1）由101100x x x p x +?>?-??->?

->??

，解得1

x x p >??

当1p ≤时，①不等式解集为?；

当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<，∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >

（2）原函数即2

2221(1)()log [(1)()]log [()]24

p p f x x p x x -+=+-=--+， 当

1

12

p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112

p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值

题型二：最值问题

例1．（2002全国理，21）设a 为实数，函数2

()1f x x x a =+-+，x ∈R ． （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值．

解：（1）当0a =时，函数2

()()1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；

当0a ≠时，2

()1f a a =+，2

()21f a a a -=++，()()f a f a -≠， ()()f a f a -≠-．

此时函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；

（２）①当x a ≤时，函数2

2

13()1()2

4

f x x x a x a =-++=-++． 若1

2

a ≤

，则函数()f x 在(]a -∞,上单调递减，从而，函数()f x 在(]a -∞,上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，则函数()f x 在(]a -∞，上的最小值为13

()24

f a =+，且

1

()()2

f f a ≤； ②当x a ≥时，函数2

213()1()24

f x x x a x a =+-+=+-+；

若12a -≤，则函数()f x 在[)a +∞，上的最小值为13()24

f a -=-，且1

()()2f f a -≤．

若1

2

a >-，则函数()f x 在[)a +，∞上单调递增，从而，函数()f x 在[)a +，∞上的最小值为

2()1f a a =+．

综上，当12a -≤时，函数()f x 的最小值是3

4

a -， 当11

22a -

<≤时，函数()f x 的最小值是21a +， 当12a >时，函数()f x 的最小值是3

4

a +．

点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x ∈R ，f （0）=|a |+1≠0，由此排除f （x ）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a =0时，f （x ）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。 变式1：设函数2

()21f x x x =+--，x ∈R ．

（１） 判断函数()f x 的奇偶性；（2）求函数()f x 的最小值．

解：（１）(2)3f =，(2)7f -=，由于(2)(2)f f -≠，(2)(2)f f -≠-． 故()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．

（２）()f x ＝2

232

12

x x x x x x ?+-??-+

由于()f x 在[)2+，∞上的最小值为(2)3f =，在(2)-∞，内的最小值为1

3()24

f =． 故函数()f x 在()-+∞，∞

内的最小值为34

．

例2：已知函数f (x )=x

a

x x ++22,x ∈［1,+∞)，

(1)当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值

(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围

思路分析 解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得 (1)解 当a =

21时，f (x )=x +x

21

+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=

2

7

O

y x

(a ,f (a ))

(b ,f (b ))

图1

(2)解法一 在区间［1，+∞)上，

f (x )=x

a x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立

设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)，∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，

∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3

解法二 f (x )=x +

x

a

+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；

当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,

当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3

点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想

例3．（2008江苏理，20）已知函数1

1()3

x p f x -=，2

2()23

x p f x -=?（12,,x R p p ∈为常数）．函

数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()

()(),()()

f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?

>?若若

（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；

（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为

2

b a

-（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -） 解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于

()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于1

2

3

23

x p x p --≤，

即12

3log 23

32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. （*）

由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（*）等价于12

3

2p p -≤，即123log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件

（2）分两种情形讨论

（i ）当1232p p log -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈） 则由()()f a f b =及1a p b <<易知12

a b

p +=

，

再由111

11

3,()3,p x x p x p f x x p --?

函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度

为22

a b b a b +--=

（参见示意图1） （ii ）1232p p log ->时，不妨设12,p p <，则213log 2p p ->，于是 当1x p ≤时，有1212()33()p x

p x f x f x --=<<，从而1()()f x f x =；

当2x p ≥时，有31

2122122log 212()333333()x p p p x p p p x p x p f x f x --+----===>=

从而 2()()f x f x = ； 当12p x p <<时，11()3

x p f x -=，及22()23

p x

f x -=?，由方程1

23

23x p p x --=?

解得12()()f x f x 与图象交点的横坐标为 12031

log 222

p p x +=+ ⑴

显然10221321

[()log 2]2

p x p p p p <=---<， 这表明0x 在1p 与2p 之间。由⑴易知

10

1022

(),()(),p x x f x f x x x p f x ≤≤?=?<≤?

综上可知，在区间[,]a b 上，0

102

(),()(),a x x f x f x x x b f x ≤≤?=?<≤? （参见示意图2）

故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为

012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12323p a b p --=?，得 123log 2p p a b +=++ ⑵

故由⑴、⑵得 0121231()()[log 2]2

2

b a

x p b p b p p --+-=-+-=

综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2

a

b -。

点评：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x ∈R ，f （0）=|a |+1≠0，由此排除f （x ）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a =0时，f （x ）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。

题型三：函数的综合题

例1.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足： (1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =

(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；

(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*

12

(3),n n S a n N =--∈. 求证：1231

12332

()()()()2n n f a f a f a f a n -?+++

+≤+-.

解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤

由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （2分） （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥

22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥

max ()(1)3f x f ∴== （6分）

(III)

*

12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥

1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= (8分) 11

1112113333333()(

)()()()23()4n n n n n n n

n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1

111

43

333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

2211221

14144

144441

12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故1

13

()2n n f a -≤+ 1213

13

1()1()()()2n n

f a f a f a n --∴++

+

≤+即原式成立。 （14分）

点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。

例2．（2003北京春，理文21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

50

3000

3600- =12，所以这时租出了88辆车。

（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为： f （x ）=（100－

503000-x ）（x －150）－50

3000

-x ×50，

整理得：f （x ）=－502x +162x －21000=－50

1（x －4050）2

+307050。

所以，当x =4050时，f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050。

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 点评：根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。 例3．（2006湖南 理20）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：）物体质量（含污物）

污物质量

-

1为8.0，要求清洗完后的清洁度为99.0。有两种

方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(≤≤a a 。设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是

1

8

.0++x x )1(->a x ，用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是

a y ac y ++，其中c )99.08.0(<

(Ⅰ)分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

(Ⅱ)若采用方案乙, 当a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小? 并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响。 解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z 。

由题设有

0.8

1

x x ++=0.99，解得x =19。 由0.95c =得方案乙初次用水量为3,

第二次用水量y 满足方程: 0.950.99,y a

y a

+=+解得y =4a ,故z =4a +3.即两种方案的用水量分

别为19与4a +3。

因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少。 （II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得

54

5(1)

c x c -=

-，(99100)y a c =-（*）

于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1

100(1)15(1)a c a c =

+----

当a 为定值时,11x y a a +≥-=-+,

当且仅当

1

100(1)5(1)

a c c =--时等号成立。

此时1)1(0.8,0.99),c c =+

=-不合题意,舍去或

将1c =-

*

）式得11,.x a y a =>-=

故1c =-

,

此时第一次与第二次用水量分别为1a 与，

最少总用水量是()1T a a =-+。

当'13,()10a T a ≤≤=

->时, 故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量。

点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向。

题型四：课标创新题

例1．（1）设

d cx bx ax x x f ++++=2

34)(，其中a 、b 、c 、d 是常数。 如果,30)3(,20)2(,10)1(===f f f 求的值)6()10(-+f f ；

（2）若不等式)1(122

->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：（1）构造函数,10)()(x x f x g -=则,0)3()2()1(===g g g

故：.810460)6)(36)(26)(16(100)

10)(310)(210)(110()6()10(=---------++----=-+r m f f

（2）原不等式可化为

.0)12()1(2<---x m x 构造函数

)22)(12()1()(2

≤≤----=m x m x m f ，其图象是一条线段。 根据题意，只须：

?????<---=<----=-,0)12()1(2)2(,0)12()1(2)2(22

x x f x x f

即?????<-->-+.0122,03222

2x x x x

解得

23

1271+<<+-x 。 点评：上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题，体现了函数的工具作用。

例5、（2004年广东，19）设函数f （x ）=|1－

x

1

|（x ＞0）， 证明：当0＜a ＜b ，且f （a ）=f （b ）时，ab ＞1.

剖析一：f （a ）=f （b ）?|1－a 1|=|1－b 1|?（1－a 1）2=（1－b

1

）2?2ab =a +b ≥2ab ?ab

＞1.

证明：略.

剖析二：f （x ）=???????+∞∈-∈-).,1(11],1,0(11

x x

x x

证明：f （x ）在（0，1］上是减函数，在（1，+∞）上是增函数.由0＜a ＜b 且f （a ）= f （b ），

得0＜a ＜1＜b 且a 1－1=1－b 1，即a 1+b

1

=2?a +b =2ab ≥2ab ?ab ＞1.

评注：证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.