选修2-1教案22-3椭圆综合应用【2】

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.2椭圆的综合应用（二）

类型一：定值定点

先猜后证是一种重要的数学思想方法，波利亚说：先猜后证——这是大多数的发现之道. 先用合情推理提出猜想，然后用演绎推理证明猜想，先猜后证是直觉思维与逻辑思维天衣无缝地对接，是结论从发现到证明的完美过程，猜想与证明相辅相成相得益彰.

圆锥曲线中的定值、定点、定直线存在性探索问题， 由于结论的不确定性，使得问题具有探索性和开放性，最能考查考生的探索能力和创新意识，最能甄别不同思维层次的考生，因此倍受命题人青睐.

下面用先猜后证的方法来破解圆锥曲线中的“定值” 存在性探索题.

例1．已知椭圆C ：22143x y +

=．F E 、是椭圆C 上的两个动点，点)2

3

1(，A 是椭圆上的一个定点．如果直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值． 解：

①“特殊”探讨：取点)02(，

F (即右顶点)2

3

23=?-=?AE AF k k ?直线AE 的方程：x y 23=．由???

?

??

=+=12

432

322y x x y 231-=?-=y x ?F

E E

F F E y y k x x -=-)1(2)

23(0----=2

1=． ②一般性的证明：设过点)2

3

1(，A 的直线方程为：2

3)1(+

-=x m y 由?????

=++-=12

4323)1(22y x x m y ?

22233+4+4(32)4()1202m x m m x m -+--=（）． 设方程的两根为1x 、A x ，则1x ·A x ＝1x ?1x ＝22

3

4()12

234m m --+．

分别用“k ”“k -”替换“m ”

223

4()12234E k x k --=+＝343

12422+--k k k ，32E E

y kx k =+-＝3

4296622++--k k k ， F x ＝34312422

+-+k k k ，F y ＝3

429

662

2+++-k k k ．所以直线EF 的斜率 F E EF

F E y y k x x -=-=21)

3124()3124()

29

66()2966(2222=----++---++-k k k k k k k k ．

即直线EF 的斜率为定值，其值为

12

． 小结：①取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序；②上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担．

例2.以()10,1F -,()20,1F 为焦点的椭圆C

过点P ?

????

.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点S （1

3

-，0）的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个

定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；否则，说明理由.

解（Ⅰ）椭圆C 的方程是2

2

12

y x +=. （Ⅱ）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是22

1x y +=，若直线l 垂直于x 轴，

则以AB 为直径的圆是2

211639x y ?

?++= ??

?，

由222

2

1,

116,

39x y x y ?+=????++=? ??

??解得1,0.x y =??=?即两圆相切于点()1,0， 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0.事实上，点()1,0T 就是所求的点. 证明如下：

当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点()1,0T ， 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ?

?=+

???

， 由221,31,

2

y k x y x ???=+ ???????+=??消去y 得()22222122039k x k x k +++-=，

设()()1122,,,A x y B x y ，则21222

12223,2

129.2k x x k k x x k ?

-?

+=??+??-?=?+?

，

又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，

()()121211TA TB x x y y ∴?=--+

()()()222121222

2222211111

391221193111

2329

k x x k x x k k k

k k k k k ??

=++-+++ ???

--??=+?+-?++ ?++?? 0=

TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .

故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. 练习题：

1、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为

2

，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线P A 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.

（1）求P 点坐标； （2）求证直线AB 的斜率为定值；

解：（1）设椭圆方程为22221y x a b +=，由题意可得

2,2,22a b c ===，所以椭圆的方程为22

142

y x +=

则12(0,2),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=---

22

1200(2)1PF PF x y ∴?=--=

点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y +=2

2

0042

y x -∴= 从而2

2

004(2)12

y y ---=，得02y =，则点P 的坐标为(1,2)。 （2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，

设PB 斜率为(0)k k >，则PB

的直线方程为：(1)y k x =-

由22(1)124

y k x x y ?=-??+

=??

得222(2)2))40k x k k x k +++-=

设(,),B B B x y

则222

2(2

122B k k k x k k

---=-=++

同理可得2222A k x k +-=+

，则22A B

x x k -=+ 2

8(1)(1)2A B A B k

y y k x k x k -=----=

+ 所以直线AB

的斜率A B

AB A B

y y k x x -=

=-.

2、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，

最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

解：由题意设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b +=>>

3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===，

故所求椭圆方程为22

143x y +=

(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214

3y kx m

x y =+??

?+=??得

222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，

22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.

2121222

84(3)

,.3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

2

121212122

3(4)

()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+

以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴

?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得

1222,7

k

m k m =-=-

，且满足22340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-

时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

类型二：设而求之求范围

例3.过点()0,2D 的直线l 与曲线2

2:12x C y +=相交于两点M 、N ，且M 在D 、N 之间,设

DM MN λ=,则实数λ的取值范围是 .

解：

方法一：当直线的斜率不存在时,(0,1),(0,1)M N -,此时1

2

λ=

; 当直线的斜率存在时,设ｌ:2y kx =+代入椭圆方程得:22(21)860k x kx +++=，226424(21)0k k ?=-+>得23

2

k >，

设1122(,),(,)M x y N x y ,则122122821

621k x x k x x k ?

+=-??+???=

?+?

, DM MN λ=. 121()x x x λ∴=-又

11221,x x x x x λ≠∴=- 则121x x λλ=+ . 122111x x x x λλ

λλ+∴+=+

+ . 又22

2121222112232322213(21)3(2)

x x x x k x x x x k k

+∴+==-=-++，由2

32k >

,得232164133(2)k <<+,即12211023x x x x ∴<+<即110213λλλλ+∴<+<+,又102λλ>∴>.综上:1[,)2

λ∈+∞

方法二：当直线的斜率不存在时,(0,1),(0,1)M N -,此时1

2

λ=

; 当直线的斜率存在时,设ｌ:2y kx =+代入椭圆方程得:22(21)860k x kx +++=，226424(21)0k k ?=-+>得

23

2

k >

，设1122(,),(,)M x y N x y .

DM MN λ=. 121()x x x λ∴=-又1

1221

,x x x x x λ≠∴=

- 不妨设直线的斜率为正时，有12x x >

，则1x

，2x =

121111222x x x λ==-=-+>-， 综上可知1

[,)2

λ∈+∞（斜率为负值时同理可得）.