正交矩阵及其性质
正交矩阵及其性质
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此 cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y ,
| AX || AY | | X || Y |
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月13 日星期 日上午 7时42 分29秒0 7:42:29 20.12.1 3
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7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月上午 7时42 分20.12. 1307:4 2December 13, 2020
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 07:42:2 907:42: 2907:4 2Sunda y, December 13, 2020
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所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
8 2020/12/13
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1320. 12.13Sunday, December 13, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。07:4 2:2907: 42:2907 :4212/ 13/2020 7:42:29 AM
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
正交矩阵及其性质
定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵. 证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也 是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵. 4
a1Ta n T a2 an
T an an
因此ATA=I的充分必要条件是 a iTa i (a i ,a i ) 1, i 1,2, , n;
且 a iTa j (a i ,a j ) 0,
n
j i, i, j 1,2, , n.
即A的向量组 {a1 ,a 2 , ,a n } 为R 的一组标准正交基 . 此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
4.3 正交矩阵及其性质
1 2018/1/4
定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT ) 定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基. 证 设
a11 a21 A an1
a12 a22
an 2
2018/1/4
定理
方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
推论1
A是正交矩阵
A A
T
正交矩阵的判断方法
正交矩阵的判断方法正交矩阵是一个非常重要的概念，在数学和工程学科中都有广泛应用。
正交矩阵的性质包括不改变向量的长度和角度，因此在许多应用中有着重要的作用。
在本文中，我们将介绍判断矩阵是否是正交矩阵的方法。
一、正交矩阵定义及性质在线性代数中，矩阵的转置和逆是非常重要的概念，而正交矩阵可以看作是一种比较特殊的矩阵，它的定义和性质包括：1. 定义：一个矩阵A被称为正交矩阵，当且仅当满足AA^T=A^TA=I，其中I表示单位矩阵。
2. 性质：正交矩阵有很多重要的性质，其中最重要的包括：（1）行向量互相正交，列向量也互相正交。
（2）行向量和列向量的范数都等于1。
（3）行列式的值为1或-1。
（4）矩阵的转置就是它的逆，即A^{-1}=A^T。
（5）正交矩阵的逆也是正交矩阵。
二、正交矩阵的判断方法判断矩阵是否是正交矩阵，通常需要用到正交矩阵的定义和性质。
下面我们将介绍一种比较常用的判断方法，包括以下几个环节：1. 矩阵是否是方阵：正交矩阵必须是一个方阵，因此首先需要判断矩阵是否是方阵。
2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：这是判断矩阵是否是正交矩阵的核心方法，需要将矩阵自身乘以它的转置，并且将转置乘以矩阵自身，判断是否等于单位矩阵，即AA^T=A^TA=I。
3. 判断行向量和列向量是否互相正交：如果矩阵满足条件1和条件2，那么可以进一步判断行向量和列向量是否互相正交。
具体方法是计算每一行与每一列的点积，如果结果都等于0，则说明行向量和列向量互相正交。
4. 判断行向量和列向量是否归一化：如果矩阵满足条件1和条件2，那么还需要判断行向量和列向量是否归一化，即是否满足每一行和每一列的范数都等于1。
5. 判断矩阵的行列式是否为1或-1：如果矩阵满足条件1和条件2，那么它的行列式值必须为1或-1。
如果行列式的值不是1或-1，则说明矩阵不是正交矩阵。
三、具体实现方法下面我们将详细介绍上述几个环节的具体实现方法。
1. 判断矩阵是否是方阵：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 shape 函数来获取矩阵的形状，如果矩阵的行数和列数相等，则说明矩阵是方阵，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_square_matrix(matrix):shape = np.shape(matrix)return shape[0] == shape[1]```2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 dot 函数和 transpose 函数求解矩阵乘积和矩阵转置，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_orthogonal_matrix(matrix):if not is_square_matrix(matrix):return FalseAAt = np.dot(matrix, matrix.T)AtA = np.dot(matrix.T, matrix)return np.allclose(AAt, np.eye(matrix.shape[0])) and np.allclose(AtA,np.eye(matrix.shape[1]))```其中 np.allclose 函数用于判断两个数组是否相等，可以通过设置 rtol 和 atol参数来控制误差容限。
正交矩阵对称矩阵
其中，1 的个数 k 称为 A 的正惯性指数、-1 的个数 r-k 称为负正惯性指数， 它们是由矩阵 A 唯一确定的， r 是矩阵 A 的秩，2k-r 称为 A 的符号差。
几何意义： ϕ ( x ) = x T Ax 定义了 n 维向量空间上的一个二次齐次函数， 定理 1 说明存在一个满秩线性变换 y = P −1 x ，使得二次齐次函数在新的坐 标基下有下述规范形
（2）
θ 为参数。
至于 sin θ = 0 时，A 必为下述四种情况之一：
1 0 − 1 0 1 0 −1 0 0 1 ， 0 − 1 ， 0 − 1 ， 0 1 Nhomakorabea
前两种情况，可归为（2）中的第一个矩阵（ θ =0，Pi） ；后两种情况可归为 。总之，2 阶正交阵可以表示为（2）的 （2）中的第二个矩阵（ θ =0，Pi） 形状。
如果实矩阵 A 满足 AT=A，则称 A 是对称矩阵。
I 合同、二次曲面的射影与仿射分类
(I.1) 合同
若存在可逆矩阵 P 使得 PTAP=B，则称 A，B 为两个合同矩阵。
定理 1：对称矩阵 A 必合同于对角阵，即存在可逆矩阵 P 使得
PTAP=diag(1,1,…,1,-1,…,-1,0,…,0)。
虚椭球面（虚曲面） 椭球面或双叶双曲面或椭圆抛物面 单叶双曲面或双叶抛物面 虚锥面 实锥面或柱面 一对虚平面（虚曲面） 一对实平面 二个重合的平面
x12 = 0
二次曲线的射影分类：
A 的秩 3 3 2 2 1
符号差 方 程 虚曲线 圆锥曲线 一对虚曲线 一对实直线 重合直线 曲 面
3 1 2 0 1
前者表示旋转，后者表示关于 s 轴的反射变换，如图所示：
正交变换与正交矩阵
正交变换与正交矩阵正交变换是线性代数中的重要概念，它在图像处理、三维计算机图形学和信号处理等领域中得到广泛应用。
而正交矩阵则是与正交变换密切相关的基本概念。
本文将详细介绍正交变换和正交矩阵的概念、性质以及应用，并探讨它们之间的关系。
一、正交变换的概念正交变换是指保持向量内积和向量长度不变的线性变换。
假设$V$是一个$n$维实内积空间，对于任意的向量$\mathbf{x},\mathbf{y} \in V$和标量$a$，满足以下条件的线性变换$T$称为正交变换：1. 向量内积不变：$(T\mathbf{x}) \cdot (T\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$2. 向量长度不变：$||T\mathbf{x}|| = ||\mathbf{x}||$二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是一种特殊的方阵，满足以下条件：1. 矩阵的列向量是正交的单位向量。
2. 矩阵的行向量也是正交的单位向量。
3. 矩阵的转置等于其逆矩阵。
正交矩阵的性质如下：1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
2. 正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵。
3. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。
4. 正交矩阵具有保持向量内积和向量长度不变的性质。
三、正交变换与正交矩阵的关系正交变换可以用正交矩阵来表示，反之亦然。
对于给定的正交变换$T$，存在一个正交矩阵$Q$，使得$\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$，其中$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$表示向量。
四、正交变换与正交矩阵的应用正交变换与正交矩阵在许多领域中有着广泛的应用。
以下列举了几个典型的应用：1. 图像处理：正交变换可以用于图像的平移、旋转和缩放等操作，以及图像的主成分分析等。
2. 三维计算机图形学：正交变换可以实现三维物体的旋转、平移和投影等操作，用于生成逼真的视觉效果。
3. 信号处理：正交变换可以用于信号的滤波、降噪和频谱分析等，提高信号的质量和准确性。
正交矩阵
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即 E R R =' （2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其ii r >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n 阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，……，12m mm nm a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,rP P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５） 由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝0022002200100001⎛⎫- ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=0000002311110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2n E，也就是将A =()ij a 对应于2n E的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n na a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2nE 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M 中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群. 为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i ni k c c c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x yz s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222xy zs p p p A φφφφ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++= 22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a = 32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p aa a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交矩阵. 根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=（取正值）22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵TA z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111 两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ） 来讨论， 而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=-（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x z x x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x ax z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAA y z ''++''''+21122221222311()z x AAA z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵的有关结果
正交矩阵的有关结果一、定义：设A 是n 阶矩阵，若T A A E =，则称矩阵A 为正交矩阵。
由定义容易验证：(1) 正交矩阵的每一行(列)元素的平方和等于1；(2) 不同行(列)对应元素的乘积等于0。
二、性质：1、若A 是正交矩阵，则||1A =或-1。
2、设A 是n 阶正交矩阵，证明：(1) 如果||1A =，则A 的每一元素等于它自己的代数余子式；(2) 如果||1A =-，则A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值。
证明：由定义知：1T A A -=，而*1||A A A -= ，所以*||T A A A =。
又*()T ij A A =，所以()||ij A A A =。
从上式得需要的结果。
3、设A 是n 阶实矩阵，证明：(1) 如果||1A =，且A 的每一元素等于它自己的代数余子式，则A 是正交矩阵；(2) 如果||1A =-，且A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则A 是正交矩阵。
证明：(1) 因为1**1()()||T T T ij ij A A A A a A A -=====，所以A 是正交矩阵。
类似可以证明(2)。
4、设A 是n 阶实矩阵，3n ≥，且0A ≠。
证明：(1) 如果A 的每一元素等于它自己的代数余子式，则A 是正交矩阵；(2) 如果A 的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则A 是正交矩阵。
证明：由A 的每一元素等于它自己的代数余子式，得：*T A A =。
两边取行列式得：*||||T A A =，所以1||||n A A -= (*)。
因为0A ≠，所以至少有一个元素不等于零。
不妨设110a ≠，则111111||n n A a A a A =++ 221110n a a =++>而3n ≥，则从(*)式得||1A =。
从性质3结果知A 是正交矩阵。
类似可以证明(2)。
5、设A 是一个n 阶正交矩阵，证明：（1）如果A 有特征值，则A 的特征值只能是1或1-；（2）如果1A =-，则1-是A 的一个特征值；（3）如果1A =，且n 是奇数，则1是A 的一个特征值。
矩阵的正交变换
矩阵的正交变换是指一个线性变换，该变换通过正交矩阵来实现。
正交矩阵是
一种特殊的矩阵，它的行向量和列向量都是正交的，即它们的点积为零。
如果矩阵P是正交矩阵，那么线性变换y = P x称为正交变换。
正交变换具有
以下性质：
1. 保持向量的长度不变：对于任意向量x，有∣∣y∣∣ = ∣∣x∣∣，即变
换前后的向量长度保持不变。
2. 保持向量的正交性：如果变换前向量x和向量y正交，那么变换后向量y'
和向量x'也正交。
3. 在标准正交基下，正交变换对应的矩阵为正交矩阵。
此外，正交矩阵还有以下性质：
1. 正交矩阵的所有特征值为±1。
2. 正交矩阵的行列式为±1。
3. 正交矩阵的逆矩阵和共轭转置矩阵仍为正交矩阵。
4. 正交矩阵乘积仍为正交矩阵。
这些性质使得正交变换在许多领域中都有重要的应用，例如线性代数、几何学、信号处理等。
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为Rn的一组标准正交基.
此定理可作为判定正交矩阵的一种方法
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定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.
4.3 正交矩阵及其性质
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定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I,
就
称A为正交矩阵.(A-1=AT )
定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A
的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.
证设
a11 a12 L a1n
A
a21 M
a22 M
L OaM2n 源自an1 an2 L ann
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定理 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列 向量构成标准正交组。
推论1 方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行 向量构成标准正交组。
A是正交矩阵 AT A-1
AT 是正交矩阵
c
c
方阵A的列向量构成 标准正交组
方阵A的行向量构成 标准正交组
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例 现有标准正交组
按列分块为[a1,a2,...,an],
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于是
AT
A
aa12TT
M
a1,a2 ,L
,an
aa12TTaa11
M
a1Ta 2 a 2Ta 2
M
L L O
a1Ta a2Ta
n n
M
a
T n
a
aT
n1
a nTa 2
L
anTan
因此ATA=I的充分必要条件是
aiTai (ai ,ai ) 1, i 1,2, , n; 且 aiTa j (ai ,a j ) 0, j i, i, j 1,2, , n.
cos AX , AY ( AX , AY ) ( X ,Y ) cos X ,Y , | AX || AY | | X || Y |
所以AX与AY夹角与X,Y的夹角相同.
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证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A))2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也
是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标 准正交基,
(iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得 AB也是正交矩阵.
18
18
a (- 4 , 1 , 1 )T
18 18 18
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定义 若A为正交矩阵，则线性变换 Y AX
y1
a11x1 L LLL
a1n xn
ym am1x1 L amn xn
n
或 yi aij xj i 1,L , m. j 1
称为正交变换。
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变 向量的模、夹角和距离。
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也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩 阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积 与长度及向量间的夹角都保持不变, 即
(AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|,
{AX,AY}={X,Y}. 证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y
=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因 此
a1
(1 3
,
2 3
,
2) 3
a2 (0,
1 ,2
1) 2
a 求三维向量 使得矩阵 (a1,a2 ,a ) 为正交矩阵
解 a (x, y, z)T a1,a2 ,a 是标准正交组
a1a 0 a2a 0
a 1
1 3
(x
2
y
2
z)
0
1 (y - z) 0
2
x2 y2 z2 1
xm 4 yz 1