正弦函数余弦函数的性质

3 2k ], k Z 上是减函数 在区间 [ 2k , 2 2

y 余弦曲线： cos x


xR



y
1







-1


Байду номын сангаас
x
对称性： 对称轴： x k , k Z 奇偶性： 偶函数 对称中心：(
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最大值的x的集合
{x | x 2k , k Z}
2、y=sin2x x ∈R
解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需 z∈R，且函数y=sinz，z∈R的T=2π，即 变量z只要并且至少要增加到z+2π，函数 y=sinz，z∈R的值才能重复取得，而 z+2π=2x+2π=2（x+π）
故变量x只要并且至少要增加到x+π， 函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
得，即T=4π
总结：
一般地，函数y=Asin(ωx+φ),x∈R或 Y=Acos(ωx+φ),x∈R（A、ω、φ为常数， 且A≠0， ω>0）的周期是：
T
2

x
对称性： 对称轴： x 奇偶性：

2
k , k Z
对称中心： (k , 0) k Z
奇函数
正弦曲线：y sin x


xR


y
1







-1





7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
( ,0) ( 32 ,0) x 2 2 图象的最低点 ( ,1)
-
正弦曲线：y sin x


xR


y
1







-1




使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
-1+1=0.
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
x
最高点： 2k ,1) k Z ( 2

最低点： (

2
2k , 1) k Z
y 最值： 当 x 2k 时， max 1 2
2 2
当 x 2k 时，ymin 1 2
单调性： 在区间 [ 2k , 2k ], k Z上是增函数
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R 取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x

k , k Z }

k , k Z }
周期性
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期。
• 周期性的图象理解
1 0.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
12.5
-0.5
-1
1
0.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
12.5
-0.5
-1
例题2、
求下列函数的周期：
1：y=3cosx x ∈R
解：因为余弦函数的周期是2π，所 以自变量x只要并且至少需要增长到 x+2π，余弦函数的值才会重复取得， 函数y=3cosx的值才能重复取得， 所以T=2π。
最低点：( 2k , 1) k Z
y 当x=k时， min 1
单调性： 在区间 [ 2k , 2k ], k Z 上是增函数 在区间 [2k , 2k ], k Z 上是减函数
例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
7 6
4 3
3 2
2
图象的最低点 ( 32
x
,1)
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最高点 与x轴的交点
1-
(0,1) (2 ,1)
-1
o
-1 -
6

3

2
2 3
5 6
正弦函数、余弦函数的性质
1 1
0.5
0.5
1 -0.5
2
3
4
5
6
1 -0.5
2
3
4
5
6
-1
-1
正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-
(五点作图法)
图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点 (0,0) ( ,0) (2 ,0)
5 3 11 6

-
-1
o
-1 -
6


2
3
2 3
5 6

1 3、y 2 sin( 2 x 6 )
x∈R
解：令 z x
1 2

6
，那么x∈R必须并且只要
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
1 1 于 z 2 x 2 ( x 4 ) 。所以自变量z只 2 6 2 6
要并且至少要增加到z+4π，函数值才能重复取
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R取最大值的t的集合是 {t | t 2k , k Z } 2 由 2 x t 2k 得 x k 2 4 所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是

2
k , 0) k Z
y 余弦曲线： cos x


xR



y
1







-1


x
最高点： (2k ,1) k Z 最值： 当x=2k时，ymax 1