工程非线性振动学习总结
非线性振动系统稳定性及分析方法综述
非线性振动系统稳定性及分析方法综述非线性振动是指系统在受到外界激励下，系统的响应不仅与激励的大小和频率有关，还与系统自身的非线性特性有关。
非线性振动在工程和科学中具有广泛的应用，然而，非线性振动系统的稳定性分析是一个复杂而重要的问题。
本文将对非线性振动系统的稳定性及分析方法进行综述。
首先，我们需要了解非线性振动系统的稳定性定义。
稳定性是指系统在扰动下具有恢复到平衡位置或围绕平衡位置进行周期性运动的能力。
在线性振动系统中，稳定性的判断相对简单，通常通过分析系统的特征方程的特征根来进行判断。
然而，在非线性振动系统中，由于存在非线性项，特征方程的解析解通常难以获得，因此需要借助其他分析方法来评估系统的稳定性。
非线性振动系统的稳定性分析方法主要有两种：解析法和数值法。
解析法基于系统的数学模型，通过对系统进行分析和求解来得到系统的稳定性判断。
数值法则是基于数值计算的方法，通过数值模拟来评估系统的稳定性。
解析法中最常用的方法是利用极限环理论进行分析。
极限环理论是利用极限环的性质来判断非线性振动系统的稳定性，主要包括判断极限环存在与否以及存在的极限环的形状和大小。
该方法适用于无阻尼非线性振动系统的稳定性判断，但对于有阻尼的系统则需要引入其他修正方法。
此外，解析法中还包括利用能量法、均衡法、周期解法等方法进行稳定性分析。
能量法是通过系统能量的变化来推导系统的稳定性判断条件，均衡法是通过判断系统的平衡位置的稳定性来得到系统的整体稳定性，周期解法则是通过求解系统的周期解来评估系统的稳定性。
另一种方法是数值法，数值法通过数值模拟计算来评估系统的稳定性。
数值法可以利用现代计算机技术进行大规模模拟计算，得到系统的响应曲线和稳定性判断结果。
数值法具有灵活性和高精度的特点，在实际工程中得到了广泛应用。
常用的数值方法包括有限元法、多体动力学法、广义谱方法等。
非线性振动系统的稳定性分析方法还可根据系统的特点分为两类：周期系统和非周期系统。
机械结构的非线性振动分析与控制
机械结构的非线性振动分析与控制导言机械结构的振动问题一直是工程领域研究的热点之一。
在很多实际工程中，机械结构的非线性振动常常会导致系统的不稳定，严重影响系统的性能和寿命。
因此，对机械结构的非线性振动进行准确分析和有效控制具有重要意义。
本文将探讨机械结构的非线性振动分析与控制方法。
1. 非线性振动的特点非线性振动是指振动系统中存在非线性力学特性，无法用简谐运动描述的振动现象。
相比于线性振动，非线性振动具有以下几个主要特点：1.1 非线性受力关系：非线性振动系统的受力关系与位移和速度等参数呈现非线性特性，可能存在诸如摩擦力、硬度非线性等现象。
1.2 非线性固有频率：非线性振动系统的固有频率可能随着振幅的变化而发生变化，即频率可参量现象。
1.3 多周期运动：非线性振动系统的周期可以是整数倍的基频周期，即存在周期倍频振动。
2. 非线性振动分析方法为了准确地分析机械结构的非线性振动特性，研究者们提出了许多有效的方法。
下面介绍三种常用的非线性振动分析方法：2.1 广义多自由度方法：该方法基于插值函数（如模态函数或形态函数），将振动系统转化为有限多自由度系统。
通过求解广义动力学方程，可以得到系统的响应和频率响应曲线。
2.2 数值模拟方法：该方法通过建立机械结构的非线性数学模型，并采用数值计算方法（如有限元法）对方程进行求解。
数值模拟方法对于非线性振动系统的分析提供了一种直观、高精度的手段。
2.3 非线性正交函数方法：该方法利用正交函数展开法将非线性振动系统的运动方程转化为一组非线性代数方程。
通过求解非线性代数方程，可以得到系统的响应特性。
3. 非线性振动的控制方法针对机械结构的非线性振动问题，研究者们也提出了多种控制方法。
以下是两种常见的非线性振动控制方法：3.1 被动控制方法：被动控制方法通过改变机械结构的刚度、质量、阻尼等参数来降低非线性振动的影响。
例如，采用阻尼器、振动吸收器等装置来减小振动幅值，提高系统的稳定性。
非线性振动汇总讲解
目录1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1)1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3)1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4)1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5)1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5)1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7)1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7)1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 81.4.1同步涡动的临界转速： (9)1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9)1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10)1.5mathematic源代码 (11)2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12)2.1 分析 (12)2.2 MATLAB编程求解 (16)两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =⨯=⨯，材料密度337.810/Kg cm ρ-=⨯。
固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。
ϕ为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ϕπ=⨯=。
假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。
求：①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程；②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图；③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。
非线性振动系统的稳定性分析
非线性振动系统的稳定性分析随着现代科技的快速发展，非线性振动系统的研究越来越受到人们的关注。
非线性振动系统是指振动系统中的运动方程中包含非线性项的系统。
由于非线性项的存在，这类系统往往表现出复杂的运动形式，如混沌、周期性、封锁等。
因此，研究非线性振动系统的稳定性分析成为了解和掌握其中运动规律的重要途径。
一、非线性振动系统的基本特征在振动系统的运动方程中引入非线性项，通常可以通过以下方式实现：1. 引入非线性的弹性力学特性，如阻尼、弹性、刚度等；2. 引入非线性的耗散机制，如摩擦、液力阻尼、温度等。
在这些非线性因素的影响下，振动系统的运动可呈现出以下特征：1. 非周期性。
在非线性振动系统中，由于系统存在非线性项，系统的运动轨迹不再是简单的周期性运动，而是出现了一些复杂的不规则的运动轨迹，如混乱、周期性、跳跃、封锁等。
2. 多周期性。
非线性振动系统的周期性运动不像线性振动系统那样单一，而是出现了多个周期性运动。
这是由于振动系统的周期性运动对初值条件的敏感度很高，微小的初值条件变化可能会导致完全不同的周期运动。
3. 相位变化。
相位是振动系统中关键的量，它反映了运动的状态。
在非线性振动系统中，由于系统运动的复杂性，相位往往会发生一些不可避免的变化。
以上这些特征充分说明了非线性振动系统的复杂性和多样性。
如何分析和掌握非线性振动系统的运动规律，就成了非线性振动系统稳定性分析的核心问题。
二、非线性振动系统的稳定性分析非线性振动系统的稳定性分析可以分为两种情况，即稳定性分析和局部稳定性分析。
其中，稳定性分析是指在非线性振动系统中，一般初值条件下，系统的运动是否会趋于稳定；而局部稳定性分析是指在非线性振动系统中，已知系统运动稳定的条件下，如何分析其局部稳定性。
稳定性分析是非线性振动系统的一个重要问题。
在非线性振动系统中，系统的初值和参数往往会影响系统的运动规律，因此，要分析一个非线性振动系统的稳定性，需要考虑系统的参数、初值以及运动轨迹等因素。
振动学知识点总结
振动学知识点总结振动学知识点总结如下：一、振动的基本概念1. 振动的定义：指物体在某一平衡位置附近作来回运动的现象。
2. 振幅：振动物体在做往复运动时，离开平衡位置的最远距离。
3. 周期：振动物体完成一个完整的往复运动所需要的时间。
4. 频率：振动物体每秒钟完成的往复运动次数。
5. 相位：描述振动物体在振动周期中的位置关系。
二、单自由度振动系统1. 单自由度振动系统的概念：由一个自由度由一个自由度运动的质点和它的运动机构构成。
2. 自由振动：指单自由度振动系统在没有外力作用下的振动。
3. 阻尼振动：指单自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。
4. 强迫振动：指单自由度振动系统受到外力作用的振动。
三、非线性振动1. 非线性振动的概念：指振动系统的振动特性不满足线性振动方程的振动现象。
2. 非线性系统的分类：按系统的非线性特征分为几何非线性、材料非线性和边界非线性等。
3. 非线性振动的分析方法：包括解析法和数值法等。
四、多自由度振动系统1. 多自由度振动系统的概念：由多个自由度组成的振动系统。
2. 自由振动：指多自由度振动系统在没有外力作用下的振动。
3. 阻尼振动：指多自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。
4. 特征值问题：多自由度振动系统的固有振动特征。
5. 模态分析：多自由度振动系统振动特征的分析方法。
五、控制振动1. 振动控制的目的：减小系统振动、防止系统振动引起的损伤。
2. 主动振动控制：通过主动装置对系统进行振动控制。
3. 被动振动控制：通过被动装置对系统进行振动控制。
4. 半主动振动控制：融合了主动和被动振动控制的特点。
六、振动信号与分析1. 振动信号的特点：包括时间域特征、频域特征和相位特征等。
2. 振动信号采集与处理：使用传感器采集振动信号，并通过信号处理方法对其进行分析。
3. 振动分析方法：包括频谱分析、波形分析、振动模态分析和振动信号诊断分析等。
七、振动与工程应用1. 振动在机械领域的应用：包括减振、振动吸收、振动监测及振动诊断等。
非线性振动系统在工程中的应用研究
非线性振动系统在工程中的应用研究引言：振动是一种普遍存在于各个领域中的现象，从工业生产到科学研究，都离不开对振动现象的理解和控制。
传统的振动系统多以线性模型为基础，但对于一些非线性现象，如共振、混沌等，传统线性模型却显得力不从心。
因此，研究和应用非线性振动系统成为近年来的热点。
一、非线性振动系统的数学模型非线性振动系统的数学模型是研究和应用的基础。
非线性振动系统的数学模型主要包括哈密顿系统、罗金系统和范德波尔方程等。
这些数学模型研究非线性振动系统的各种特性，如稳定性、周期性、混沌等，并在工程中得到广泛应用。
二、非线性振动系统在模拟和仿真中的应用非线性振动系统在模拟和仿真中起到了重要作用。
在工程设计中，通过建立非线性振动系统的模型，可以更准确地模拟真实环境下的振动现象，从而进行更精确的预测和分析。
此外，非线性振动系统还可以被用来仿真并评估工程结构的可靠性和安全性。
三、非线性振动系统在信号处理中的应用非线性振动系统在信号处理中也有广泛的应用。
由于非线性振动系统具有复杂的振动特性，因此可以用来处理和分析复杂的信号。
例如，在音频信号处理中，非线性振动系统可以用来产生音乐特效，改变声音的音调和音质等。
此外，非线性振动系统还可以用于图像和视频处理中，提高图像和视频的质量。
四、非线性振动系统在能量转换和传输中的应用非线性振动系统在能量转换和传输中有着重要的应用。
例如，在能量回收领域，通过利用非线性振动系统的共振效应，可以将废弃能量转化为可用能量，提高能源利用效率。
此外，非线性振动系统还可以用于无线能量传输和振动能量传感器的设计，实现能量的高效传输和转换。
五、非线性振动系统在自适应控制中的应用非线性振动系统在自适应控制中也有着广泛的应用。
通过对非线性振动系统进行建模和分析，可以设计出适应系统动态变化的控制策略，使系统能够自动调整工作状态，提高系统的稳定性和性能。
此外，非线性振动系统还可以用于振动降噪和抑制系统中，减少噪声对系统的干扰。
非线性振动现象的分析与控制
非线性振动现象的分析与控制引言：振动是物体在受到外界力的作用下产生的周期性运动。
在很多实际应用中，振动现象是无法避免的。
传统的振动理论常常以线性振动为研究对象，但在实际工程中，由于材料的非线性特性或者复杂的系统结构等因素的影响，一些系统的振动往往表现出非线性特征，这给振动控制带来了挑战。
本文将从非线性振动的基本原理、分析方法和控制策略等方面进行介绍。
1. 非线性振动的基本原理非线性振动的基本原理是指在振动系统中，系统的运动方程中存在非线性项。
非线性项可能来自于系统的非线性弹簧，非线性摩擦力以及非线性扰动等。
这些非线性项会使得系统的运动不再满足叠加原理，产生新的现象。
在非线性振动中，振幅的大小和振动频率之间存在复杂的关系，如倍频现象、相位共振等。
2. 分析非线性振动的方法为了分析非线性振动系统，常常需要采用数值模拟方法。
其中，一种常用的方法是时域分析，即通过求解系统的运动方程，得到系统的时域响应。
另一种方法是频域分析，即通过将时域信号转换到频域，分析系统的频谱特性。
此外，还可以通过相平面分析方法来研究非线性系统的稳定性、受激振动和共振现象等。
3. 非线性振动的控制策略在实际应用中，为了控制非线性振动系统，常常需要采取相应的控制策略。
其中，一种常见的方法是使用非线性控制器，通过引入非线性反馈来补偿系统的非线性特性。
另一种方法是使用自适应控制策略，根据系统的变化实时调整控制参数。
此外，还可以通过参数识别和模型预测控制等方法来实现对非线性振动的控制。
4. 实际应用中的非线性振动现象非线性振动现象在实际应用中普遍存在。
例如在建筑结构中，由于地震或风荷载等外力的作用，结构会发生非线性振动，给结构的安全性和稳定性带来威胁。
在机械系统中，由于轴承的非线性摩擦力或者悬挂系统的非线性特性，机械系统会出现非线性振动，影响其性能和寿命。
因此，对于非线性振动的分析和控制具有重要的理论和实际意义。
结论：非线性振动现象是实际工程中普遍存在的重要问题。
非线性振动分析技术在机械工程中的应用研究
非线性振动分析技术在机械工程中的应用研究随着科技的不断发展，机械工程领域也在不断更新迭代。
其中非线性振动分析技术便是其中一个不可或缺的环节。
本文将探讨非线性振动分析技术在机械工程中的应用研究。
一、非线性振动分析技术的简介非线性振动分析技术是指当系统从平衡位置发生微小偏移时，反映系统不同部位之间相互作用出现的非线性现象。
与传统线性振动不同，非线性振动分析技术具有涉及到的电子、力学、材料科学、流体力学、大气科学等众多领域，可谓是一门跨学科的学科。
非线性振动分析技术广泛应用于车辆、飞机、船舶、机械、电子等领域。
其中机械工程中的应用最为广泛。
二、非线性振动分析技术在机械工程中的应用非线性振动分析技术在机械工程中的应用主要包括三个方面：非线性动力学分析、非线性振动信号处理和非线性振动控制。
1. 非线性动力学分析非线性动力学分析是指对非线性系统进行振动分析的过程，非线性振动分析技术在其中占有重要的作用。
非线性振动分析技术能够帮助工程师研究和预测系统的稳定性、振动响应和运动轨迹等。
例如，非线性振动分析技术在发动机机械系统中的应用，能够帮助工程师在研究基础振动、振动传递路径、非线性振动及其控制等方面得到很好的支撑。
2. 非线性振动信号处理非线性振动信号处理是指通过非线性振动信号的分析、处理，从中提取出有效信息的方法。
非线性振动信号处理的目的是为了实现故障诊断和预测。
非线性振动信号处理技术可以应用于飞机、管线、轴承等系统的故障诊断。
与传统线性信号处理技术相比，非线性信号处理技术更加适用于复杂系统中故障的诊断。
3. 非线性振动控制非线性振动控制是指通过控制技术，在系统发生非线性振动时，通过控制振动的幅值、频率和相位，以达到改善机械设备运行效果的目的。
非线性振动控制的主要方法有磁流变阻尼器、主动振动控制、阻尼跳跃等。
三、非线性振动分析技术在今后的应用前景随着科技的不断发展，非线性振动分析技术将在未来得到更加广泛的应用。
工程非线性振动
１０ 余部 ， 被引用 ２９８０ 余次 。 指导研究生 １００ 余名 ， 已有 ７０ 名研究生取得了硕士
学位 ， ５５ 名研究生取得了博士学位 ， 还曾指导博士后 １０ 名 、 俄罗斯和哈萨克斯坦 访问学者各 １ 名 。 曾应邀去日本 、德国 、 澳大利亚等国讲学 ， 参加过在美 、英 、日 、 澳、 加、 意、 韩、 保、 匈、 新、 马、 芬、 前苏联 、 西班牙等 ２０ 余个国家召开的国际学术会 议 ， 宣读论文 ５０ 余篇 ， 并多次应邀做大会报告 ， 还曾访问德 、 波、 瑞士 、 瑞典 、 乌克 兰、 拉脱维亚 、 泰国 、 朝鲜等国 。 他曾主持召开国际学术会议 ４ 次 ， 主编国际学术 会议论文集 ４ 种 。 闻邦椿院士完成了数十项国家和横向重大科研项目 ， 包括国家自然科学基金 重大项目 、 重点项目 、 面上项目和 ９７３ 、 ８６３ 项目等 ，曾获国际奖两项 ， 国家发明奖 和科技进步奖 ４ 项 ， 省 、 部、 委级奖 １０ 余项 ， 全国优秀科技图书奖 ２ 项 ， ２００６ 年还 获得中国工程院颁发的光华工程科技奖 ， 申请与被批准的国家专利 １０ 项 。 有多项 成果达到国际先进水平或国际领先水平 ， 取得了重大的经济效益和社会效益 。 本书是他领导的科研团队所取得的重要科学研究成果之一 。
中国科学院印刷厂印刷
科学出版社发行 各地新华书店经销 倡 ２００７ 年 ８ 月 第 一 ２００７ 年 ８ 月 第 一 次 印 刷 印 张 ： ２６ ３／４ 印数 ： １ — ３ ０００ 版 开 本 ：B ５（７２０ × １０００） 字数 ： ５２０ ０００
定价 ： 48畅 00 元 （如有印装质量问题 ， 我社负责调换枙科印枛）
工程非线性振动
闻邦椿 李以农 徐培民 韩清凯 编著
非线性振动系统的特性分析与控制
非线性振动系统的特性分析与控制引言振动是普遍存在于自然界和工程领域的一种现象，其涉及到许多重要的问题，包括结构的疲劳、能量的传递和噪声控制等。
线性振动系统的特性已被广泛研究和应用，但非线性振动系统的特性及其控制机制则远不为人所熟知。
本文将讨论非线性振动系统的特性分析与控制。
一、非线性振动系统的特性非线性振动系统的特性与线性系统存在着显著差异。
首先，非线性振动系统的响应非线性，即其振幅和频率不随外力的大小和频率而线性变化。
其次，非线性振动系统存在着多个稳定状态，即系统可能会在不同的运动状态之间跳跃，呈现出周期性和混沌现象。
此外，非线性振动系统对初条件和参数变化非常敏感，轻微的扰动可能会导致不同的响应，这种现象被称为“极端灵敏性”。
二、非线性振动系统的数学模型非线性振动系统的数学模型可以通过包括振动微分方程在内的物理规律建立起来。
常用的非线性振动系统模型包括Duffing方程、Van der Pol方程和Lorenz方程等。
这些方程描述了非线性振动系统中力的非线性特性和自身的动力学行为。
通过对这些方程的求解，可以得到非线性振动系统的运动方程和稳定状态。
三、非线性振动系统的控制方法针对非线性振动系统的特性，人们提出了多种控制方法，以实现系统的稳定和控制。
传统的控制方法包括有限时间控制、滞环控制和非线性反馈控制等。
有限时间控制是通过引入时间因子限制系统在有限时间内达到一个预定的稳定状态。
滞环控制则是通过增加一个非线性环节，利用系统的滞后特性来实现稳定。
非线性反馈控制是通过引入非线性反馈环节来抑制系统的非线性特性。
这些传统的控制方法在一定程度上能够实现对非线性振动系统的控制，但难以解决系统的混沌行为和极端灵敏性等问题。
近年来，人工智能和机器学习技术的发展为非线性振动系统的控制带来了新的突破。
通过建立系统的数学模型，可以利用神经网络和遗传算法等技术对系统进行建模和优化。
并且，通过监控系统的状态和响应，可以使用强化学习技术来实现对系统的自适应控制。
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东北大学《非线性振动》学习总结第一章非线性振动的定性分析方法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。
李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。
（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。
（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。
定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态稳定。
对于复杂的非线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据一次近似方程的稳定性，判断原方程的稳定性：（1）若一次方程的所有本征实部均为负，则原方程的零解渐进稳定（2）若一次近似方程至少有一本征实部为正，则原方程的零解不稳定（3）若一次近似方程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原方程的零解的稳定性1.2相平面、相轨迹和奇点与系统的运动状态一一对应的像平面上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。
像平面内能使方程右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。
保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平行线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满足几点的定义；（4）在势能取极小值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个小领域内都有E大于等于V（x）。
这种类型的奇点是稳定的，称为中心。
（5）在势能取极大值的点x= S2处，设E小于V(S2)则在区间（C1，C2），内没有对应的相轨迹，这种类型的奇点是不稳定的，称为鞍点。
通过鞍点的相轨迹称为分割线。
在势能曲线的拐点x= S3，奇点为退化的鞍点，对应于不稳定的平衡态保守系统的势能在平衡状态处有非孤立极小值，则平衡状态不稳定。
线性系统存在等时性。
分段线性系统是一类特殊的非线性振动系统，其恢复力f（x）为x的分段线性函数。
f（x）=Fsgn x 这类最简单的分段线性恢复力常见于自动控制系统，称为邦邦控制。
具有线性恢复力的保守系统的相轨迹为椭圆族。
对于更复杂的分段线性系统，其相轨迹可由直线、抛物线和椭圆线拼接形成。
定理：如果区域f（x s，μ）>0位于曲线f（x s，μ）=0的上方，则平衡位置稳定，奇点为中心。
如果f（x s，μ）=0的下方，则平衡位置不稳定，起点为鞍点。
曲线是那个dμ/d x s为零或取不定值所对应的点μ=μ1，μ2，μ3，都具有临界性质，因为当μ经过这些点时，奇点的个数和类型都发生突变，因此μ1，μ2，μ3，就是相轨迹的分叉点。
若f（x，μ）为线性函数，则不存在分叉点，所以分叉现象只发生于非线性系统。
1.2.5相轨迹的作图法等倾线法：另方程右边等于常数C，得到（x，y）两平面内以C为参数的曲线族，称为相轨迹的等倾线族。
列纳法：只用于线性恢复力的特殊情形1.2.6耗散系统的自由振动1、粘性阻尼运动过程伴随能量耗散的机械系统称为耗散系统，如带有粘性阻尼活干摩擦的系统。
图a相轨迹是朝原点趋紧的螺线，它围绕奇点（远点）转动却始终达不到奇点的位置，这类奇点称为稳定焦点。
系统的运动为衰减振动。
图b相轨迹尚未完成绕奇点转动一周既接近奇点，这类奇点称为稳定节点，系统的运动为衰减的非往复运动。
耗散系统的c必须为正数，若c为负值，则意味着系统的总机械能不仅没有耗散，相反，不断从外界取得能量。
这种特殊情况称为负阻尼。
负阻尼系统的平衡状态不稳定，相轨迹为不断向外扩展的螺线或射线。
这类奇点称为不稳定焦点或不稳定结点2、干摩擦相轨迹线为由半径递减的半圆组成的螺线，x轴上区间（-F，F）内的每个点都是奇点而构成干摩擦的死区。
1.3奇点的分类1.3.1平面动力学系统设动力学系统的状态方程的普遍形式为含两个状态变量的动力学系统成为平面动力学系统，或简称平面系统。
右边不含时间t而称为平面自治系统。
其中为状态变量，选择适当的T可是变换后的J称为若当标准型，矩阵J与A有相同的本征值1.3.2线性系统的奇点类型分别对以下不同情形讨论矩阵J的本征值与奇点的关系：1、J有不同的本征值λ1，λ2相轨迹为指数曲线族。
α<0即λ1，λ2异号时，奇点为鞍点，α>0即λ1，λ2同号时，奇点为结点。
结点的稳定性可以利用式来判断，λ1，λ2同为负号时为稳定节点，λ1，λ2同为正号时为不稳定节点。
2、J有二重实本征值λ1=λ2若λ1=0，则相轨迹与u2轴重合，。
若λ1≠0，当t→∞时u2/u1无限增大，du2/du1→∞，及所有的相轨迹都趋向于u2轴相切，奇点为结点。
结点的稳定性用式来判断，λ1>0时不稳定，λ1<0时稳定。
3、J有共轭负本征值λ1，2=α±iβ相轨迹为围绕奇点的螺线，奇点为焦点。
焦点的稳定性用式判断α<0时为稳定焦点，α>0时为不稳定焦点。
对于α=0的特殊情形，相轨迹转化为椭圆奇点为中心。
1.3.3奇点的分类准则线性变换后的变量与变换前的变量x为线性同构，他们的奇点的类型完全相同。
起点的不同类型由参数p和Δ完全确定：Δ>0：λ1，2 为不等实根；若p>0,则λ1，λ2同号，奇点为节点，p<0稳定，p>0不稳定。
若q<0，则λ1，λ2异号，奇点为鞍点。
若q=0.，即A为奇异情形，则λ1，2出现零根，相轨迹为平行直线族。
奇点为退化情形Δ=0：λ1，2为重根。
奇点为结点。
P<0稳定,P>0不稳定Δ<0：λ1，2为共轭复根。
若p=0，奇点为中心，p≠0，奇点为焦点，p<0稳定，P>0不稳定。
1.4极限环1.4.1瑞利方程和范德波尔方程极限环：其运动微分方程的解在相平面上所确定的相轨迹是一条孤立的封闭曲线自激振动是一种与极限环相对应的周期运动。
瑞利方程：范德波尔方程：1.4.2闭轨迹的稳定性定义：若给定任意小的正数ε，存在正数δ，使得在初始时刻t=t0，从闭轨迹Γ的任一侧距离δ处出现的受扰相轨迹上的点在t>t0时从留在闭轨迹Γ的距离ε以内，则称未扰闭轨迹为稳定。
反之不稳定。
若未扰闭轨迹稳定，且受扰轨迹与未扰闭轨迹距离当t→∞时趋近于零，则称无扰闭轨迹为渐进稳定。
极限环的稳定性也可以利用点映射概念说明：在相平面内做线段L使在任何位置均不与相轨迹相切，称为无切点线段。
从L上任一点P出发的相轨迹若再一次与线段L相交，称交点P’为P的后继点。
设P和P’相对于L上的参考点O的坐标为s和s’，则s’是s的函数，称为后继函数，此函数建立起线段L上得点P与后继点P’之间的点映射关系。
定义为P与P’的距离，若飞f（s0）=s0或d（s0）=0，则s0是点映射的不动点，即过该点的相轨迹为闭轨迹。
若d（s0）=0，而d’（s0）≠0，则为Γ孤立闭轨迹，即极限环。
d’（s0）<0，时为Γ稳定极限环，d’（s0）>0，为不稳定极限环。
极限环也有可能出现一侧稳定但另一侧不稳定的情形，称为半稳定极限环。
更普遍的意义下，若，且，则称Γ为k的重极限环。
k=1时称为单重极限环，若k为奇数，且，则Γ稳定；Γ不稳定。
若k为偶数，则为Γ半稳定。
稳定或不稳定的单重极限环也成为双曲闭轨。
1.4.3闭轨迹存在的必要条件（1）封闭相轨迹内部至少有一个奇点（2）若只有一个奇点，则此奇点必须是中心、焦点或结点（3）若有几个奇点，则奇点指数的代数和为+1，即鞍点的数目必须比其他奇点的数目少11.4.4闭轨迹存在的充分条件若平面自治系统在环形域D的边界上的相轨迹均由外向内进入D域，且D域内无奇点，则在D 域内存在稳定极限环。
1.4.5闭轨迹不存在条件对于用式描述的平面自治系统，如果在单连通域D内P，Q有连续偏导数，且为常号函数，则在D域内必不存在闭轨迹。
1.4.6闭轨迹稳定性定理若平面自治系统的闭轨迹Γ的特征指数h<0，则闭轨迹Γ稳定；若h>0，则Γ不稳定。
第二章非线性振动的近似解析方法近似解析方法的研究对象多为弱非线性系统，通常是寻求非线性系统可能存在的周期解。
2.1谐波平衡法2.1.1谐波平衡法概述谐波平衡法的基本思想是将振动系统的激励项和方程的解都展成傅里叶级数。
从物理意义考虑，为保证系统的作用力与惯性力的各阶谐波分量自相平衡，必须令动力学方程两端的同阶谐波的系数相等，从而得到包含未知系数的一系列代数方程，以确定待定的傅里叶级数的系数。
讨论以下普遍形式的非线性系统的受迫振动：不是一般性，设F(t)为偶函数，且不含常值分量。
另一种叙述方式称为伽辽金法根据虚功原理，得到：伽辽金法只要求此等式在每个周期内的平均意义上成立。
2.1.2弱非线性系统但自由度弱非线性系统的动力学方程可写为：ε是足够小的独立参数，称为小参数方程所表示的线性系统成为原非线性系统的派生系统，ω0为派生系统的固有频率。
派生系统的解称为派生解。
方程的解称为基本解。
2.1.3达芬系统的自由振动达芬系统就是打分方程描述的系统。
对于弱非线性情形，以三项系数ε为小参数，动力学方程为：2.1.4达芬系统的受迫振动相位差与频率的关系式为：线性系统的相频特性是该式ε=0的特殊情形2.1.6跳跃现象当激励频率从零开始缓慢的增大时，受迫振动振幅从图2.3的点A处沿幅频特性曲线连续变化至点B处，在增大频率，则振幅从点B突降至C点。
这种振幅突然变化的线性称为跳跃现象，是非线性系统特有的现象之一。
系统的运动状态随着参数变化而发生突然变化的现象称为动态分岔。
2.2正规摄动法2.2.1摄动法概述按小参数ε的幂次展开的近似计算方法，称为摄动法或小参数法。
讨论由以下带小参数的动力学方程描述的但自由度非自治系统：当ε=0时，方程退化为固有频率为w0的线性方程：即原系统的派生系统。
实际使用小参数法，由于计算工作量随着幂次的增高而迅速增加，因此往往只取级数的前几项。
2.2.2远离共振的受迫振动讨论达芬系统受简谐激励的受迫振动，动力学方程为：其中激励频率ω远离派生系统的固有频率ω0。
基本系统的受迫振动规律为：省略号为更高阶的近似解。
与线性系统的受迫振动比较，非线性系统在ω频率的激励作用下，所产生的响应中不仅包含ω频率的受迫振动，而且有3ω，5ω，等频率高次谐波同时发生，称为倍频响应，是非线性系统的有一特有现象。
2.2.3多频激励的受迫振动设硬弹簧系统同时受到两个频率不同的间歇激励，激励频率ω1和ω2都远离派生系统的固有频率，动力学方程为：解为：除了激励频率ω1和ω2及其倍数之外，还存在2ω1+ω2、ω1+2ω2、|2ω1-ω2|、|ω1-2ω2|，等组合频率，这种从根本上不服从线性系统叠加原理的频率耦合现象，是非线性系统的又一重要特征。