高等代数数学分析
南京大学数学分析高等代数考研真题与解析
学习资料收集于网络，仅供参考 南京大学数学分析，高等代数考研真题 南京大学 2002 年数学分析考研试题 一 求下列极限。 (1 x)x cos x
（1） lim 2
；
x sin x )ln(1 x) (sin x
2
（2）设 f ( x) x ln( a x) ， x ( , a) ，
（ i） f ( x) 在 ( , a) 上的最大值； （ ii ）设 x1 ln a ， x2 ln( a x1 ) ， x
n 1
二 设 f ( x) sin x 1 f (x) 在 [2, ，试证明
ln x
三 设 f ( x) 在 x 0 的某个邻域内连续，且 f (0)
（ 1）求 f (0) ； f ( x) （ 2）求 lim 2 ；
x 0 x
f ( xn ) ， ( n 2,3, ) ，求 lim xn
。
n
) 内有无穷多个零点。
0 ， lim f ( x) ， 2
x 0 1 cosx
（ 3）证明 f ( x) 在点 x 0 处取得最小值。
四 设 f ( x) 在 x 0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且lim f (x) 0 ，试证明： x 0 x
（ 1） f (0) f (0) 0 ；
（ 2）级数 f ( 1 ) 绝对收敛。
n 1 n
五 计算下列积分
（ 1）求 xex dx；
ex 1
（2） I zxdydz xydzdx
yzdxdy，其中 S 是圆柱面
x
2
y2
1，三个坐标平面及
S
旋转抛物面 z 2
x
2 y2 所围立体的第一象限部分的外侧曲面。
六 设 f ( x) C[a, b] ， f ( x) 在 ( a, b) 内可导， f (x) 不恒等于常数，且 f (a) f (b) ， 试证明：在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f ( ) 0 。
七在变力F yzi zxj xyk 的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 学习资料
数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )
由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数 k1, k2 ，使
k1Cα + k2Cβ = 0 ，即 k1α + k2β = 0 ，即α , β 线性相关
2
浙江大学
1999 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题及解答
3
1999 年招收硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答
一：证明：充分性：若 f ( x) 能表示成一个整数多项式的平方，显然 f ( x) 在有理数域上可
约
必要性：由于 f ( x) 在有理数域上可约，在存在整数系数多项式 g ( x), h ( x) 有
所以 Α 是一个线性变换，
由于 A 和 − A 无公共特征根，即根据 (1) 的结论就有
AX = X (− A) 只有零解，即 AX + XA = 0 只有零解，从而 Α 可逆，即
八：证明：(1) 设 A 的特征多项式为 f (λ ) ， B 的特征多项式为 g (λ ) ，由于 A, B 无公共特
( 征值，从而 f (λ ), g (λ )) = 1，所以 f ( B) 可逆，由于 AX = XB ，故对于 ∀n ∈ ∗ ，均有
An X = XBn ，就有 f ( A) X = Xf ( B) ，所以 Xf ( B) = 0 ⇒ X = 0 ，
⎡⎣En − αα T ⎤⎦−1 = ⎡⎣En + αα T ⎤⎦
三：证明： (1) 由于存在 m 阶可逆矩阵 P1 和 n 阶可逆矩阵 P2 ，有 A = P1 [Em 0] P2 ，即
高等代数知识体系 数值分析与线性代数
高等代数知识体系数值分析与线性代数高等代数是数学的一个重要分支，它涉及一系列抽象的数学概念和理论，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
在高等代数的学习和应用过程中，数值分析和线性代数是不可或缺的两个方面。
一、数值分析数值分析是研究利用数值方法解决数学问题的学科。
它通过数值计算来近似求解无法用解析方法得到精确解的问题，包括求解非线性方程、数值积分、差分方程等。
数值分析的基本原理和方法是在给定的数学模型基础上，通过离散化、近似计算等手段，得到问题的数值解。
数值分析的核心内容包括插值与逼近、数值积分、常微分方程的数值解法、线性方程组的数值解法等。
插值与逼近用于通过已知数据估计函数的值，数值积分研究如何用数值方法近似计算函数的积分，常微分方程的数值解法是为了解决微分方程的数值解问题，线性方程组的数值解法是为了求解线性方程组的数值解。
二、线性代数线性代数是研究线性方程组、向量空间和线性变换等代数结构的学科。
它是数学中的一个基础学科，也是许多应用学科的重要工具和方法。
线性代数的基本概念包括向量、向量空间、线性方程组、矩阵等。
线性代数的核心内容包括线性方程组的解法、矩阵理论、特征值与特征向量、向量空间与线性映射等。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法等，矩阵理论研究矩阵的性质和运算规律，特征值与特征向量揭示了矩阵的重要性质，向量空间与线性映射研究向量的线性组合和线性映射的性质。
三、高等代数知识体系与应用高等代数知识体系是数值分析和线性代数的有机结合，通过运用高等代数的基本概念、原理和方法，解决实际问题。
数值分析和线性代数在科学与工程计算、数据处理与统计学、优化与控制等领域有广泛的应用。
在科学与工程计算中，数值分析和线性代数被广泛应用于模拟计算、数值模拟和优化计算等领域。
例如，通过数值计算方法求解微分方程、求解大规模线性方程组、优化问题等，可以得到实际问题的数值解。
在数据处理与统计学中，数值分析和线性代数被广泛应用于数据分析、数据挖掘和机器学习等领域。
高等代数在数学分析解题中的某些应用
【 摘 要 】 数学分析中的某些问 题，如果使用 分析中的方法解决， 其过程可 能相当烦 琐，但若
结合 高等代数 中的方法 ，那 么问题解决起 来会相 当简单． 文章探 讨 了高等代数方 法在数 学分析 中的某
些 应 用 ，揭 示 了这 两 门专 业 基 础课 程之 间 的 密切 相 互 联 系．
高等代数在数学分析 解题中的某些应用
口 凌征 球 ，龚 国 勇 ，龚 文振
（． １ 玉林 师 范学 院 数 学与计算 机科 学 系 副教授 ，广 西 玉林 ５７０ ３００） （． ２ 玉林 师范 学院 数 学与 计算机 科 学 系 教 授 ，广 西 玉林 ５７ ０ ３ ００）
Ｎｏｍａ Ｕｎｖ ｒｉ ， ｌ ， ａ ｇ ｉ ３ ０ ０ ｒ ｌ ｉｅｓｙ Ｙｕｉ Ｇｕ ｎ ｘ ５ ７ ０ ） ｔ ｎ
（ ＰｏｅｓｒＤｅａｔ ｎ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｏ ｕｅ ｃ ｎ ｅＹｕｉ ｒ ｌ ２ ｒｆｓ ， ｐｒ ｏ ｍｅ ｔ ｈ ｍａ ｃ ａ ｄＣ ｍｐ ｔ Ｓｉ ｃ， ｌ Ｎｏｍａ ｏ Ｍａ ｉ ｒ ｅ ｎ Ｕｎｖ ｒｔ， ｕ ｎ Ｇｕｎ ｘ ３ ０ ０ ｉｅ ｉ Ｙ ｈ ， ａ ｇ ｉ５７ ０ ） ｓｙ
分析解题 中的某些应用，为高等代数与数 学分析的 例 １ 如 果 函封 （） 区ｒ， 在 ． 上有 直到 － Ｉ 阶导 学 习者 、研 究者提供 参考 ． 数 ，并设
凌征球 ，龚国勇 ，龚文振
高等代数在数学分析解题中的某些应用
Ｍｒｓ ｛ ㈣ 『∈ ） ｋ Ｏ ， ／∽刊 ． ＝ ｐ Ｉ ㈤』 ，， ＝ ，…，，。 ｕ ｆ １
ａｇ ｂ ａ Ｉ ｈｉ ｐ ｐｅ ， ｏ ｅ ａ ｐ ｉａｉ ｓｏ ｉ ｈｅ ｌｅ ａｍ ｅ ｈ ｓｉ ｎ ｌ ｓｓａ ｅｄｉ ｕ ｓ ｄ， ｌ ｅ ｒ ． ｎ ｔ ｓ ａ ｒ ｓ ｍ ｐ ｌｃ ｔｏｎ ｆｈ ｇ ｒａｇ ｂｒ ｔ ｏｄ ｎ ａ ａｙ ｉ ｒ ｓ ｓｅ ｃ ａ ｈｅｃ ｎｅ ｔ ＷＯ ｔ ｐｅ ｉｌ ａ ｉ ｏ ｒｅ ｒ ｈ ｎｄ ｔ ｏｎ ｃ ｉ ｏｆ ｈｅｔ ＷＯ ｓ ｃａ ｓｃｃ ｕ ｓｓａｅ ｓ ｏｗ ｅ ｏｎ ｔ ｂ ｄ．
数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
题：
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博士家园 二零一零年二月
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校
的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们
的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试
请给出反例。 二、（共 30％）
6
博士家园系列内部资料
（A）（5％）设
f (x) =
x x
+ +
2 1
，数列
{xn
}
由如下递推公式定义：
x0
= 1 ， xn+1
=
f (xn ) ，
(n = 0 ，1， 2 ，
)
，求证：
lim
n→∞
x
n
=
2。
（B）（5％）求 lxi→m∞⎜⎜⎝⎛
cos
1 x
⎟⎟⎠⎞ x2
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )
高等代数与数学分析在某些方面的互通性
高等代数与数学分析在某些方面的互通性作者：李娜来源：《科技视界》2014年第33期【摘要】数学分析与高等代数是数学学习中的两门基本学科，它们在理论、解题思路及处理方法上都有所不同。
但在学习中，我们仍然能够发现它们在某些方面的互通性，本文主要从一些题目的求解上去探讨这些互通性。
【关键词】数学分析;高等代数;互通性0 引言有人指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质，只有把数学思想方法掌握了，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。
”在数学分析和高等代数的学习中，很少有人把两者联系起来比较，下面就从一些例题入手，对这两者进行比较。
1 数学分析与高等代数的思想方法在数学分析的学习中，一般涉及五种基本方法：极限的方法、类比的思想方法、化归的思想方法、数形结合的思想方法、严密的逻辑推理方法;这五种方法贯穿整个数学分析学习的过程。
高等代数的思想方法主要有：一般化思想、抽象性思想、公理化思想、初等变换的思想、辩证思维的思想、关系映射反演思想、决策思想等。
这些思想方法看似没有关系，但在解题时却可以交替运用。
2 具体例题说明2.1 极限的方法极限法是数学分析在初等数学的基础上引入的一个新方法，所谓极限法就是用联系变动的观点，把所研究的对象看作是某对象在无限变化过程中变化结果的思想。
极限的方法贯穿数学分析，正是利用极限，实现了直与曲、近似与精确、有限与无限等矛盾转化。
有时候，遇到求极限的问题只是按照数学分析介绍的步骤进行求解，然而有些情况，利用高等代数方法求极限显得更简单：例：考察数列1，1，2，3，5，8，13，21，34…，数列满足：x=x=1，x=x+xn≥3求极限：解：设V=uu=u+un≥3，则当u∈V，w∈V，对任意实数a，b：au+bw∈V，从而有au+bw=au+bw∈V由代数的知识知V构成了实数域上的线性空间。
由于数列有前两项唯一确定，故若u∈V， w∈V时，u与w线性无关的充要条件是u，u与w，w线性无关，从而V是二维的线性空间。
812 高等代数-概述说明以及解释
812 高等代数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学领域中，高等代数是一门重要的学科。
它涵盖了许多重要的数学概念和技巧，旨在研究关于向量空间、线性变换、行列式、矩阵和线性方程组等内容的理论和方法。
高等代数作为现代数学的核心领域之一，具有广泛的应用价值。
无论是在纯数学领域还是在应用数学领域，高等代数都扮演着不可或缺的角色。
它为其他学科提供了重要的数学基础，并帮助我们解决各种实际问题。
本文将首先介绍高等代数的基本概念和基本原理，包括向量空间、线性变换和线性方程组等。
然后，我们将深入探讨行列式和矩阵的性质以及它们在高等代数中的应用。
此外，我们还将讨论特征值和特征向量、正交性和对称性等重要概念，并介绍它们在高等代数中的重要性。
在这篇文章中，我们将着重介绍高等代数的基础知识，并尽量提供清晰和易于理解的解释。
我们将逐步展开讨论，并通过一些例子和应用场景来帮助读者更好地理解高等代数的概念和原理。
总之，本文将为读者提供一个全面的高等代数概述，帮助他们建立起对这门学科的基本理解。
无论是对于对高等代数感兴趣的学生还是对于需要在实际问题中应用高等代数知识的专业人士来说，本文都将是一个有价值的参考资料。
文章结构部分的内容可以包括对整篇文章的组织和章节安排进行介绍。
可以提及文章主题和各个章节的内容概览，以及每个章节的重点和目标。
以下是文章结构部分的参考内容：1.2 文章结构本文旨在介绍高等代数的相关概念和应用。
文章分为引言、正文和结论三个主要部分，每个部分都涵盖了特定的内容。
下面将对每个部分的内容进行概述:引言部分(Section 1)主要介绍了本文的背景和目的。
在1.1概述部分中，将对高等代数的重要性进行简要阐述，并强调了该学科在数学和其他领域中的应用。
1.2 文章结构部分则对整篇文章进行了概览，说明了各个章节的内容和目标。
正文部分(Section 2)是本文的核心内容，包括多个章节，分别介绍了高等代数中的不同要点。
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《高等代数》第五版 目录 第一章基本概念 1．1 集合 1．2 映射 1．3 数学归纳法 1．4 整数的一些整除性质 1．5 数环和数域 第二章多项式 2．1 一元多项式的定义和运算 2．2 多项式的整除性 2．3 多项式的最大公因式 2．4 多项式的分解 2．5 重因式 2．6 多项式函数多项式的根 2．7 复数和实数域上多项式 2．8 有理数域上多项式 2．9 多元多项式 2．10 对称多项式 第三章行列式 3．1 线性方程组和行列式 3．2 排列 3．3 n阶行列式 3．4 子式和代数余子式行列式的依行依列展开 3．5 克拉默规则 第四章线性方程组 4．1 消元法 4．2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法 4．3 线性方程组的公式解 4．4 结式和判别式 第五章矩阵 5．1 矩阵的运算 5．2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式 5．3 矩阵的分块 第六章向量空间 6．1 定义和例子 6．2 子空间 6．3 向量的线性相关性 6．4 基和维数 6．5 坐标 6．6 向量空间的同构 6．7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 第七章线性变换 7．1 线性映射 7．2 线性变换的运算 7．3 线性变换和矩阵 7．4 不变子空间 7．5 本征值和本征向量 7．6 可以对角化的矩阵 第八章欧氏空间和酉空间 8．1 向量的内积 8．2 正交基 8．3 正交变换 8．4 对称变换和对称矩阵 8．5 酉空间 8．6 酉变换和对称变换 第九章二次型 9．1 二次型和对称矩阵 9．2 复数域和实数域上的二次型 9．3 正定二次型 9．4 主轴问题 9．5 双线性函数 第十章群，环和域简介 10．1 群 10．2 剩余类加群 10．3 环和域 附录向量空间的分解和矩阵的若尔当标准形式 §1 向量空间的准素分解凯莱一哈密顿定理 §2 线性变换的若尔当分解 §3 幂零矩阵的标准形式 §4 若尔当标准形式 索引 数学分析上册 (第4版下面向21世纪课程教材) 定价：33.2元 作者:华东师范大学数学系 出版社：高等教育出版社 ISBN：9787040295665 出版时间：2011-06-01
第一章实数集与函数 1 实数 一实数及其性质 二绝对值与不等式 2 数集？确界原理 一区间与邻域 二有界集？确界原理 3 函数概念 一函数的定义 二函数的表示法 三函数的四则运算 四复合函数 五反函数 六初等函数 4 具有某些特性的函数 一有界函数 二单调函数 三奇函数和偶函数 四周期函数 第二章数列极限 1 数列极限概念 2 收敛数列的性质 3 数列极限存在的条件 第三章函数极限 1 函数极限概念 一 x趋于∞时函数的极限 二 x趋于x0时函数的极限 2 函数极限的性质 3 函数极限存在的条件 4 两个重要的极限 5 无穷小量与无穷大量 一无穷小量 二无穷小量阶的比较 三无穷大量 四曲线的渐近线 第四章函数的连续性 1 连续性概念 一函数在一点的连续性 二间断点及其分类 三区间上的连续函数 2 连续函数的性质 一连续函数的局部性质 二闭区间上连续函数的基本性质 三反函数的连续性 四一致连续性 3 初等函数的连续性 一指数函数的连续性 二初等函数的连续性 第五章导数和微分 1 导数的概念 一导数的定义 二导函数 三导数的几何意义 2 求导法则 一导数的四则运算 二反函数的导数 三复合函数的导数 四基本求导法则与公式 3 参变量函数的导数 4 高阶导数 5 微分 一微分的概念 二微分的运算法则 三高阶微分 四微分在近似计算中的应用 第六章微分中值定理及其应用 1 拉格朗日定理和函数的单调性 一罗尔定理与拉格朗日定理 二单调函数 2 柯西中值定理和不定式极限 一柯西中值定理 二不定式极限 3 泰勒公式 一带有佩亚诺型余项的泰勒公式 二带有拉格朗日型余项的泰勒公式 三在近似计算上的应用 4 函数的极值与最大(小)值 一极值判别 二最大值与最小值 5 函数的凸性与拐点 6 函数图像的讨论 7 方程的近似解 第七章实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理 二聚点定理与有限覆盖定理 三实数完备性基本定理之间的等价性 2 上极限和下极限 第八章不定积分 1 不定积分概念与基本积分公式 一原函数与不定积分 二基本积分表 2 换元积分法与分部积分法 一换元积分法 二分部积分法 3 有理函数和可化为有理函数的不定积分 一有理函数的不定积分 二三角函数有理式的不定积分 三某些无理根式的不定积分 第九章定积分 1 定积分概念 一问题提出 二定积分的定义 2 牛顿-莱布尼茨公式 3 可积条件 一可积的必要条件 二可积的充要条件 三可积函数类 4 定积分的性质 一定积分的基本性质 二积分中值定理 5 微积分学基本定理？定积分计算(续) 一变限积分与原函数的存在性 二换元积分法与分部积分法 三泰勒公式的积分型余项 6 可积性理论补叙 一上和与下和的性质 二可积的充要条件 第十章定积分的应用 1 平面图形的面积 2 由平行截面面积求体积 3 平面曲线的弧长与曲率 一平面曲线的弧长 二曲率 4 旋转曲面的面积 一微元法 二旋转曲面的面积 5 定积分在物理中的某些应用 一液体静压力 二引力 三功与平均功率 6 定积分的近似计算 一梯形法 二抛物线法 第十一章反常积分 1 反常积分概念 一问题提出 二两类反常积分的定义 2 无穷积分的性质与收敛判别 一无穷积分的性质 二非负函数无穷积分的收敛判别法 三一般无穷积分的收敛判别法 3 瑕积分的性质与收敛判别 附录Ⅰ微积分学简史 附录Ⅱ实数理论 一建立实数的原则 二分析 三分划全体所成的有序集 四 R中的加法 五 R中的乘法 六 R作为Q的扩充 七实数的无限小数表示 八无限小数四则运算的定义 附录Ⅲ积分表 习题答案 索引 人名索引
数学分析下册 (第4版下面向21世纪课程教材) 定价：34.9元 作者:华东师范大学数学系 出版社：高等教育出版社 出版时间：2010-6-1 ＩＳＢＮ：9787040295672 第十二章数项级数 1 级数的收敛性 2 正项级数 一正项级数收敛性的一般判别原则 二比式判别法和根式判别法 三积分判别法 四拉贝判别法 3 一般项级数 一交错级数 二绝对收敛级数及其性质 三阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 第十三章函数列与函数项级数 1 一致收敛性 一函数列及其一致收敛性 二函数项级数及其一致收敛性 三函数项级数的一致收敛性判别法 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 第十四章幂级数 1 幂级数 一幂级数的收敛区间 二幂级数的性质 三幂级数的运算 2 函数的幂级数展开 一泰勒级数 二初等函数的幂级数展开式 3 复变量的指数函数？欧拉公式 第十五章傅里叶级数 1 傅里叶级数 一三角级数？正交函数系 二以2π为周期的函数的傅里叶级数 三收敛定理 2 以21为周期的函数的展开式 一以21为周期的函数的傅里叶级数 二偶函数与奇函数的傅里叶级数 3收敛定理的证明 第十六章多元函数的极限与连续 1 平面点集与多元函数 一平面点集 二 R2上的完备性定理 三二元函数 四 n元函数 2 二元函数的极限 一二元函数的极限 二累次极限 3 二元函数的连续性 一二元函数的连续性概念 二有界闭域上连续函数的性质 第十七章多元函数微分学 1 可微性 一可微性与全微分 二偏导数 三可微性条件 四可微性几何意义及应用 2 复合函数微分法 一复合函数的求导法则 二复合函数的全微分 3 方向导数与梯度 4 泰勒公式与极值问题 一高阶偏导数 二中值定理和泰勒公式 三极值问题 第十八章隐函数定理及其应用 1 隐函数 一隐函数的概念 二隐函数存在性条件的分析 三隐函数定理 四隐甬数求导举例 2 隐函数组 一隐函数组的概念 二隐函数组定理 三反函数组与坐标变换 3 几何应用 一平面曲线的切线与法线 二空间曲线的切线与法平面 三曲面的切平面与法线 4 条件极值 第十九章含参量积分 含参量正常积分 2 含参量反常积分 一一致收敛性及其判别法 二含参量反常积分的性质 3 欧拉积分 一■函数 二 B函数 三■函数与B函数之间的关系 第二十章曲线积分 1 第一型曲线积分 一第一型曲线积分的定义 二第一型曲线积分的计算 2 第二型曲线积分 一第二型曲线积分的定义 二第二型曲线积分的计算 三两类曲线积分的联系 第二十一章重积分 1 二重积分的概念 一平面图形的面积 二二重积分的定义及其存在性 三二重积分的性质 2 直角坐标系下二重积分的计算 3 格林公式？曲线积分与路线的无关性 一格林公式 二曲线积分与路线的无关性 4 二重积分的变量变换 一二重积分的变量变换公式 二用极坐标计算二重积分 5 三重积分 一三重积分的概念